5.2 解一元一次方程 学案 2026-2027学年人教版七年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“解一元一次方程”，系统梳理去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤及依据，通过典例精析从基础求解到整数解、参数关系等综合题型，搭建从具体操作到抽象应用的学习支架，衔接前后知识。 资料亮点在于分层训练适配不同学生需求，易错点提示强化数学思维严谨性，典例变式与新定义题型培养运算能力和推理意识，助力学生用数学语言解决问题，有效提升解一元一次方程的核心素养。

初中数学（RJ）七年级上册 5.2 解一元一次方程 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】掌握移项、合并同类项、系数化为1等基本变形，能熟练求解形如 ax+b=cx+d 的一元一次方程；会把解代回原方程进行检验，体会"化归"思想。 二、知识梳理 知识点 1 　解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母（依据：等式的性质2） 2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（依据：乘法分配律） 注意：特别是去掉括号，符号的变化 3.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边（依据：等式的性质1） 注意：移项要变符号；一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4. 合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“ax=b”的形式（a≠0）（依据：等式的性质2） 注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． ★ 重点　解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1；具体方程可灵活选用其中几步。 ⚠ 易错　移项必须变号（从等号一边移到另一边，正变负、负变正）；合并同类项只对"同类项的系数"相加，字母及其指数不变。 ◆ 方法　按"去括号→移项→合并→系数化1"的顺序书写，每步只做一件事，便于检查。 三、典例精析 题型 1 　解一元一次方程　 例1　解方程： (1)3(x−1)−2(x−2)=6 (2)−1= 【答案】（1）解：3(x−1)−2(x−2)=6 去括号，得3x−3−2x+4=6， 移项，得3x−2x=6+3−4， 合并同类项，得x=5； （2）解：−1= 去分母，得3(2y−1)−12=2(5y−7)， 去括号，得6y−3−12=10y−14， 移项，得6y−10y=−14+3+12 合并同类项，得−4y=1， 系数化为1，得y=−． 变式1　解方程： (1)−x−3x=−1； (2)3x−2.5x=8−3−2x． 【答案】（1）解：−x−3x=−1， −x=， x=−； （2）解：3x−2.5x=8−3−2x， 3x−2.5x+2x=8−3， 2.5x=5， x=2． 变式2　解下列方程： (1)−1= (2)−=1 【答案】（1）解：−1=， 去分母得：3(3y−1)−12=2(5y−7)， 去括号得：9y−3−12=10y−14， 移项得：9y−10y=−14+3+12， 合并同类项得：−y=1， 系数化为1得：y=−1； （2）解：整理得5x−5−(4x+2)=1， 去括号得：5x−5−4x−2=1， 移项得：5x−4x=1+5+2， 合并同类项得：x=8． 题型 2 　一元一次方程的整数解问题　 例2　已知关于x的方程9x−3=kx+6有正整数解，则满足条件的所有整数k的值为 ． ⚠ 易错　整数解问题：先把 x 用参数表示成分式，再由"分母整除分子"逐一列举；注意区分整数解、正整数解、非负整数解的范围差别。 【答案】解：9x−3=kx+6， (9−k)x=9，解得x=， ∵关于x的方程9x−3=kx+6有正整数解， ∴为正整数，∴9−k=1或9−k=3或9−k=9， 解得k=8或k=6或k=0 变式1　已知关于x的方程4−mx=−3(x+1)有整数解，则正整数m的所有可能的取值之和为 ． ⚠ 易错　整数解问题：先把 x 用参数表示成分式，再由"分母整除分子"逐一列举；注意区分整数解、正整数解、非负整数解的范围差别。 【答案】解：4−mx=−3(x+1)， 去括号，得4−mx=−3x−3， 移项、合并同类项，得(3−m)x=−7， 化系数为1，得x=， ∵原方程有整数解，∴m−3=±1或±7，且m−3≠0， 解得m=4或2或10或−4，∴正整数m的所有可能的取值之和为4+2+10=16． 变式2　已知关于x的方程x−=−1有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．−14　　B．−45　　C．45　　D．−135 【答案】A解：方程去分母，得6x−(1−ax)=2x−6， 去括号，得6x−1+ax=2x−6， 移项，得(6x+ax−2x)=−6+1， 合并同类项，得(4+a)x=−5， ∴x=，∵ 方程有正整数解，∴ >0且为整数， ∴4+a<0且是−5的约数， ∵−5的负约数有−1和−5，∴4+a=−1或4+a=−5，解得a=−5或a=−9， ∴整数a的所有可能取值的和为−5+(−9)=−14 变式3　已知关于x的方程9x−3=kx+14有整数解，那么满足条件的整数k有（   ）个 A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：由9x−3=kx+14得， 9x−kx=14+3 (9−k)x=17，∴x=， ∵关于x的方程9x−3=kx+14有整数解，∴9−k=±1或9−k=±17， 解得：k=8或k=10或k=−8或k=26，∴整数k有4个 题型 3 　根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数　 例3　（1）的值比的值小1，求x的值． （2）x取何值时，代数式4x−3与5(x−2)的差为1． 【答案】解：（1）由题意得：=−1， 方程两边同乘6，得3(3x−1)=2(2x+2)−6， 去括号得：9x−3=4x+4−6， 移项，合并同类项得：5x=1，解得：x=； （2）根据题意得4x−3−5(x−2)=1， 去括号得：4x−3−5x+10=1， 移项合并同类项得：−x=−6， 解得：x=6． 变式1　已知方程=x−1的解比关于x的方程kx−11=3k+1的解大5． (1)求方程=x−1的解；(2)求k的值． 【答案】（1）解：=x−1， 6−x=4x−4， −x−4x=−4−6， −5x=−10， x=2． （2）∵方程=x−1的解比关于x的方程kx−11=3k+1的解大5． ∴方程kx−11=3k+1的解为2−5=−3， 将x=−3代入方程kx−11=3k+1得到−3k−11=3k+1， ∴−6k=1+11，解得k=−2 变式2　当k取何值时，方程−2(x−1)=3x−13和方程6−2k=3(x−1)的解相同？ ⚠ 易错　同解/含参：先求出不含参方程的解，再代入含参方程求参数，是最稳妥的套路。 【答案】解：解−2(x−1)=3x−13，得：x=3； 当方程−2(x−1)=3x−13和方程6−2k=3(x−1)的解相同时， 则：6−2k=3×(3−1)，解得：k=0． ∴当k=0时，方程−2(x−1)=3x−13和方程6−2k=3(x−1)的解相同． 变式3　已知关于x的方程=x+与方程4x−3(4−x)=2的解互为相反数，求m的值 ⚠ 易错　同解/含参：先求出不含参方程的解，再代入含参方程求参数，是最稳妥的套路。 【答案】解：=x+， ∴3(m−x)=12x+4m，∴3m−3x=12x+4m，∴−15x=m，解得：x=−， 4x−3(4−x)=2 4x−12+3x=2 7x=14 x=2 根据题意得，−+2=0 −=−2解得：m=30． 题型 4 　一元一次方程的错解问题　 例4　小红解关于x的方程3x+=2−，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为x=1． (1)求a的值．(2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． ⚠ 易错　去分母：方程两边同乘各分母最小公倍数，不含分母的项（含整数项）也要乘；分子是多项式要去分母后加括号。 【答案】（1）解：由题意得：x=1是方程18x+2(2x−1)=2−3(x−a)的解， 把x=1代入方程18x+2(2x−1)=2−3(x−a)，得： 18×1+2×(2×1−1)=2−3×(1−a)， 解得：a=7； （2）解：由（1）得：原方程为3x+=2−， 去分母，得：18x+2(2x−1)=12−3(x−7)， 去括号，得：18x+4x−2=12−3x+21， 移项，得：18x+4x+3x=12+21+2， 合并同类项，得：25x=35， 系数化为1，得：x=； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 变式1　小庄在解关于x的方程+1=时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为x=−8，求原方程的正确解． ⚠ 易错　去分母：方程两边同乘各分母最小公倍数，不含分母的项（含整数项）也要乘；分子是多项式要去分母后加括号。 【答案】解：∵+1=在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6， ∴2(2x+m)+1=3(x−3) 将x=−8代入2(2x+m)+1=3(x−3)，得2(−16+m)+1=3×(−11)， ∴−32+2m+1=−33∴2m=−2解得：m=−1， ∴+1= 方程去分母得2(2x−1)+6=3(x−3)，∴2(2x−1)+6=3(x−3) ∴4x−3x=2−9−6解得x=−13． 变式2　聪聪在解一元一次方程=−1时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项(−1)，得到的一元一次方程的解为x=2． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】（1）解：由题意，去分母，得：2x−1=x+a−1， 把x=2代入，得：4−1=2+a−1，解得：a=2； （2）解：把a=2代入原方程，得：=−1， 去分母，得：2x−1=x+2−3， 移项，合并得：x=0； （3）解：在移项的过程中要注意变号（答案不唯一）． 