第08讲 直线的交点坐标与距离公式（5大知识点+9大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第8讲 直线的交点坐标与距离公式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的交点 3 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 3 知识点三：两点间的距离公式 3 知识点四：点到直线的距离公式 3 知识点五：两平行线间的距离 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：两直线位置关系判定 5 题型 2：过交点直线系方程 7 题型 3：直线交点求解 9 题型 4：直线对称问题 11 题型 5：两点间距离计算 17 题型 6：点到直线距离 18 题型 7：平行线间距离 20 题型 8：距离问题综合应用 22 题型 9：线段和差最值 24 04 过关测试 30 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 题型 1：两直线位置关系判定 例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【解析】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 例2．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【解析】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 例3．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组， 因为整理得，即方程②可以化为方程①， 所以方程组有无数组解， 所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解． 所以与无公共点，即． 变式1．（2026·高二·上海·期中）已知，直线的方程为，直线 的方程为.当m变化时， （1）分别求直线和经过的定点坐标； （2）讨论直线和的位置关系. 【解析】（1）将直线的方程改写为 ， 令 得直线过定点(1,-1)；同理，直线过定点（3,1）； （2）联立方程，得 D=2m(m-2),Dx=-2(m-1)(m-2),Dy=-2(2m+1)(m-2) 当m 和2时，D ，两直线相交； 当m=0时，D=0, ，两直线平行； 当m=2时， ，两直线重合． 变式2．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 题型 2：过交点直线系方程 例4．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【解析】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 例5．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【解析】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 例6．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【解析】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 变式3．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【解析】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 变式4．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【解析】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 题型 3：直线交点求解 例7．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 例8．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 例9．（2026·高二·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 变式5．（2026·高二·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 变式6．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 题型 4：直线对称问题 例10．（2026·高二·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即. 例11．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【解析】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 例12．已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 【解析】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有,解得,则. （2）因为的坐标满足直线的方程，点关于直线的对称点为， 则直线即为所求的直线， 由两点式得所求直线方程为， 化简得. 变式7．（2026·高二·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【解析】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 变式8．（2026·高一·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【解析】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 变式9．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 变式10．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标； （2）求直线关于点对称的直线l的方程； （3）求直线关于直线对称的直线l的方程. 【解析】（1）过点且与直线垂直的直线的方程为， 由得， 即直线与直线的交点坐标为， ∵点关于点的对称点的坐标为， ∴点A关于直线l的对称点的坐标为. （2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上， ∴，整理得， 即所求直线l的方程为. （3）由得 ∴两直线的交点为， 在直线上取点， 设点B关于直线的对称点为， 则有 解得即点C的坐标为， 由于所求直线经过A､C两点，则有， 即， ∴所求直线l的方程为. 题型 5：两点间距离计算 例13．（2026·高二·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意. 故选：C 例14．（2026·高二·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解析】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 例15．（2026·高二·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【答案】D 【解析】计算出三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状.由已知可得，， ，所以，. 因此，为直角三角形. 故选：D. 变式11．（2026·高二·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 变式12．（2026·高二·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【解析】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 变式13．直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设所求点的坐标为，有，且， 两式联立解得或. 故选：C 题型 6：点到直线距离 例16．（2026·高二·云南曲靖·期中）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点到直线的距离是. 故选：B 例17．（2026·高二·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【解析】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 例18．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 变式14．（2026·高二·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 变式15．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线过定点， 当时，即当时，即当时， 点到直线的距离取最大值，且最大值为. 故选：D. 变式16．（2026·高二·福建福州·期中）已知点到直线的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】点到直线的距离为： . 故选：D 题型 7：平行线间距离 例19．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 例20．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 例21．（2026·高三·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 变式17．（2026·高二·宁夏中卫·阶段检测）已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，两直线的距离为. 故选：B 变式18．（2026·高二·广东广州·期中）若直线与平行，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与平行，，即，解得或， 当时，直线与，两直线重合，舍去； 当时，直线与，整理为，两直线平行， 根据两平行线的距离公式可得 . 故选：. 题型 8：距离问题综合应用 例22．（2026·高二·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【解析】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 例23．（2026·高二·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 例24．（2026·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为______. 【答案】5 【解析】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 变式19．（2026·高二·山东济南·阶段检测）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为______． 【答案】 【解析】可以转化为，故直线过定点， 可以转化为，故直线过定点， 由和满足， 所以两条直线互相垂直，可得， 所以，可得， 设为锐角，则，， 所以， 当时，取最大值. 故答案为：. 变式20．（2026·高二·湖南衡阳·阶段检测）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 【答案】 【解析】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 变式21．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 【答案】 【解析】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 题型 9：线段和差最值 例25．函数的最大值为___________． 【答案】 【解析】表示点，分别到，的距离差， 即在函数的图象上求点，使得取得最大值， 如图所示， 易知，当且仅当点位于的延长线与的交点， 所以. 故函数的最大值为. 故答案为：. 例26．（2026·高一·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 例27．（2026·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为______． 【答案】 【解析】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 故答案为： 变式22．（2026·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为______________. 【答案】 【解析】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式23．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图， 所以. 故答案为：. 变式24．（2026·高二·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为； 由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 变式25．（2026·高二·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 【答案】 【解析】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 1．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 2．（2026·高二·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 . 反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 3．（2026·高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：C 4．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】变形为，， 之间的距离为. 故选：C. 5．（2026·高二·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 6．（2026·高二·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 7．（2026·高二·安徽合肥·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的重心为，外心为， 因为，，，，， 所以重心坐标为，又直线的垂直平分线方程为， 故可设的坐标为， 解得，即 欧拉线方程为：，即： 故选：A. 8．（2026·高二·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线方程可化为：， 令得，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，， 要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：B 9．（多选题）（2026·高三·山东青岛·开学考试）（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】ACD 【解析】对于A，变形为，令，则 因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当时，，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，得， 此时，，， 则两直线间的距离为，故D正确． 故答案为：ACD. 10．（多选题）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 【答案】AD 【解析】因为两条平行直线与，所以，解得， 所以，而两平行直线间的距离是，则， 所以，得或，解得或. 故选：AD 11．（多选题）（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为 【答案】ABD 【解析】对于A，设过点且垂直于直线的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 所以所求直线为，所以A正确； 对于B，直线， 可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点，所以B正确； 对于C，当时，可得直线， 此时， 所以与不垂直，所以C不正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时， 则两平行线间的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 12．（2026·高三·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【解析】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 13．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【解析】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 14．（2026·高二·全国·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【解析】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 15．（2026·高二·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【解析】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 16．（2026·高二·山东泰安·阶段检测）已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； (2)求点关于对称点的坐标． 【解析】（1） 直线与的交点为，设点， 则，解得，， 直线经过点，记横截距，纵截距，则， 若时，直线过原点，直线方程，一般方程为； 若时，设直线方程为，则，解得， 直线方程，一般方程为； 综上，直线方程为或． （2）设点关于对称点， 则的中点位于直线上，且所在直线垂直于直线， ，解得， ． 17．（2026·高二·四川绵阳·期中）如图，面积为12的平行四边形，A为原点，的坐标为，在第一象限．    (1)求直线的方程； (2)若，求的纵坐标． 【解析】（1）由，得直线AB方程为，， 在中，设直线CD方程为， 由D在第一象限，得，A到直线CD距离，由面积为12， 得，则，所以直线CD方程为. （2）设，由及（1）得， 整理得，解得或，此时都大于0，符合题意， 所以的纵坐标是或. 18．（2026·高二·安徽·期中）（1）若经过点的直线在轴上的截距为4，求直线关于轴对称的直线方程； （2）已知直线与直线平行，求与的距离． 【解析】（1）因为经过点的直线在轴上的截距为4，所以其斜率存在，且不为0. 即直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零， 所以设直线关于轴对称的直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零. 点关于轴对称的点的坐标为， 设直线关于轴对称的直线方程为， 把代入方程得，所以直线关于轴对称的直线方程为，即. （2）由直线与平行，则，解得. 所以此时直线，， 所以与的距离. 19．（2026·高二·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【解析】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 直线的交点坐标与距离公式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的交点 3 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 3 知识点三：两点间的距离公式 3 知识点四：点到直线的距离公式 3 知识点五：两平行线间的距离 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：两直线位置关系判定 5 题型 2：过交点直线系方程 6 题型 3：直线交点求解 7 题型 4：直线对称问题 7 题型 5：两点间距离计算 9 题型 6：点到直线距离 10 题型 7：平行线间距离 11 题型 8：距离问题综合应用 11 题型 9：线段和差最值 12 04 过关测试 13 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 题型 1：两直线位置关系判定 例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 例2．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 例3．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 变式1．（2026·高二·上海·期中）已知，直线的方程为，直线 的方程为.当m变化时， （1）分别求直线和经过的定点坐标； （2）讨论直线和的位置关系. 变式2．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 题型 2：过交点直线系方程 例4．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 例5．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 例6．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 变式3．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 变式4．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 题型 3：直线交点求解 例7．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 例8．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例9．（2026·高二·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式5．（2026·高二·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式6．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 4：直线对称问题 例10．（2026·高二·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 例11．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 例12．已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 变式7．（2026·高二·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 变式8．（2026·高一·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 变式9．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 变式10．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标； （2）求直线关于点对称的直线l的方程； （3）求直线关于直线对称的直线l的方程. 题型 5：两点间距离计算 例13．（2026·高二·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例14．（2026·高二·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 例15．（2026·高二·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 变式11．（2026·高二·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式12．（2026·高二·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 变式13．直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型 6：点到直线距离 例16．（2026·高二·云南曲靖·期中）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 例17．（2026·高二·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 例18．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 变式14．（2026·高二·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 变式15．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高二·福建福州·期中）已知点到直线的距离为（   ） A． B． C． D．1 题型 7：平行线间距离 例19．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 例20．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 例21．（2026·高三·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高二·宁夏中卫·阶段检测）已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高二·广东广州·期中）若直线与平行，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 题型 8：距离问题综合应用 例22．（2026·高二·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 例23．（2026·高二·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 例24．（2026·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为______. 变式19．（2026·高二·山东济南·阶段检测）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为______． 变式20．（2026·高二·湖南衡阳·阶段检测）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 变式21．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 题型 9：线段和差最值 例25．函数的最大值为___________． 例26．（2026·高一·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为_____. 例27．（2026·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为______． 变式22．（2026·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为______________. 变式23．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 变式24．（2026·高二·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 变式25．（2026·高二·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 1．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 2．（2026·高二·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 4．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·安徽合肥·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 8．（2026·高二·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高三·山东青岛·开学考试）（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 10．（多选题）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 11．（多选题）（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为 12．（2026·高三·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 13．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 14．（2026·高二·全国·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 15．（2026·高二·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 16．（2026·高二·山东泰安·阶段检测）已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； (2)求点关于对称点的坐标． 17．（2026·高二·四川绵阳·期中）如图，面积为12的平行四边形，A为原点，的坐标为，在第一象限．    (1)求直线的方程； (2)若，求的纵坐标． 18．（2026·高二·安徽·期中）（1）若经过点的直线在轴上的截距为4，求直线关于轴对称的直线方程； （2）已知直线与直线平行，求与的距离． 19．（2026·高二·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $