第三章 图形的相似 单元测试 2026-2027学年北师大版初中数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第三章单元卷，融合3道中考真题改编题，全面覆盖相似三角形、位似图形等核心知识点，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|相似三角形性质、位似坐标、正方形性质|中考真题改编（如陕西、重庆中考题），基础巩固| |填空题|5题|相似比、平行线分线段成比例、小孔成像应用|跨学科情境（物理小孔成像），实际应用| |解答题|8题|位似作图、相似证明、旋转探究（平行六边形）|分层设计，从基础证明到创新探究（菱六边形剪裁），培养模型意识与创新思维|

2026-2027学年北师大版(新教材)初中数学九年级上册 第三章单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·陕西·中考真题2026新教材改编）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·中考真题2026新教材改编）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A． B． C． D． 6．如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·河南·中考真题2026新教材改编）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 8．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A．B．C． D． 10．如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·广东·中考真题2026新教材改编）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 12．（2025·北京·中考真题2026新教材）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．    第11题图 第12题图 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 14．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．    15．如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题 16．（2025·安徽·中考真题2026新教材改编）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 17．在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 18．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 19．如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 20．在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 21．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 22．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 23．解答下列问题： (1)【问题初探】：如图1，在中，，点在上，且．求证：． (2)【类比分析】：如图2，在中，平分，点在边上，，，，并且．求线段的长． (3)【拓展延伸】：如图3，在中，，，，点是的中点，点是上一点，，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 3．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 4．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 5．如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 6．如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 7．如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明边相等、作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 9．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程、作角平分线(尺规作图) 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】先证明，得到，设，则，，，由等腰直角三角形的性质可得，又由得，即得，得到，，即得到，，得，再由可得，最后代入计算即可求解， 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 11．如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】/ 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 12．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 14．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．    【答案】15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求面积 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形 【分析】①由平行四边形的性质可判断结论； ②从对角线的角度来判断四边形的形状； ③假定条件成立，求出的值与所给不符； ④由点与关于成轴对称，从而得到的最小值是． 【详解】①∵四边形是平行四边形， ∴，； 即结论①正确； ②∵中，， ∴， ∵，， ∴≌ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 即结论②正确； ③∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， 即结论③错误． ④因为点关于的对称点是点，连接交于点，当点与重合时，的值最小即为的长． ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴， 即结论④正确． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、判定、勾股定理及轴对称的性质，关键是知识的灵活应用． 三、解答题 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． (2) 如图所示，即为所求作的三角形． 【知识点】中点坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)如图，为所作． (2) 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【知识点】坐标与图形、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 19．如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1) 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； (2) 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【知识点】利用矩形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 20．在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 21．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 22．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 23．解答下列问题： (1)【问题初探】：如图1，在中，，点在上，且．求证：． (2)【类比分析】：如图2，在中，平分，点在边上，，，，并且．求线段的长． (3)【拓展延伸】：如图3，在中，，，，点是的中点，点是上一点，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先由等边对等角得出，设，则，结合三角形内角和定理求出，再证明，即可得证； （2）在上取一点，使得，连接，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，由角平分线的定义并结合题意可得，结合三角形外角的定义及性质可得，再证明，即可得出结果； （3）由题意可得，，作于，则，由直角三角形的性质并结合勾股定理求出，延长至点，使得，证明，得出，，结合三角形内角和定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，，作于，则，求出，，作于，由等面积法得出，由勾股定理可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵在中，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵，点是的中点， ∴， ∴， 如图，作于，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长至点，使得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作于，则， ∴， ∴，， 作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． $