第三章 图形的相似 单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册图形的相似单元卷，覆盖比例线段、相似判定等核心知识，结合博物馆测量、黄金分割等生活情境与《海岛算经》文化素材，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定、位似性质|基础概念辨析，如黄金分割方程构建| |填空题|5/15|相似多边形性质、黄金分割应用|结合乐器弦长、平面镜测量等情境| |解答题|5/75|作图、比例计算、相似证明、综合实践|融合《海岛算经》模型与路灯测量，考查推理能力与应用意识|

第三章图形的相似单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）． A． B． C． D． 3．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 4．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（    ） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 6．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 7．和是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④ 9．已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，四边形四边形，若，，，则______. 12．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为__________ ．（结果保留根号） 13．如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是____________． 14．如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中是旗杆，是高1米的旗台，在距旗台前24米的地面D处平放一平面镜，该同学站在平面镜后2米的F处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A，若该同学的眼睛E距离地面1.5米，且和均垂直地面，则旗杆__________．     15．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为　 　. 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 17．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 18．如图，在中，点D为边上一点，连接，点H为中点，延长交边于点E，求证：． 19．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请作出关于x轴对称的，则坐标为______； (2)若点P为y轴上一点，且的面积为10，求出点P的坐标． 20．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A B D D A A C 11． 12． 13．9 14．米 15． 16．(1)如图所示，即为所求； (2)点到直线CE的距离是1 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，尺规作图—作与已知角相等的角，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由三角形中线的定义得到，证明，得到，即，则，据此可得点到直线的距离是1． 【详解】（1）略 （2）解：是的中线， ， ∵，， ， ， 即， ， 又∵和同底，点A到直线的距离是1， 点到直线的距离是1． 17．(1) (2) 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 18．证明：过点D作DF∥BE交AC于F， ∵点H为中点， ∴AH=HD， ∵DF∥BE， ∴， ∴AE=EF， ∵DF∥BE， ∴， ∴． 19．(1) 如图所示，即为所求，则坐标为； (2)或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）设点的坐标为，则，根据点到轴的距离为4，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 20．【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $