专题2.1 一元二次方程十大综合压轴问题（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题2.1 一元二次方程综合压轴问题 题型一：高次方程相关综合压轴问题 题型二：一元二次方程的新定义压轴问题 题型三：配方法求值或最值（范围）综合压轴问题 题型四：判别式的综合压轴问题 题型五：构造一元二次方程求代数式的值 题型六：一元二次方程根的分布综合压轴问题 题型七：韦达定理与判别式的综合压轴问题 题型八：一元二次方程中的几何压轴问题 题型九：一元二次方程中的几何动态压轴问题 题型十：一元二次方程的其他综合压轴问题 题型一：高次方程相关综合压轴问题 1．（25-26九年级下·四川巴中·自主招生）我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·重庆·校考期中）阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c， 则将c代入方程得：,移项得：，即有： ， 由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 3．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 4.（2026·江苏·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 5．（2026·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根_______和_______ ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 题型二：一元二次方程的新定义压轴问题 6.（2026·成都·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 7．（2025·福建泉州·二模）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”．(1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 8．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题：(1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 9.（25-26九年级上·江苏苏州·月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为__________． 【尝试应用】（2）若关于x的一元二次方程为．①求出该方程的衍生点M的坐标．②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ∵，∴；∴的最小值是4． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】（3）是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 10.（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 题型三：配方法求值或最值（范围）综合压轴问题 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 12．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 13.（25-26·广东·九年级上期中）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值． 14.（2025·成都·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 15.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 题型四：判别式的综合压轴问题 16.（25-26九年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为 17.（2026·浙江·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 18.（2025·成都·二模）若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为 ． 19.（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 20．（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 题型五：构造一元二次方程求代数式的值 21.（2025·湖北·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_______________________； (2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 22.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 23.（2026·湖南·校考一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 24．（25-26九年级·浙江·培优）已知实数分别满足和，那么的值是 ． 25．（2026·广东·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 题型六：一元二次方程根的分布综合压轴问题 26.（2026·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 27.（25-26九年级上·江苏·月考）已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 ． 28.（25-26九年级上·山东·月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 29．（2026·湖北·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 30．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围．(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 题型七：韦达定理与判别式的综合压轴问题 31.（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 32.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解；②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：；②计算，的值． 35．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得．其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 题型八：一元二次方程中的几何压轴问题 36.（2026·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 37.（2026·浙江·校考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ． 38.（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 39.（25-26九年级上·江苏·校考期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 40.（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 题型九：一元二次方程中的几何动态压轴问题 41（2026·四川绵阳·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 42.（25-26九年级上·北京·校考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 43．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 44．（2026·天津河西·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的长度最小；③有两个不同的值满足面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 45.（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 题型十：一元二次方程的其他综合压轴问题 46．（2026·安徽芜湖·一模）对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则． （1）当___________； （2）对于正整数和，当时，___________． 47．（2026·四川成都·三模）已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 48.（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 49.（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 50．（25-26九年级上·江苏·期中）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一元二次方程综合压轴问题 题型一：高次方程相关综合压轴问题 题型二：一元二次方程的新定义压轴问题 题型三：配方法求值或最值（范围）综合压轴问题 题型四：判别式的综合压轴问题 题型五：构造一元二次方程求代数式的值 题型六：一元二次方程根的分布综合压轴问题 题型七：韦达定理与判别式的综合压轴问题 题型八：一元二次方程中的几何压轴问题 题型九：一元二次方程中的几何动态压轴问题 题型十：一元二次方程的其他综合压轴问题 题型一：高次方程相关综合压轴问题 1．（25-26九年级下·四川巴中·自主招生）我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设一元三次方程的三个实根分别为，，， 则方程可写成，∴， ∴ ∴． 对比可得，，，， 可得，，， ∴，故选：B． 2.（25-26九年级上·重庆·校考期中）阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c， 则将c代入方程得：,移项得：，即有： ， 由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 【答案】①1、－1、7、－7；②该方程有整数解， x=3是该方程的整数解 【详解】解：①由阅读理解可知： 该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数． ②该方程有整数解． 方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0 进行验证得：x=3是该方程的整数解． 3．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ，∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 4.（2026·江苏·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，，∴①③正确，②不正确； ∵，∴④不正确，故答案为：①③． 5．（2026·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根_______和_______ ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【答案】 【详解】设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为，∴可化为， 即，计算得， 可得，，∴，解得，，故答案为：，． 题型二：一元二次方程的新定义压轴问题 6.（2026·成都·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或；(2)，该方程的“幸运数”为(3)或 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即，故答案为：； 依题意，， 整理得，，解得，，故答案为：或； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数，∴或或，解得或或， ∵为整数，∴，当时，方程化为， ∴；∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程”∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴∴∴，∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时，综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时，∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为：解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为：解得：综上所述，或 7．（2025·福建泉州·二模）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”．(1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 【答案】(1)是“平衡集合”，理由：依题意，，， ∵∴是“平衡集合”； (2)证明：∵、是两个不同的正数，且是“平衡集合”， ∴，设， 根据根与系数关系可知，相当于方程的两根，则， ∵，∴，解得，∴， ∴，∴、至少有一个大于2． 8．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题：(1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1)(2)满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【详解】（1）解：，，解得方程的两个根为和， 特征数对为，，由得， 当时，，符合条件，当时，，舍去，故； （2）解：对方程：，，解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：，由根与系数的关系得，， ，，∴，∵两个方程互为“关联全整根方程”，∴， ∵，∴，∴，∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得，∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或；∴一个满足条件的为或12. 9.（25-26九年级上·江苏苏州·月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为__________． 【尝试应用】（2）若关于x的一元二次方程为．①求出该方程的衍生点M的坐标．②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ∵，∴；∴的最小值是4． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】（3）是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；③7；（3）存在， 【详解】解：（1），∴，解得：，（满足）， ∴这个方程的衍生点M的坐标为，故答案为：； （2）①∵，∴， ∴，解得，（满足），∴该方程的衍生点M的坐标为； ②∵该方程的衍生点M的坐标为， ∴所有衍生点M都在同一条直线上，这条直线的解析式为，故答案为：； ③∵，， ∴， ∵，∴，∴，∴的最大值为7； （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上， 则关于x的方程的两个根为，，∴，解得：， 故存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，此时 10.（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程；故是同族方程的是①④； (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即．∵ 有意义，∴ ．∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 （3）由一元二次方程得：，，解得：， ∵一元二次方程属于同族方程，∴是整数，∴正整数k的值为1或3． 题型三：配方法求值或最值（范围）综合压轴问题 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ，∴，∴；故答案为 ②解：∵，是原方程的两个实数根， ∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，解得或；又∵，∴ （2）∵一元三次方程有三个根，，， ，，， ，， ， ∵，即的最小值为． 12．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种形式：选取二次项和一次项配方，； 第二种形式：选取二次项和常数项配方，； 或； 第三种形式：选取一次项和常数项配方，； （2）解：， 配方，得：，即， ∵，，∴，，解得：，，∴； （3）解：， ∵，∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为． 13.（25-26·广东·九年级上期中）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；(5)已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)4；是(2)12(3)(4)(5)当时，的最小值为9 【详解】（1）4是“平和数”， 理由：因为；29是“平和数”， 理由：因为．故答案为：4(答案不唯一)，是； （2）故答案为：12； （3） ．故答案为：； （4）；由题意得：， （5），∴当时，的最小值为9． 14.（2025·成都·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析(2)当时，y有最大值，最大值为(3)见解析 【详解】（1）解：． （2）解：，，当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 15.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1)(2)常数的值为或(3)最大值为 【详解】（1）解：， ，，的最小值是． （2）解：， ，， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ，，即， 解得，，常数的值为或； （3）解：，， ， ，，，当时，有最大值，最大值为． 题型四：判别式的综合压轴问题 16.（25-26九年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为 【答案】-3 【详解】解：设，则，∴，整理，得：． ∵存在实数a，b满足，∴关于b的一元二次方程有解， ∴，∴，解得：， ∴，即的最小值为．故答案为：-3． 17.（2026·浙江·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，，，∴，， ∴， ∵，∴，∴，∴，则的最大值是，故选：B 18.（2025·成都·二模）若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c均为正实数，且， ∴，，∴b，c是方程的两根， ∵方程有两个实数根，∴，即 ∵，∴，即， ∵，∴，即，即正实数a的最小值为．故答案为：． 19.（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，为方程的的两实根， ∴，∴，，， ∴，即，解得：，∴，∴． 20．（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【详解】解：设方程的两个整数根为，根据题意得， ∵，∴，，根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数，∴，不妨设， ∴或，或，， 解得或或，∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 题型五：构造一元二次方程求代数式的值 21.（2025·湖北·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_______________________； (2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，，(2)或(3)15 【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，∴或 ①当时，令，，∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴，此时； ②当时，，此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴，故． 22.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1)(2)2 【详解】（1）解：，实数m、n满足，， ∴、 可看作方程的两根，， ； （2）解：∵、， ∴将，看作是方程得两实数根； ， 而，，即c的最大值为2． 23.（2026·湖南·校考一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根，解方程得， ∴分情况讨论：①若，则； ②若，则若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，．故答案为：． 24．（25-26九年级·浙江·培优）已知实数分别满足和，那么的值是 ． 【答案】2或16 【详解】解：分两种情况：当时，，，， 又，，a和b是方程的两个根， ，，， 当时，； 故答案为：2或16． 25．（2026·广东·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【详解】解：①当时：∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时：∵a和b是方程的两个根，∴，， 原式， ∵，∴分子，分母， ∴原式，综上所述，原式的值为2或．故选：C． 题型六：一元二次方程根的分布综合压轴问题 26.（2026·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴且， ∴，解得， ∵，，又∵，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴a的取值范围是．故选：D． 27.（25-26九年级上·江苏·月考）已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：令方程的两根为，则， 根据题意，若，则，∴． ∴，，解得故答案为： 28.（25-26九年级上·山东·月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则，解得：，此时， ∴，解得：，∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ，解得：，或， 当时，，∵，设，则不在的范围内， ∴，解得， 当时，原方程为：，解得，，， 两个根都在的范围内，不符合题意； 当时，原方程为：，解得，，， 不在的范围内，符合题意；因此， 当时，，∵，∴不在的范围内， ∴，解得无解， ∴的取值范围为或，故答案为：或． 29．（2026·湖北·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． 30．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围．(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵，∴， ，，，解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，，∴， ∵，，∴，即， ∵，，∴，∴，∴，∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根，又∵，，∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大，∴， 把代入中，， 整理得：， ∵，则，∴的最大值为． 题型七：韦达定理与判别式的综合压轴问题 31.（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 32.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，，因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 33.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解；②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①将代入方程，得左边， 因此是方程的根，方程一定有解，故①正确； ②是方程的一个根，代入得，提取公因式得， 当时，不一定等于，故②错误； ③是的两根，且，对两边同除以，得，同理也满足该等式，因此是方程的根，故③正确； ④，，判别式， ，，又，因此，方程必有两个不相等的实数根，故④正确； ⑤，，得或， ，异号，因此，可得，方程化为，判别式， 异号，，，方程有两个实数根，两根之和为， 因此两实数根互为相反数，故⑤正确；综上，正确的结论共个． 34．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：；②计算，的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根，，解得， 由根与系数的关系，，，，， 化简得，或，或，又，； (2)①证明：，是方程的根，∴，， ∴， 因为，，所以原式 ②，是方程的两根，，，； 由①知： ． 35．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得．其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①方程有两个不相等的实根，，， 则方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则，， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根，则由求根公式得或， 或，，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即，因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 题型八：一元二次方程中的几何压轴问题 36.（2026·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根，∴ 即∴故答案为：． 37.（2026·浙江·校考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，四边形是边长为5的菱形，对角线交于O， ∴，， 设，在中，由勾股定理得，∴， ∵菱形的对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍， ∴分别是关于x的一元二次方程的两根，∴，， ∵，∴， ∴，即，解得或； 又∵，即，∴故答案为：． 38.（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即，解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm，故答案为：． 39.（25-26九年级上·江苏·校考期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：， 由题意得原方程有实数根，，． 又，，即的取值范围为：． 40.（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：①解得：或，，是“差根方程”； ② 解得：，，，②不是“差根方程”； （2）解：方程因式分解得：，解得：，， 方程是“差根方程”，，，或，解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为，，， 、是“差根方程”的两个实数根，，，， ，，， 、是三角形的边长，均为正数，， 方程二次项系数为1，所求差根方程为． 题型九：一元二次方程中的几何动态压轴问题 41（2026·四川绵阳·模拟预测）定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【答案】 【详解】解：，． ①如图1，设，则， 可得方程组，解得（不成立）或（不成立）． ②如图2，设，则， ∵，∴，即，可得方程组，无解； ③如图3，设，则， ∵，∴，即.可得方程组 解得或（不成立）． ， ∴；综上所述，的长为．故答案为：. 42.（25-26九年级上·北京·校考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：，即，整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，，的值为．故答案为：． 43．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：当时，， ，，则，且，四边形是平行四边形， 在平行四边形中，，则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，走完用时（秒）， 过点作，如图所示：在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则，当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ，，则由勾股定理可得， ，在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得，则， ，因为，当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒，由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ，解得； 当时，，解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 44．（2026·天津河西·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的长度最小；③有两个不同的值满足面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①∵点的运动速度为，点的运动速度为， 当时，，，则， 则当时，，故①正确；②过点N作交于点P，如图， ∵，∴，∵，∴，则， ∵，，∴，则在中，，， ∴，在中，， 当时，的长度最小，故②错误； ③，则有，且， 可得，∴，即，， 即有两个不同的值满足面积为，故③正确．∴正确结论的个数是2个． 45.（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又，∴，根据题意，得，解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据题意，得，整理得， ∴，∴方程无解，∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，，由题意，得，解得：，； ②当时，，由题意，得，解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 题型十：一元二次方程的其他综合压轴问题 46．（2026·安徽芜湖·一模）对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则． （1）当___________； （2）对于正整数和，当时，___________． 【答案】 6 10 【详解】解：（1）当时，这两个数分别是：，共6种． （2）由题意可知，当时，有，则； 当时，有，则； 当时，有，则； 当时，则； 当时，有，则； ∴当为偶数时，所有取法；当为奇数时，所有取法， 当时，若为偶数，则，整理得，解得（负值已舍去）； 若为奇数，则，解得为无理数，舍去，故． 47．（2026·四川成都·三模）已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件；，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空：当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，．，对任意成立等价于判别式． 按分类讨论：1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 48.（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴之间共有个或个整数， ∵6个连续的整数满足， ∴， 当时，间有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或 当时，上有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的3个整数为，，无整数解； 当时，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或， 当，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，无整数解； 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解 或，无整数解 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无解， 综上所述，或或，则或或， ∴，或；∵是正整数，∴故答案为：． 49.（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【详解】解：，一组数的积要小于， ，，相乘的这一组数最多只能有个， ，相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个，当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时，， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个，当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数，没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个，当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，，，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 50．（25-26九年级上·江苏·期中）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 【答案】或 【详解】根据题意，得，整理得， 解得．经检验，是原方程的根，故答案为：或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $