5.4.3正切函数的性质与图像 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦正切函数的性质与图像，通过单位圆引出定义，结合诱导公式先研究[0, π/2)上的图像与性质，再利用奇偶性和周期性拓展至整个定义域，衔接正弦余弦函数学习经验构建知识支架。 资料亮点在于梳理易错点明确认知误区，独创“三点两线法”突破作图难点，题型覆盖基础到综合。通过观察图像形成培养数学眼光，推理性质发展数学思维，精确描述提升数学语言能力，助力学生系统掌握并高效解题。

第二十九讲 正切函数的性质与图像 【学习目标】（1）借助单位圆能画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性、奇偶性； （2）借助图象理解正切函数在 上的性质． 【学习重点】正切函数的图象及其主要性质． 【学习难点】：正切函数的图象画法. 必掌握知识点： 一 正切函数的性质与图像 1. 周期性 由诱导公式，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函数是周期函数， 正切函数的周期是π． 2.奇偶性 由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z，可知，正切函数是奇函数． 可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 如图5.4.9，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则=== 由此可见，当 ∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数 ∈[0,的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知， 当∈[0, 时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线＝ 根据正切函数是奇函数，只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）． 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+， ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． ３.单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增． 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都单调递增． ４.值域 当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R． 二 易错点汇总 1.周期是，不是；没有对称轴，只有对称中心； 2.正切只在每一个开区间单调递增，不能说在整个定义域是增函数； 3.定义域：，这些位置是渐近线，函数图像不会与渐近线相交； 4.方程的通解是，间隔，不是； 5.作图区分：正弦余弦用五点法；正切函数用三点两线法； 6.推不出，只能推出。 必考题型全归纳： 题型一：正切函数基础概念（定义域、值域、周期、渐近线） 1．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：正切函数奇偶性、对称性 4．下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 5．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三：正切函数单调性 7．下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 9．函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：零点问题 10．已知，则（　　） A． B． C． D． 11．函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 13．曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：图像作图：三点两线法（正切专用） 14．函数在区间上的简图是（     ） A． B． C． D． 15．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 16．如何利用“三点两线”法作正切函数的图象？ 题型六：综合题型：数形结合（正切与其它函数图像交点、恒成立） 17．如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 18．设为不等于的正实数，若不等式对任意都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：三角换元，正切与二次函数复合 19．已知函数，若，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 21．已知函数，其中． (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求． 巩固提升： 1．，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点，点P到原点的距离为，定义：角α的余切，角α的正割，角α的余割，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 6．与函数不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 10．已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11(多选)．已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 12(多选)．已知函数，则（    ） A．关于对称 B．的最小正周期为 C．的定义域为 D．在上单调递增 13(多选)．以下是方程的解的为（   ） A．0 B． C． D． 14(多选)．下列命题中，假命题是（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．， D．命题“，”的否定为“，” 15(多选)．已知函数有两个零点，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 16(多选)．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 17(多选)．现给出下列四个函数，其中在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 18(多选)．下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为的函数有（   ） A． B． C． D． 19(多选)．已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 20(多选)．已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 21(多选)．如图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 22(多选)．已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则n的最小值为338 C．若存在实数a，使，则t的最小值为 D．若存在实数t，使，则a的最大值为 23．函数的单调增区间是_______________. 24．已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 25．若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 26．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________. 27．已知，则，，的大小关系是________． 28．已知，若，则__________． 29．已知函数，，则____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九讲 正切函数的性质与图像 【学习目标】（1）借助单位圆能画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性、奇偶性； （2）借助图象理解正切函数在 上的性质． 【学习重点】正切函数的图象及其主要性质． 【学习难点】：正切函数的图象画法. 必掌握知识点： 一 正切函数的性质与图像 1. 周期性 由诱导公式，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函数是周期函数， 正切函数的周期是π． 2.奇偶性 由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z，可知，正切函数是奇函数． 可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 如图5.4.9，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 === 由此可见，当 ∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数 ∈[0,的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知， 当∈[0, 时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线＝ 根据正切函数是奇函数，只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）． 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+， ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． ３.单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增． 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都单调递增． ４.值域 当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R． 二 易错点汇总 1.周期是，不是；没有对称轴，只有对称中心； 2.正切只在每一个开区间单调递增，不能说在整个定义域是增函数； 3.定义域：，这些位置是渐近线，函数图像不会与渐近线相交； 4.方程的通解是，间隔，不是； 5.作图区分：正弦余弦用五点法；正切函数用三点两线法； 6.推不出，只能推出。 必考题型全归纳： 题型一：正切函数基础概念（定义域、值域、周期、渐近线） 函数 定义域：，，是垂直渐近线，函数在此处无意义，图像无限靠近但不相交。 值域：，全体实数，没有最大值、最小值。 最小正周期：（注意和正弦余弦区分）。 正切型函数 周期公式：； 求定义域：令，解； 渐近线：就是定义域取不到的。易错：正切周期是，不是 1．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，逐项判断即可. 【详解】函数的定义域是，故A错误 因为，所以函数在定义域上的不是增函数，故B错误； 函数的图像没有对称轴，故C错误； 函数是奇函数，故D正确.故选：D. 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 3．已知函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正切函数性质得函数的最小正周期为，得到. 题型二：正切函数奇偶性、对称性 是奇函数：，图像关于原点中心对称。 正切没有对称轴！只有对称中心。 对称中心：，不只，渐近线与轴交点也是对称中心。 对于：令，解出，得到对称中心横坐标。 4．下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为， 所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减， 所以选项D错误．故选：D． 5．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 6．以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，，函数定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项B，，函数定义域为，所以函数为非奇非偶函数； 对于选项C，，定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项D，，函数定义域为， 且，所以函数为奇函数； 题型三：正切函数单调性 单调递增区间： 易错：正切在整个定义域上不是增函数，只在每一个独立开区间内单调递增，跨区间不能用单调性。 正切型：整体换元，令，代入基础增区间解不等式求。 题型： ①求单调递增区间； ②已知函数在给定区间单调，反求参数范围； ③比较正切值大小，先诱导公式化到同一个单调区间。 7．下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数周期公式或周期定义判断各选项函数的周期，再结合正、余弦函数以及正切函数的图象与性质判断其在指定区间上的单调性． 【详解】对于A，，周期为，在上单调递减且大于0，所以在上单调递减，A错误； 对于B，，周期为， 当时，，因为在上先递减再递增， 所以在上先递减再递增，B错误； 对于C，其最小正周期，不是的周期，C错误； 对于D，的最小正周期为，且正切函数在开区间内单调递增，取得区间，是该区间的子集，故在上单调递增，所以D正确. 8．已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得；，，解得；，；，得；的最大值为. 9．函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式判断函数的区间单调性，进而得到，结合不等式恒成立即可得参数范围. 【详解】由，在上单调递增，则在上单调递增， 且时，时，所以， 在上恒成立，所以. 题型四：零点问题 零点：，令求解。 题型： ①解方程； ②给定区间内零点个数，求参数范围； ③函数图像交点问题：把方程根等价转化为两个函数图像交点。 10．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，即可求解. 【详解】因为，， ，所以.故选：A. 11．函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】联立方程直接求解即可. 【详解】令得，所以或， 解得或，即，又，所以， 所以函数与的图象在区间上有3个交点：. 12．函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出函数与在上的图象， 可知两个函数的图象在上有4个交点， 且从左至右的第1，4个交点，与第2，3个交点均关于点对称， 所以. 13．曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先通过令，解出或者，再根据即可得出函数与在内的交点个数． 【详解】由题意可知，函数与的图像在内有交点， 即有解， 则，化简得 解得或者， 所以在内仅有一解，故交点个数为一个． 题型五：图像作图：三点两线法（正切专用） 一个周期作图：三点：，， 两线（渐近线）：， 正切型：整体换元，求出一个周期内两个渐近线、一个零点、两个辅助点，描点画图；再平移扩展到全体定义域。正弦余弦用五点法；正切用三点两线法 14．函数在区间上的简图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算函数在几个特殊点处的函数值，与选项中的图象进行比对，从而排除不符合的选项，选出正确图象. 【详解】由，排除B，D． 由，，排除C．故选：A. 15．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 16．如何利用“三点两线”法作正切函数的图象？ 【答案】“三点”是指,,；“两线”是指和. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右平移(每次平移个单位长度)即可得到正切曲线． 【详解】“三点”是指,,；“两线”是指x＝－和x＝. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右平移(每次平移个单位长度)即可得到正切曲线． 题型六：综合题型：数形结合（正切与其它函数图像交点、恒成立） 正切与余弦、对数函数、一次函数图像相交，数交点个数，利用图像对称性求交点横坐标之和。 不等式恒成立：画出图像，比较区间上函数上下位置，得到参数不等式。 几何应用：反射光线、几何图形中利用处理边角计算。 17．如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记，设，由几何关系用逐个三角形推出，再由中，，最终求出结果. 【详解】记，根据对称性得到，， 设，，在中，，， 在中，，， 在中，， ， 在中，， ，，得．故选：C    18．设为不等于的正实数，若不等式对任意都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，数形结合可得出，结合对数函数的单调性可求出实数的取值范围. 【详解】若，对任意的，，，不等式不成立. 所以，作出函数、在上的图象如下图所示： 要使得不等式对任意都成立，则， 因为对数函数在上为减函数，所以， 又因为，故，即实数的取值范围是. 题型七：三角换元，正切与二次函数复合 令，（正切值域全体实数），转化为二次函数求值域、最值。 19．已知函数，若，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用分段函数的性质，结合对数函数与正切函数的性质即可得解. 【详解】因为，， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上，的值为或.故选：B. 20．（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得，解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，.所以的值域是． 故答案为：；. 21．已知函数，其中． (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求． 【答案】(1)最小值，；最大值为， (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解； （2）利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，，则， 的图象对称轴为，开口向上， 所以当时，即时，取得最小值，最小值为， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时. （2）因为 的最小值为， 所以，且,所以，又，所以. 巩固提升： 1．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可. 【详解】.故选：C 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解. 【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足； 充分性：若，则，故充分性满足； 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.故选：A. 3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，因为，所以是奇函数，但其在整个定义域上不单调递增，所以A错误； 选项B，若，，单调递增，且时，， 若，，单调递增，且时，， 又时，所以在上是单调递增， 因为，所以为奇函数，所以B正确； 选项C，因为，所以是奇函数，但不单调递增，所以C错误； 选项D，因为，所以是奇函数， 在，上单调递增，但在整个定义域上不单调递增，所以D错误. 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的最小正周期为，在区间上单调递增，错误； 对于B，，最小正周期为，在区间上单调递减，正确； 对于C，最小正周期为，在区间上单调递增，错误； 对于D，最小正周期为，在区间上单调递减，错误. 5．将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点，点P到原点的距离为，定义：角α的余切，角α的正割，角α的余割，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】D 【详解】不妨设点在单位圆上，则． 对于A，由于，，，所以，A正确； 对于B，由于，，，所以，B正确； 对于C，当时，，当时，且的值随α增大而减少， 当时，且的值随α增大而减少，所以在上单调递减，C正确； 对于D，因为，，，所以函数在上不单调，D错误． 6．与函数不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线. 【详解】由函数有意义，需使，解得，即的定义域为 ， 当时，，即与函数的图象不相交. 因，，都在函数定义域内，即，，与函数的图象相交. 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以的定义域为． 8．下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为，定义域与值域不同，故D错误； 9．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期，即可得，再利用可求出，结合函数对称性即可得解. 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得，结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 10．已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故选：C 11(多选)．已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正切函数的周期性求得判断A；利用正切函数的定义域求解判断B；利用正切函数的单调性求解判断C；利用正切函数的性质解不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A错误； ∵，∴， ∴的定义域为，故B正确； 由，解得， ∴的单调增区间为，， 时，单调增区间为，显然，故C正确； 由得，， ∴，， ∵，∴时，a取最大值为，故D正确.故选：BCD 12(多选)．已知函数，则（    ） A．关于对称 B．的最小正周期为 C．的定义域为 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由正切函数性质逐一计算求解即可判断各选项. 【详解】对于A，由，得， 所以当时，的图象关于对称，A正确； 对于B，的最小正周期为，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，若，则，又在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确.故选：ABD 13(多选)．以下是方程的解的为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解正切型方程判断即可. 【详解】因为，所以，， 所以，，所以是方程的解， 故选：ACD 14(多选)．下列命题中，假命题是（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．， D．命题“，”的否定为“，” 【答案】ACD 【分析】利用正弦函数的值域判断A；利用指数函数的性质判断B；举反例判断C；利用全称量词的否定判断D. 【详解】对于A，因为的值域为， 所以不存在，使得，故A是假命题； 对于B，当时，，即充分性成立； 当时，，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件，故B是真命题； 对于C，当时，满足，但，故C是假命题； 对于D，由全称量词的否定可知： 命题“，”的否定为“，”，故D是假命题. 故选：ACD. 15(多选)．已知函数有两个零点，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】以方程的两个零点、为核心，先利用单位圆推导出和的周期性，结合函数图象判断、，再将、代入表达式，结合三角函数在对应区间的符号、单调性，通过变形化简与符号分析，完成对和的正负判断，从而验证各选项正误. 【详解】设，作单位圆，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接. 由三角函数的定义可知，，设扇形的面积为. 则，即，故，当时，有不等式； 已知函数，，令得. 由与图象与性质得零点：，. 满足，，且；. 对于选项A，画出与的函数图象， 如图： 可以看出，故，故A正确； 对于选项B，的最小正周期为，由图象可知，所以，故B错误； 选项C：因为. 所以 因为，所以 而，但，且在为增函数. 故，故，故C正确. 选项D：因为，， 所以. 因为，， 所以，，，，则. 由的零点性质，且， 又在上单调递减， 故，即，得. 因此，即，D正确 16(多选)．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B错误； 对于C，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，函数的周期为，D错误. 17(多选)．现给出下列四个函数，其中在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为在区间上单调递减，所以A错误； 因为在R上单调递增，所以B正确； 因为在上单调递增，所以C正确； 因为在R上单调递增，所以D正确． 18(多选)．下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为的函数有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用三角函数的性质可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，最小正周期为，满足3个条件，故A正确； 对于B，因为，所以为偶函数，不满足条件②，故B错误； 对于C，的最小正周期为，不满足条件③，故C错误； 对于D，因为，所以为奇函数，最小正周期为， 由，，得，， 所以取，得的一个单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，满足3个条件，故D正确. 19(多选)．已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先用正切周期公式求出，再利用正切函数对称中心通式解出的参数表达式，将各选项横坐标代入验证是否存在整数，存在即为对称中心． 【详解】由函数的最小正周期为， 得，解得，所以， 由，得， 对于A，当时，，即是的一个对称中心，A正确； 对于B，当时，，即是的一个对称中心，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，当时，，即是的一个对称中心，D正确． 20(多选)．已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的性质判断． 【详解】对AB，的定义域为，值域为，A正确，B错误. 对C，，所以的图象关于点对称，C正确. 对D，当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减.当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确. 21(多选)．如图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 当时，， 由图知是函数的下降零点， 所以，所以. 所以； 当时，， 由图知是函数的上升零点，所以， 所以.所以. 综上所述，或者. 22(多选)．已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则n的最小值为338 C．若存在实数a，使，则t的最小值为 D．若存在实数t，使，则a的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正切函数的周期为6及区间包含337个完整周期，结合图像分析不同参数下每个周期内整数解的分布规律，从而判断各选项的正确性. 【详解】画出函数的图象如图所示，    因为的周期，所以区间含区间和337个完整的周期， 对于A：若，则原式为， 即求不等式的整数解，只需找直线和之间横坐标为整数的点， 由图可知：3，9，15，…均满足，共有338个，故A正确： 对于B：的整数解个数， 即直线和之间横坐标为整数的点的个数． 取，此时当时，不等式无解，则，故B错误； 对于C：要使，则区间和337个周期内各2个． 要使t最小，只需内包含1和2，因此t的最小值为，故C正确； 对于D：要使，则区间和337个周期内各2个． 要使a最大，只需内包含2和3，因此a的最大值为，故D正确． 23．函数的单调增区间是_______________. 【答案】 24．已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【答案】/ 【详解】由题：， ，所以，， 所以，． 25．若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据题意将假命题转化为真命题，得出，；再根据函数在上单调递增，得出，即可解答. 【详解】因为命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题， 则该命题的否定是真命题，即，函数的值不大于m. 即，. 又因为正弦函数和正切函数在区间上都单调递增， 所以函数在上单调递增，当时，， 则，所以m的取值范围为．故答案为： 26．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】先利用两角终边关于轴对称推出,再由正切诱导公式得,结合在上单调递增求出的取值范围,进而得到的区间,最终得出的最大值. 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以，. 由正切函数的周期性与诱导公式得. 已知，函数在该区间上单调递增. 所以，则.故的最大值为. 27．已知，则，，的大小关系是________． 【答案】 【详解】，又是奇函数，． ． ，． ，且在上是增函数． ，即． 28．已知，若，则__________． 【答案】 【分析】设，由奇函数的性质即可求解． 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又，所以， 所以． 29．已知函数，，则____________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $