专题07 一元二次方程含参问题五大模型（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程含参问题五大核心题型，以题型为载体构建从定义到综合应用的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义求参|5题|考查二次项系数非零及最高次数为2|从概念本质出发，夯实参数取值前提| |方程解求参|5题|利用根的代入性求参或代数式值|衔接方程解的定义，培养代入运算能力| |根的情况求参|5题|结合判别式分析根的存在性及数量|深化Δ与根的关系，强化分类讨论意识| |根与系数求参|5题|运用韦达定理建立参数与根的关系|提升代数推理能力，构建方程思想模型| |新定义含参|2题|迁移新运算规则解决含参问题|培养模型意识，拓展知识应用边界|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07一元二次方程含参问题五大模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用一元二次方程的定义求参数 题型2利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型3根据一元二次方程根的情况求参数 题型4利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型5一元二次方程中新定义型含参数问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用一元二次方程的定义求参数 1.2 2.B 3.1 4.-3 5.A ◆题型2利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 6.11 7.A 8.2026 9.A 10.2022 ◆题型3根据一元二次方程根的情况求参数 11.-1(答案不唯一，满足m<1且m≠0即可) 5 12.m≤4 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.C 14.-1 15.k≤4 ◆题型4利用一元二次方程根与系数的关系求参数 16.k=1或k=-1 17.D 18.4 19.0 20.C ◆题型5一元二次方程中新定义型含参数问题 21.(1)14 2)m≥4， 且m≠0 22.0 综合攻坚·知能拔高 1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.m>-1 10.(1) ms13 4 (2) 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=- y 2 11.(1)证明：对于一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0根的判别式△=[-(m+2)2-4×1×2m 展开化简得△=m2+4m+4-8m=(m-2)2 ,任意实数的平方为非负数 ∴.(m-2)≥0，即△≥0 .该方程总有两个实数根. (2)m=-2 12.(1) 证明：：方程mx2+(m-2)x-2=0(m≠0)是关于x的一元二次方程， ∴.△=(m-2)2-4m×(-2)=m2-4m+4+8m=m2+4m+4=(m+2)2, ,任意实数的平方都大于等于0，即(m+2)≥0， .△≥0 此方程总有实数根 (2) m=-1 13.(1)见解析 (2)m=1或m=-3 14.(1)见解析 (2)-1<n<2 15.(1)m=4,二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)m=3或m=2 3/3的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07一元二次方程含参问题五大模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用一元二次方程的定义求参数 题型2利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型3根据一元二次方程根的情况求参数 题型4利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型5一元二次方程中新定义型含参数问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用一元二次方程的定义求参数 1.若关于x的方程k+2x2+4x-3=0是一元二次方程，则k= 2.若方程m-3xm-1+3x-3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 3.若关于x的方程xm1-2x-5=0是一元二次方程，则m= 4.已知关于x的方程k-3xk1+x+2k+1=0是一元二次方程，则k的值应为 5.若关于x的方程m-3x2-4x+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠3 B.m=3 c.m≥3 D.m≤3 ◆题型2利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 6.已知m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根，则2m2+4m+5= 7.若x=1是关于x的方程ax2-x+2=0的解，则a的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-2 8.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0的解是x=1,则2021-a-b的值是 9.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0(a0)的一个根是x=2,则2026-4a-2b=() A.2029 B.2023 C.-2029 D.2025 10.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则2023+a-b= 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3根据一元二次方程根的情况求参数 11.若关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0有两个不相等的实数根，则m的取值可以是·（写出一 个即可) 12.若关于x的一元二次方程x2-5x+m=0有实数根，则实数m的范围为 13.若关于x的一元二次方程2kx2-3k+1x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是() A.k>-9 B.k>-9且k0C.k≥-1且k0 D.k>-1且k0 14.若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为 15.若关于x的方程x2+4x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ◆题型4利用一元二次方程根与系数的关系求参数 16.已知关于X的一元二次方程x2-k+3x+3k=0,若方程的两个实数根为X1,X2,且x+x=10,求k 的值 17.若x1,X2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+X2一x1X2的值是() A.-11 B.11 C.1 D.-1 18.若C,β是方程x2+2x-6=0的两个实数根，则a+3o+B的值为 19.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+2m+mn= 20.若x1,X2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则x1-X1+X2的值是（) A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 ◆题型5一元二次方程中新定义型含参数问题 21.我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法 运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=19. (1)求[-4,3]*[1，-6的值： (2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx-1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围. 22.定义运算：a*b=a1-bl.若a,b是方程x2-x+之m=0m<0的两根，求b*b-a*a的值. 4 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(22-23九年级上·云南昭通期末)方程n-3xm-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程，n满足的条 件是() 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.n>3 B.n=3 C.n<3 D.n=-3 2.(25-26九年级上北京期中)若方程a-1xa1-X+2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为(). A.1 B.-1 C.±1 D.不确定 3.(24-25八年级下·浙江金华阶段检测)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0,下列说法：①若 m-2n=1,则方程一定有两个不相等的实数根：②若m2-2n<0,则方程没有实数根：③若n是方程 X2+mx+n0的一个根，则m+n=-1:①若x=t0是方程x2+mx+n=0的一个根，则x=是方程 nx+mx+1=0的一个根.其中正确的是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(23-24九年级上·内蒙古乌海·期末)设m,n分别为一元二次方程x+2X一2018=0的两个实数根，则 m2+3m+n=() A.2019 B.2018 C.2017 D.2016 5.(25-26八年级下河北张家口·期末)嘉琪在解一元二次方程：x2-4x+■=0时，不小心把常数项丢掉 了，己知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是() A.1 B.3 C.4 D.5 6.(25-26八年级下·山东烟台期末)等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程 x2-8x+k=0的两实根，则k的值为() A.12 B.16 C.2或4 D.12或16 7.（25-26八年级下·福建福州期未)若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0两根为x1,X2,且X1=2x2, 则m的值为() A.10 B.8 C.6 D.4 8.(25-26八年级下·重庆期末)已知关于x的一元二次方程x2-3mx+m2+7m=0的两个实数根为X1,X2, 且满足x1x2=18,则m的值为(). A.-9 B.2 C.2或-9 D.-2或9 二、解答题 9.(25-26八年级下江苏苏州期末)关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m-1=0有两个不相等实数根， 求m的取值范围， 10.(22-23九年级下·青海西宁·开学考试)关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为 X1,X2. (1)求m的取值范围； 3/4 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若X1+X2-2X1X2=0,求m的值. 11.(25-26八年级下·北京房山期末)已知关于x的一元二次方程x2-m+2x+2m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值. 12.(25-26八年级下·北京·期末)已知关于x的一元二次方程mx+m-2x-2=0m≠0. (1)求证：此方程总有实数根： (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数的值. 13.(25-26八年级下·北京：期末)已知关于x的方程mx-5m+3x+6m+9=0. (1)求证：方程总有实数根： (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值. 14.(25-26八年级下·山东烟台期中)设n是实数，关于x的一元二次方程x2-x-n2+n=0. (1)求证：方程总有实数根： (2)若方程的两根都大于-1，求的取值范围. 15.(25-26八年级全国暑假作业)已知方程m-2xm-2+m+1x+3m-1=0 (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值. 414 专题07 一元二次方程含参问题五大模型 常考题型·精准突破 题型1 利用一元二次方程的定义求参数 题型2 利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型3 根据一元二次方程根的情况求参数 题型4 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型5 一元二次方程中新定义型含参数问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用一元二次方程的定义求参数 1．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 4．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 5．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． ◆题型2 利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 6．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 7．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 8．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 9．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 10．已知是方程的一个根，则__________． 【答案】2022 【分析】把代入方程，求出，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴. ◆题型3 根据一元二次方程根的情况求参数 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足且即可） 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，结合根的判别式求出m的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵方程为关于的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得， ∴的取值范围是且，可取符合条件的． 12．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的范围为________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根，根据根的判别式大于等于0建立不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 在方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 则， 解得． 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 15．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式，可据此求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程中，，，； 若方程有实数根，则 ， 解得； 故的取值范围是：． ◆题型4 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 16．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 17．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 18．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴ ． 19．已知是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 20．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ◆题型5 一元二次方程中新定义型含参数问题 21．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)14 (2)，且 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握新定义下的实数运算． （1）根据新定义进行实数的运算即可； （2）根据新定义列出一元二次方程，根据根的判别式列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， 解得，且． 22．定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键． 由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（22-23九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若 是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 通过证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或即可判断③；由题意可得即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ∴， 若，则， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， ∴或，即或，故③错误； ④若 是方程的一个根， ∴， ∵， ∴两边同除以得，， 即， ∴是方程的一个根，故④正确； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 4．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，再将所求表达式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 二、解答题 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 10．（22-23九年级下·青海西宁·开学考试）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 11．（25-26八年级下·北京房山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 12．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 13．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期中）设是实数，关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用根的判别式判断即可； （2）首先求出方程的两根，然后根据两根都大于求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程 ∴ ∴方程总有实数根； （2）解：∵ ∴ ∴或 解得， ∵方程的两根都大于， ∴， 解得． 15．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $