第三十一讲 简单的三角恒等变换 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦简单的三角恒等变换，核心内容包括两角和差、倍角、降幂、半角等公式的推导与应用。课堂导入从已学公式出发，通过逻辑推导建立新公式内在联系，形成知识支架帮助学生构建完整知识体系。 资料包含三角恒等变换思维导图直观呈现公式关联，易错点汇总强化推理严谨性，必考题型覆盖基础应用到实际建模。通过多样习题培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），助力提升问题解决与创新意识。

第三十一讲 简单的三角恒等变换 【学习目标】用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，推导出积化和差、和差化积、半角公式． 【学习重点】用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，推导出积化和差、和差化积、半角公式． 【学习难点】发现公式之间的内在联系． 必掌握知识点： 一 三角恒等变换中公式总结 1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 2：二倍角公式 ①； ②； ③； 3：降次（幂）公式 4：半角公式 证明： 由降幂由降幂公得，则； 公式得，则式； . 解释 ：半角公式，利用表示了、、. 5: 万能公式 证明 ，则； ，则； ，则. 解释：万能公式，利用表示了、和. 6：辅助角公式 （其中）． 7：和差化积公式 证明： .其他类似证明. 8：积化和差公式 证明： 由和化积公式可得 令，，则，， 则公式变成. 其他类似证明. 二 解题方法总结 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； 3、其他常用变式 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 三. 三角恒等变换思维导图: 四.易错点汇总 1.辅助角公式出错 ，容易忘记除以；求最值直接取，正确最大值是。 2.求值域忽略自变量的区间 拿到直接写值域，没有先算的实际取值范围，直接套用全域值域，导致结果错误。 3.给值求角不约束角的范围 算出三角函数值，不去利用题干条件缩小角范围，产生多余解；部分题目计算三角函数之后，角互相矛盾，此时无解。配角的时候注意：，一定要计算配出来角的上下界。 4.单调区间求解错误 处理没有先把负号提出来；解不等式时，直接对解，不注意正负；求某一个限定区间内单调区间，最后要和的定义域取交集。 5.对称中心、对称轴概念混淆 对称轴：函数取到最值； 对称中心：函数图像过该点，不一定函数值为 0，对称中心纵坐标是，不是 0。 6.三角形内部三角恒等式易错 ① ，仅适用于非直角三角形，有直角时不存在，不能用； ②锐角三角形：推出；钝角三角形有一个角余弦小于 0； ③三角形内角范围，，不一定，还可能。 7.恒成立问题搞反不等号方向 恒成立，是；恒成立，是，容易写反。 8.相关题型易错 已知函数在区间单调，不能直接令区间等于一个单调区间，需要利用子集关系列不等式；处理正弦型函数零点个数，要准确分析相位区间内包含多少个周期。 9.齐次式求值前提 弦化切齐次式，前提，也就是，做题要留意这个隐含条件。 必考题型全归纳： 题型一：三角恒等核心公式（和差角、二倍角、升降幂、辅助角） 1．已知，，则____. 2．（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．求值： (1)； (2)． 4．的值为_____. 题型二：正弦型函数的性质（周期、单调性、对称、值域、最值） 5．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数， (1)写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 7．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求使成立的的取值集合. 题型三：给值求值、给值求角（角的变换、范围管控） 9．已知，，. (1)求； (2)求. 10．已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 11．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．若角，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角恒等变换与三角形综合（三角形内角关系） 13．在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 14．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的有（   ） A．若为锐角三角形，则 B．若为钝角三角形，则 C．存在，满足且 D．若，则，，成等差数列 15．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知在中，，，则此三角形是______三角形． 题型五：三角实际应用（扇形、矩形内接，几何建模） 17．如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 18．如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 19．如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 题型六：三角换元、复杂证明、归纳推理、新定义信息题 20．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为______. 21．（1）证明：（ⅰ） （ⅱ） （2）利用及（1）的恒等式证明： （3）化简或求值：. 22．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，证明：； (3)函数，若对任意的恒成立，求的取值范围． 巩固提升： 1．（多选）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 2．函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域． 4．化简求值 (1) (2) 5．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 6．计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 7．如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． (1)若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； (2)若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 8．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 10．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 11．若，且，则________． 12．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 14．若，则（    ） A． B． C． D． 15．（1）若不是直角三角形，求证：． （2）已知，且，，求的值． 16．三倍角公式：，，则方程的所有实根的乘积为__________ 17．（1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 18．三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 19．（    ） A． B． C． D． 20．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的最大值及相应的的值． 21．__________． 22．设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调减区间． 23．（1）观察以下各等式： ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． （2）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想取一般值时的取值范围． 24．已知函数（）的最小正周期是． (1)求的值； (2)设，若函数在区间上单调，求的最小值以及函数在上的最大值． 25．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一讲 简单的三角恒等变换 【学习目标】用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，推导出积化和差、和差化积、半角公式． 【学习重点】用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，推导出积化和差、和差化积、半角公式． 【学习难点】发现公式之间的内在联系． 必掌握知识点： 一 三角恒等变换中公式总结 1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 2：二倍角公式 ①； ②； ③； 3：降次（幂）公式 4：半角公式 证明： 由降幂由降幂公得，则； 公式得，则式； . 解释 ：半角公式，利用表示了、、. 5: 万能公式 证明 ，则； ，则； ，则. 解释：万能公式，利用表示了、和. 6：辅助角公式 （其中）． 7：和差化积公式 证明： .其他类似证明. 8：积化和差公式 证明： 由和化积公式可得 令，，则，， 则公式变成. 其他类似证明. 二 解题方法总结 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； 3、其他常用变式 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 三. 三角恒等变换思维导图: 四.易错点汇总 1.辅助角公式出错 ，容易忘记除以；求最值直接取，正确最大值是。 2.求值域忽略自变量的区间 拿到直接写值域，没有先算的实际取值范围，直接套用全域值域，导致结果错误。 3.给值求角不约束角的范围 算出三角函数值，不去利用题干条件缩小角范围，产生多余解；部分题目计算三角函数之后，角互相矛盾，此时无解。配角的时候注意：，一定要计算配出来角的上下界。 4.单调区间求解错误 处理没有先把负号提出来；解不等式时，直接对解，不注意正负；求某一个限定区间内单调区间，最后要和的定义域取交集。 5.对称中心、对称轴概念混淆 对称轴：函数取到最值； 对称中心：函数图像过该点，不一定函数值为 0，对称中心纵坐标是，不是 0。 6.三角形内部三角恒等式易错 ① ，仅适用于非直角三角形，有直角时不存在，不能用； ②锐角三角形：推出；钝角三角形有一个角余弦小于 0； ③三角形内角范围，，不一定，还可能。 7.恒成立问题搞反不等号方向 恒成立，是；恒成立，是，容易写反。 8.相关题型易错 已知函数在区间单调，不能直接令区间等于一个单调区间，需要利用子集关系列不等式；处理正弦型函数零点个数，要准确分析相位区间内包含多少个周期。 9.齐次式求值前提 弦化切齐次式，前提，也就是，做题要留意这个隐含条件。 必考题型全归纳： 题型一：三角恒等核心公式（和差角、二倍角、升降幂、辅助角） 和差角公式 变形： 二倍角公式 降幂公式： 升幂公式： 辅助角公式：，，最大值，最小值。作用：把两个正、余弦混合式，化成单一正弦 / 余弦函数，是求解周期、单调区间、值域的基础 和差化积、积化和差：用于复杂三角化简、证明。 1．已知，，则____. 【答案】 【详解】由，，得， 所以. 2．（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 3．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 4．的值为_____. 【答案】 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【详解】 而， ， 所以原式.故答案为： 题型二：正弦型函数的性质（周期、单调性、对称、值域、最值） 解题流程：先用降幂、和差、辅助角把原式化成标准形式。 最小正周期：； 单调区间：把整体代入的单调区间，解范围； 值域、最值：给出，求的范围，结合正弦图像求范围； 对称轴：令，解； 对称中心：令，解，对称中心； 恒成立问题：恒成立；恒成立。 5．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 6．已知函数， (1)写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式和辅助角公式化简解析式，由此求得函数的最小正周期. （2）根据（1）中所求的解析式，结合三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递减区间. （3）求得在区间上的值域，根据在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，， 所以函数最小正周期为. （2）由，，解得， 故函数的单调递减区间为. （3）由得，则，所以. 由得在上恒成立， 所以，解得，即m的取值范围是. 7．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期公式及图像分别判断各选项即可求解． 【详解】对于A，的最小正周期为，当时，， 由余弦曲线的图像知，该函数单调递减，故A不合题意； 对于B，，为偶函数， 结合正弦曲线的图像知，没有周期性，故B不合题意； 对于C，，最小正周期为，故C不合题意； 对于D，， 最小正周期为，当时，， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增，故D符合题意． 8．已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得的解析式，根据的最大值，即可得m值. （2）由（1）得的解析式，根据正弦型函数的性质，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ， 当时，有最大值，所以，解得. （2）由（1）知，， 由，得，所以， 解得， 故满足条件的的取值集合为. 题型三：给值求值、给值求角（角的变换、范围管控） 核心思想：拆角、配角，把目标角写成已知角加减组合，如； 求出三角函数值之后，必须结合条件约束角的范围，防止多解、错解； 给值求角步骤：先求这个角的某一个三角函数，再根据角范围确定唯一角； 易错：算出三角函数，忽略角范围，产生增根，出现无解情况。 9．已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦二倍角公式和同角关系式弦化切，再代入求值. （2）先利用两角和正切公式求，再根据范围求. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以，因此. 10．已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式得，再根据三角函数值确定角的范围，并结合两角差的正切公式可得所求角. 【详解】（1）由 ，解得. 又因为， 由 ，得， 故原式 . （2）因为，，由同角三角函数关系式得，. 由（1）分析知，，由两角差的正切公式得. 由且 ，得；由且，得， 所以，由不等式性质得，且， 因此. 11．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，所以， 所以 12．若角，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由辅助角公式和三角函数的性质得到的关系，然后由诱导公式和二倍角公式求得. 【详解】因为， 所以，则或， 即或， 又因为，，故, ，，故，，所以，因为，所以 所以， 所以，因为，所以. 题型四：三角恒等变换与三角形综合（三角形内角关系） 三角形内角恒等式：，； 若非直角三角形，则； 结合降幂、和差化积判断三角形形状：等腰、等边、锐角、钝角三角形； 锐角三角形重要性质：； 结合正弦定理，边角互化。 13．在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简条件，再根据取值范围求出，最后得到答案. 【详解】. 条件化为 ， ，，故 .所以三角形为等腰三角形. 14．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的有（   ） A．若为锐角三角形，则 B．若为钝角三角形，则 C．存在，满足且 D．若，则，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】A选项，锐角三角形中，利用可直接推得； B选项，钝角三角形中钝角余弦值为负，结合恒等式，可知整体大于小于2； C选项，由得则，平方后，再由得矛盾； D选项，用和差化积与可推导出，由正弦定理得，即成等差数列. 【详解】A选项：因为为锐角三角形，所以，即. 由于，均为锐角，正弦函数在上单调递增，所以. 同理可得，.将两不等式相加，得到，故A选项正确. B选项：运用降幂公式和和差化积公式化简： 因为为钝角三角形，所以三个角中必定有且只有一个钝角，另外两个为锐角.因此 从而推导出，即，故选项正确. C选项：假设存在，则，熟知，则，，则，矛盾，C错误； D选项：由，得，故. 代入已知条件： 又，代入得： 因，故，则：，两边同乘，得， 由正弦定理可得，D正确. 15．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变化，可得，从而可求出角，最后解等腰三角形即可求解. 【详解】由可得，， 由 ， 可得，由于，可得， 所以可得，联立可得：， 在等腰三角形中，作高为，则， 设，则，则， 故选：A. 16．已知在中，，，则此三角形是______三角形． 【答案】等边 【分析】利用两角和正切公式求出，再由二倍角正弦公式求得，从而得解. 【详解】由，得，即， 由，得，所以或． 由得，与有定义矛盾，所以只能． 所以是等边三角形．故答案为：等边 题型五：三角实际应用（扇形、矩形内接，几何建模） 设角为参数，利用三角函数写出边长表达式； 面积表示为三角函数，用辅助角化简； 根据角的定义域，求三角函数的最值。 17．如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 【答案】 【分析】连接OC，设，根据条件及三角函数的定义，可得BC、AB的表达式，代入面积公式，结合二倍角公式及辅助角公式，可得面积S的表达式，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【详解】连接OC，设， 在中，，则， 因为为矩形，所以， 又，则，则， 所以矩形面积 ， 因为，所以， 所以当时，即时，有最大值. 18．如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【答案】(1)(2)最小值是，所对应的的值是或． 【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出、，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到的表达式，再将的解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 过作，垂足为，由题意可得：，， 所以， 所以矩形的面积， 当时， ， 令，因为，所以， 则函数，其对称轴为，当时，， 当或时，，所以，即函数的值域为. （2）因为， 当时， 当且仅当，即 ，解得或时，等号成立． 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 19．如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) (2)，最大面积为. 【分析】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【详解】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得，所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 题型六：三角换元、复杂证明、归纳推理、新定义信息题 三角换元：条件有，令； 归纳猜想：观察式子，猜想一般三角恒等式，再用和差角公式证明； 阅读材料，使用题目给出陌生三角恒等式进行计算、证明； 反证法证明三角数为无理数。 20．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】直接利用三角换元法结合辅助角公式及三角恒等变换求解即可. 【详解】依题可设，，，， 由，可得 而， 可先求的最小值， 设，则， 从而有 ，因此，解得 则， 可知最大值为 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于多变量的最值问题，观察条件等式的结构，有时利用三角换元结合辅助角公式可巧妙处理. 21．（1）证明：（ⅰ） （ⅱ） （2）利用及（1）的恒等式证明： （3）化简或求值：. 【答案】（1）（i） ，得证； （ii） ，得证； （2）设，则，所以，故， 由（1）的恒等式可得， 因为，，得， 整理得， 令，则，可得， 因为，所以，故，得证； （3） 【分析】（1）应用三角恒等变换展开证明即可； （2）利用（1）的结论，设得，解方程即可得； （3）综合应用（1）（2）的结论，应用诱导公式、和差化积化简求值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知，，， 所以，原式 ， 由，， 所以， 由（2）知，且， 所以， 原式. 22．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，证明：； (3)函数，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)左边 ； 右边 ． 因为，所以． 故， (3) 【分析】（1）由题干公式和二倍角公式可得答案； （2）由题干公式分别化简等式左边和等式右边，证明出结论； （3）化简得到，参变分离，换元可得函数最值，求出实数的取值范围． 【详解】（1）可知 ， 结合已知条件可得； （2）略 （3）， 可得恒成立， 则对任意的恒成立， ， 令，因为，则， 易知在上单调递减，则的最大值为2， 所以实数的取值范围为． 巩固提升： 1．（多选）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据结合题干式子可求出，根据同角三角关系可求出，可判断A；利用可判断B；根据齐次式转换可判断C；利用同角三角关系求出，结合辅助角公式可判断D. 【详解】由，得，解得， 因为为锐角，所以，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，又为锐角，解得， ， 故D错误. 2．函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法构造函数利用单调性求最值 【详解】令，则，且， 所以，， 因为， 令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值. 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用降幂公式降幂，然后利用辅助角公式合成一个正弦型函数，最后利用最小正周期公式可得答案； （2）利用正弦型函数在定区间上的值域的求法可得答案. 【详解】（1）， ，， ， 故函数的最小正周期． （2）当时，， 所以， 故， 故函数在上的值域是． 4．化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 5．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）利用降幂公式以及辅助角公式化简原式可得：．结合为等边三角形求解即可. 【详解】（1）角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， ，根据三角函数的定义可得：，， ． （2） ， 由题意可得，从而为等边三角形， 则，由（1）得， 故． 6．计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【详解】（1） （2）∵、都为锐角，∴， 又，∴， ，∴ . 7．如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． (1)若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； (2)若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】(1)(2)①；②，此时的取值的集合为 【分析】（1）由已知可得，利用，结合两角差的正切公式计算可求的值； （2）①设，由已知可得，计算可得，可求的大小；②由题意得：，利用两角差的余弦公式以及二倍角的正余弦公式可求的最小值及取得最小值时的集合． 【详解】（1）因为点为靠近点的三等分点， ，因为，所以； （2）①设， 由的面积加1等于两条直角边之和可得，化简可得． 又， 于是 ，则所以的大小为． ②由题意得：， 所以． 而 ， ，，， 当，即时，取最大值为， 因此的最小值为， 取最小值时的集合为． 8．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 令，记，，则， 设，因为，所以，， 当时，，此时，将其代回验算，，当时，，与上面一致． 因为恒成立，故实数的取值范围为． 9．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1) 利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . (2)； (3) ， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 【分析】（1）将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； （2）令代入后并利用二倍角公式即可得的值； （3）利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】（1）略 （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得；. 10．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 【答案】 （1） . （2）， 因为，所以， 则 （3）假设是有理数，设，则为正有理数. 由（1）知，由（2）知 因为，所以， 若是有理数，设（互质且为正整数）， 代入方程，可得， 所以且 所以为的约数，且为的约数，而互质，故，， 故， 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 综上，无正有理根， 所以是无理数. 【分析】（1）利用二倍角的余弦结合两角和的余弦可证该三角恒等式； （2）利用二倍角的余弦公式可证； （3）假设是有理数，设，则方程有有理根，结合整除性可得矛盾，从而可证是无理数． 11．若，且，则________． 【答案】 【分析】由半角公式、同角三角函数关系式及两角差的正切公式可得，再由角的范围及正切函数的性质可得角的值. 【详解】因为， 因为，所以，， 所以，且， 因为正切函数在上单调递增，所以，得． 因此. 12．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正弦公式，及同角的三角函数的基本关系即可求解． 【详解】由，， 两式相加得，即， 两式相减得，即， 所以． 13．已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）使用平方关系计算出，再使用半角公式求解； （2）分析出已知角与未知角的关系，使用两角差的正弦公式求解，最后结合象限角的符号判断. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以. （2）因为，所以， 又，所以， 所以 又因为，所以，与上述计算结果矛盾， 故的值不存在，即无解. 14．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差的正切公式可得，利用两角和差公式以及倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以 . 15．（1）若不是直角三角形，求证：． （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）证明：不是直角三角形， ， ， ， ， ，得证． （2） 【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的正切公式即可证明； （2）由题意利用同角三角函数基本关系可求，的值，由结合两角差的正弦公式可求解的值. 【详解】（1）略； （2）因为，，所以， 又因为，所以，因为， 所以，， 所以 ． 16．三倍角公式：，，则方程的所有实根的乘积为__________ 【答案】/ 【分析】根据已知，设且，将方程化为，进而求对应，从而得到方程的根，最后应用三角恒等变换求根的乘积. 【详解】由，则，即， 令且，则， 所以，即， 所以，，可得，， 或，，可得，， 综上，或或，即原方程对应的三个根为， 所以. 17．（1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先进行切化弦，再结合辅助角公式及诱导公式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式可得正弦值，再通过变角，再用两角差的余弦公式可得. 【详解】（1）原式 . （2）解：由，是锐角，得 因为，是锐角，所以 又因为，所以 ∴. 18．三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将代入，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由题意，将代入， 可得 . 19．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 . 20．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的最大值及相应的的值． 【答案】(1); (2); (3)最大值为，此时. 【分析】（1）先化简解析式为，再计算的值即可； （2）根据计算函数的最小正周期即可； （3）由，计算，进而求出函数在区间上的最大值，再求解相应的的值即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由得， 故函数的最小正周期为； （3）因为，所以，所以，， 所以函数在区间上的最大值为， 此时，又，所以，解得， 故函数在区间上的最大值为，此时. 21．__________． 【答案】/ 【分析】结合诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】因为 . 22．设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调减区间． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解最小正周期即可； （2）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解单调减区间即可. 【详解】（1）已知函数， 由于，， 所以， 因此函数的最小正周期. （2）由（1）可知，， 由于正弦函数的单调递减区间为， 所以当，即时，单调递减， 因此函数的单调减区间为. 23．（1）观察以下各等式： ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． （2）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想取一般值时的取值范围． 【答案】（1）猜想： 证明：由两角和的余弦公式： . 即证，故猜想成立. （2）时，；时，；时，； 猜想：当时，. 【分析】（1）观察角度：，，，第二个角比第一个角大，式子结构统一，结果均为，据此写出猜想，再用余弦和角公式展开证明； （2）利用对高次幂变形，分别求出，，的取值，对比得到一般偶数次的取值猜想. 【详解】（1）分析共同特点： 三个等式结构一致，均为的形式； 等式中第二个角度比第一个角度大； 运算结果都等于. 猜想：. 证明略. （2）当时，，取值恒为1； 当时，， 又因为，所以； 当时， ， 又因为，所以； 观察上面结果： ，，； ，，； ，，； 猜想：当时，. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查归纳推理，先观察式子归纳一般规律，再利用和角公式证明； 对偶数次正余弦幂次，利用同角平方关系降次，计算特殊值后归纳取值范围. 24．已知函数（）的最小正周期是． (1)求的值； (2)设，若函数在区间上单调，求的最小值以及函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式化简函数为正弦型，由最小正周期公式求 ； （2）由周期确定单调区间长度，区间长度等于半周期，因此端点须为极值点，解出的通式取最小正值，代入所得区间，可得正弦函数在相应范围内取得的最大值． 【详解】（1）因为， 依题意，，所以． （2）由（1）可知，． 因为的最小正周期是，所以的一个单调区间的长度为． 因为区间的长度为，且在区间上单调， 所以在区间的端点取到最大值或者最小值． 所以，即（）， 解得（）．因为，所以当时，的最小值． 于是．由，得． 当，即时，的最大值为． 25．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合自变量区间求最值，最后计算最值之和. 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. 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