函数建模视角下城市生活成本量化探究 （ 跨学科实践作业）作业设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学作业设计方案以城市生活成本量化为真实情境，结合高一函数单元知识，针对学生应用能力薄弱问题设计。作业分必做与选做，必做调研建模，选做设中等及培优层次，兼顾不同学生需求。 通过实践探究提升学习效果，学生调研物价建立正比例与累加模型，培养数学建模和数据分析素养，分析成本倍率差异发展逻辑推理能力。评价从知识、能力、思维、情感多维度科学评估，如优化模型加入固定成本，让学生用数学语言表达现实问题。

函数建模视角下城市生活成本量化探究——跨学科实践作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 函数建模视角下城市生活成本量化探究——跨学科实践作业 学段学科 高中 数学（融合经济学、社会学视角） 适用年级 高一上 教材版本 人教A版高中数学必修第一册 对应内容 第三章《函数的概念与性质》单元拓展实践 作业类型 跨学科实践作业、单元课后拓展作业 完成时长 总时长120‑180分钟（可分两周碎片化完成） 设计者 蒋首攀（武汉海淀外国语实验学校） 二、设计背景与意图 1、课标与教材分析 新课标强调高中数学教学要立足真实情境，突出学以致用，重点培养学生数学建模、数据分析、数学运算与逻辑推理四项核心素养。要求学生能够从生活实际中提炼数学问题，建立合适的数学模型，利用所学知识分析、解决问题，并能客观看待模型的实际效用与存在不足。 《函数的概念与性质》是高一学生接触高中抽象数学的起始章节，也是整个高中函数内容的基础。其中正比例函数是学生最熟悉、结构最简单的函数模型，非常适合用来开展生活化建模探究。日常教学中，学生大多停留在刷题解题层面，只会套用公式做题，却不清楚函数知识在生活中的实际用途。结合生活物价差异设计实践作业，可以让学生跳出纸面习题，真正体会到函数是解释生活现象、量化生活规律的有效工具，帮助学生完成从“会做题”到“会用数学”的转变。 教学重难点： 重点：在真实生活情境中识别自变量与因变量，利用正比例函数和累加求和的方式建立简单的生活成本模型。 难点：客观认识数学模型的局限性，区分个别现象与整体规律，能够结合现实情况辩证分析模型计算结果与实际生活的差异。 2、学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生初中已经学习过正比例函数的基本内容，高一刚学完函数的定义、自变量与因变量等核心概念，具备基本的列式、计算、数据整理能力。同时学生在生活中能够明显感知不同城市的物价差距，具备开展本次实践探究的生活认知基础。 现有困惑 学生长期依赖标准化习题训练，习惯题目给出全部已知条件，面对开放的生活问题，不会主动筛选变量、收集数据、构建模型。多数学生容易把数学模型的计算结果等同于绝对事实，缺少误差分析和辩证思考，不会结合现实条件修正结论，难以打通数学与生活、社会现象之间的联系。 差异分析 班级学生层次差异明显：基础薄弱的学生能够完成简单计算，但不会思考模型意义；中等学生可以完成整套运算和基础分析，但思考深度不足；少数基础较好的学生具备自主探究、优化模型和深度思辨的能力。因此本次作业设置分层任务，兼顾不同层次学生的学习需求。 3、设计意图 本次作业设计源于本人真实生活体验。日常往返武汉工作、亳州老家，明显感受到两地日常物价差距，尤其是街边早餐小吃的价格差异十分直观。网络上经常流传“亳州物价是武汉四分之一”的生活化结论，这类感性说法是否科学，值得学生用课堂所学的函数知识去验证、辨析。 基于这一真实情境，我结合高一函数单元内容设计本次跨学科实践作业，引导学生自主调研物价、建立正比例模型、构建累加成本公式，逐步量化两地生活成本差异。在巩固课内知识的同时，让学生学会用数据和模型说话，摒弃主观感性判断，理性看待不同城市的生活成本与发展优势，实现知识学习、能力培养与价值引导的统一。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能在生活消费情境中准确区分自变量、因变量，熟练运用正比例函数与累加求和公式搭建生活成本模型，理解数学模型存在适用条件与使用范围，并非完全等同于现实。 数学运算、数学抽象 调研数据表、公式书写、模型局限性分析文字 能力运用 B 能够自主收集、整理两地日常消费物价数据，利用公式计算物价比例系数，通过复合成本模型完成生活成本对比计算，准确得出两地成本倍率差异。 数据分析、数学建模 物价调研表格、演算过程、成本倍率计算结果 思维发展 C 能够区分单一商品物价规律与家庭整体生活成本规律，理解局部与整体的区别；能够根据实际情况优化基础模型，分析固定大额开支对生活成本的影响，辩证看待大小城市的生活优劣。 逻辑推理、数学建模 探究分析文字、模型优化过程、思辨短文 情感态度 D 体会数学在生活中的实用价值，养成用数据、模型分析生活问题的习惯，不盲从网络碎片化观点，学会理性权衡生活选择，形成客观成熟的认知态度。 理性思维、价值认同 探究反思、短文观点表达 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 实践探究（必做） 调研武汉、亳州至少5项日常消费品价格，整理物价表格，利用正比例关系计算各项物价比例系数，分析值差异的现实原因，总结正比例模型在物价分析中的适用范围与局限性。 A、B 立足课内正比例函数基础知识，让学生亲身参与数据调研与参数计算，直观感受理论模型与真实生活的差异，打破学生“数学结论绝对化”的固有认知，培养基础建模与辨析能力。 餐饮服务类普遍偏高，工业品、网购商品接近1；评价以数据真实、计算准确、分析贴合生活为准，不统一固定答案。 2 实践探究（选做·中等及以上） 利用累加模型计算三口之家单日基础生活成本，求出两地成本倍率，结合数学逻辑解释单品物价倍数不能等同于整体生活成本倍数的原因。 A、B、C 引导学生建立多变量累加建模思维，纠正学生以个别现象概括整体规律的思维误区，训练学生综合运算与逻辑说理能力，让学生学会用整体视角分析生活问题。 整体生活成本由多品类消费加权构成，与单一商品倍率存在偏差；只要公式运用正确、数据设定合理、逻辑清晰即可得分。 3 拓展探究（选做·培优） 引入日均固定成本优化总成本模型，分析固定大额开支对城际成本差距的影响，结合建模体验撰写思辨短文，理性分析城市生活选择。 B、C、D 培养学生模型优化与深度探究能力，引导学生关注生活中的隐性大额成本，跳出单纯的数学计算，结合生活实际辩证思考城市选择问题，实现知识拔高与价值育人。 加入固定成本后大城市成本倍率进一步拉大；评价侧重模型逻辑严谨、观点辩证客观，鼓励学生个性化真实思考。 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 调研表格完整详实，变量区分准确，公式书写规范，能够清晰说明数学模型的适用条件与存在局限。 变量识别、公式书写基本正确，细节略有疏漏，能够简单意识到模型并非完全贴合现实。 变量区分模糊，公式错误较多，无法认识模型的局限性，知识理解较为片面。 20% 能力运用 调研数据真实合理，演算步骤完整规范，、数值计算准确，数据整理和运算能力扎实。 核心计算结果正确，存在少量不影响结论的计算失误，演算过程基本完整。 演算步骤缺失较多，计算错误多，调研数据残缺，数据处理能力薄弱。 30% 思维发展 能够主动对比单品与整体成本差异，自主优化数学模型，推理逻辑清晰，能辩证看待生活经验的合理性与不足。 可以完成基础对比分析，能简单说明模型局限，但思考深度有限，分析维度较为单一。 仅完成机械计算，无对比、无反思，分析缺乏依据，思维较为固化。 30% 情感态度 主动完成调研与探究，观点客观理性，能够结合建模感悟独立思考生活问题，学以致用。 认真完成全部作业，观点端正，没有片面化、极端化认知。 敷衍完成作业，内容空洞，照搬网络观点，无个人思考与认知。 20% 六、试题详情 情境材料： 本人长期在武汉工作、在安徽亳州生活，日常能够直观感受到两地物价差距。在武汉晨跑时购买的烧饼单价为3元，而亳州本地个头更大、分量更足的烧饼仅售1元，街边油炸馍、早餐小吃价格也远低于武汉。日常生活中，不少人认为亳州物价大约只有武汉的四分之一，想要在武汉维持同等生活质量，工资需要达到亳州的四倍。这一生活化经验流传广泛，但其是否具备科学依据，值得用高中函数知识开展探究验证。 1、【试题·必做】 设亳州同类商品单价为自变量，武汉同等品质商品单价为因变量，假设两类城市的商品物价满足正比例关系。 ①自主调研至少5项日常消费品，仿照下面表格完成物价信息整理； ②利用变形公式 ，逐项计算物价比例系数； ③观察的取值范围，想一想：是不是所有商品都满足？结合生活现实说一说产生差距的原因； ④结合本次调研，简单谈谈把正比例函数模型拿来分析物价，有哪些适用场景，又存在哪些局限。 消费品类 亳州单价（元） 武汉单价（元） 物价比例系数 烧饼 1、0 3、0 …… 2、【试题·选做（中等以上学生）】 家庭单日基础生活成本模型： 式中代表第类商品的单价，代表该商品家庭每日的消耗量，代表家庭单日基础生活总成本。 ①结合第1题收集的物价，结合生活常识合理设定三口之家各项消费品日均消耗量，分别算出亳州单日基础总成本与武汉单日基础总成本； ②计算两地基础生活成本倍率 ； ③请用数学语言解释：为什么不能直接拿烧饼的物价倍数，当作家庭收入的匹配倍数。 3、【试题·选做（培优）】 住房、教育这类大额开销，是拉开城市差距的重要因素，我们可以把每月大额支出平摊到每一天，记日均分摊固定成本为。 ①请写出引入固定成本之后的总生活成本修正模型； ②思考：加入固定成本之后，两座城市的总成本倍率会发生怎样变化，说明你的理由； ③基于整套建模探究，完成一篇300‑600字小短文：谈谈从函数建模角度如何理性看待大城市与小城市的生活选择。 七、答案与解析 温馨提示：本实践探究作业为开放性实践任务，无唯一标准答案。学生调研的数据可存在合理差异，只要模型搭建逻辑通顺、计算过程规范、分析贴合现实，均可判定为合格完成任务。 1、【答案示例】 结合实地调研可选取常见品类：烧饼，求得；油炸馍，求得；原味豆浆，求得。 调研结果能够看出，各类商品的值并不统一，不会固定等于4。餐饮小吃这类线下服务类商品，受门店租金、人工成本、城市消费水平影响较大，物价倍率更高；而网购日用品、数码工业品全国定价统一，两地价格基本一致，值接近1。 【解析】 正比例模型适用于同类、同质、受地域影响相近的刚需消费品对比，能够简单量化两地物价差距。但现实社会影响物价的因素复杂，房租、人工、供应链、消费水平均存在地域差异，单一模型无法适配所有商品。本题主要考查学生对变量概念的掌握、正比例参数的计算能力，以及对数学模型适用范围的理解。 2、【答案示例】 单一烧饼的物价倍数只是个别商品的局部规律，而家庭日常消费包含餐饮、日用品、果蔬、副食等几十类商品。不同商品的物价比例系数高低不同，家庭整体生活成本是多品类消费加权求和的结果，因此整体成本倍率不能等同于单品物价倍率。 【解析】 本题核心是培养学生“整体分析、拒绝以偏概全”的数理思维。生活中人们习惯用单一商品价格概括整体物价水平，存在明显误区。通过累加模型的计算，让学生明白整体系统规律需要综合多项变量分析。学生对日均消耗量的设定只要贴合三口之家日常消费情况，均为合理答案。 3、【答案示例】 ①修正后的总生活成本模型： ②武汉的房价、教育支出、培训费等固定成本远高于亳州，日均分摊固定成本差距显著。加入固定成本后，两座城市的综合生活成本差距进一步拉大，整体成本倍率会明显升高。 ③短文参考思路：数学建模可以精准量化城市生活的金钱成本，让模糊的物价差距变得清晰具体。大城市物价高、固定开销大，生活经济压力更大，但同时拥有更优质的教育、医疗和就业资源，发展空间更广。小城市物价低廉、生活轻松，生活幸福感更强，但发展平台相对有限。通过本次探究可以发现，没有绝对优质的城市选择，每一种生活方式都对应相应的成本与收益。我们既要理性看待现实的经济差距，也要客观权衡个人发展需求，结合自身情况做出适合自己的人生选择。 【解析】 本题侧重考查学生模型优化能力与高阶思辨能力。学生需要跳出单纯的数学计算，关注生活中的隐性固定成本，完善原有基础模型。同时结合探究过程形成独立、辩证的生活认知，实现数学学科素养与人文素养的融合提升，不强制统一观点，言之有理、逻辑通顺即可。 设计者：蒋首攀 武汉海淀外国语实验学校高中数学教师 学科网（北京）股份有限公司 $