变式3　在解关于x的方程−2x=m时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为x=． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】（1）解：由题可知，x+1−4x=m，即1−3x=m，∵x=，∴m=−1； （2）由（1）可知，原方程为−2x=−1， 去分母，得x+1−4x=−2， 移项、合并同类项，得−3x=−3， 系数化为1，得x=1． 题型 5 　一元一次方程的解在新定义中运用　 变式5　用“⊗”定义一种新运算，规则如下：a⊗b=ab−2a+b． (1)计算：(−6)⊗10=______；(2)若(10+x)⊗(−8)=12，求x的值． ⚠ 易错　新定义题：先逐字读懂新规定的符号或关系，严格按定义改写为一元一次方程，不要套用旧经验。 【答案】（1）解：∵a⊗b=ab−2a+b， ∴(−6)⊗10=(−6)×10−2×(−6)+10=−60+12+10=−38． （2）解：(10+x)⊗(−8)=12 (10+x)×(−8)−2(10+x)−8=12 解得：x=−12． 变式2　定义：A(x,y)=叫作x，y的三等分点，B(x,y)=2(x−y)叫做x，y的2倍距离．如：A(−1,5)==，B(−1,5)=2(−1−5)=12，试求： (1)A(−3,7)= ，B(−3,7)= ． (2)若A(−2,x)+B(−2,5)=2x，则A(x,19)的值． ⚠ 易错　新定义题：先逐字读懂新规定的符号或关系，严格按定义改写为一元一次方程，不要套用旧经验。 【答案】（1）解：A(−3,7)==；B(−3,7)=2(−3−7)=20； 故答案为：；20； （2）解：∵A(−2,x)+B(−2,5)=2x，∴+2(−2−5)=2x， 即+14=2x，解得：x=8，则A(8,19)==9． 变式3　用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab−2ab，如2☆(−3)=2×(−3)−2×2×(−3)=30． (1)求(−4)☆2的值；(2)若(1−3x)☆(−4)=32，求x的值． 【答案】（1）解：(−4)☆2=(−4)×2−2×(−4)×2=−16+16=0 （2）解：∵(1−3x)☆(−4)=32， ∴(1−3x)×(−4)−2(1−3x)×(−4)=32，∴16(1−3x)+8(1−3x)=32， ∴16−48x+8−24x=32，∴(−48−24)x=32−8−16， ∴−72x=8，∴x=−． 四、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　若2x−3=7，则x的值为（   ） A．2　　B．5　　C．4　　D．-2 【答案】B解：∵2x−3=7，∴2x=10，∴x=10÷2∴x=5． 2.　解方程−=1时，去分母正确的是（    ） A．3(x+1)−x+2=1 B．3x+1−x−2=6 C．3(x+1)−(x+2)=6 D．3(x+1)−(x+2)=1 【答案】C解：∵−=1，∴两边同乘6得： 6×−6×=6×1，即3(x+1)−(x+2)=6 3.　对有理数a,b规定新运算“※”的意义是：a※b=a+2b，则方程3x※x=2−x的解是x=（   ） A．　　B．3　　C．−3　　D．− 【答案】A解：由新运算“a※b=a+2b”，得3x※x=3x+2x=5x∴5x=2−x， 移项，得5x+x=2， 合并同类项，得6x=2， 系数化为1，得x=． 4.　关于x的一元一次方程2x=4与2x+a=3的解相同，则a的值为（    ） A．−1　　B．1　　C．7　　D．−7 【答案】A解：解方程2x=4，两边同时除以2，得x=2． 把x=2代入2x+a=3中，得到2×2+a=3，即4+a=3． 两边同时减去4，得a=3−4=−1．所以a的值为−1 5.　如果关于x的一元一次方程2(x−t)−7=x的解是x=3，那么t的值是 ． 【答案】解：∵关于x的一元一次方程2(x−t)−7=x的解是x=3，∴2(3−t)−7=3，∴t=−2 B 档 　巩固提升　 1.　解方程 (1)4x−5=20−x (2)5(x+8)=6(2x−7)+5 (3)+=2x−1 (4)=+1 【答案】（1）解：4x−5=20−x 移项，得4x+x=20+5， 合并同类项，得5x=25， 系数化为1，得x=5； （2）解：5(x+8)=6(2x−7)+5 去括号，得5x+40=12x−42+5， 移项，得5x−12x=−42+5−40， 合并同类项，得−7x=−77， 系数化为1，得x=11； （3）解：+=2x−1 去分母，得3(x−3)+(2x+5)=6(2x−1) 去括号，得3x−9+2x+5=12x−6， 移项，得3x+2x−12x=−6+9−5， 合并同类项，得−7x=−2 系数化为1，得x=； （4）解：=+1 整理得，=+1， 去分母，得2(2x−1)=3(10x−3)+6， 去括号，得4x−2=30x−9+6， 移项，得4x−30x=−9+6+2， 合并同类项，得−26x=−1 系数化为1，得x=． 2.　小明解方程=−2，去分母时，方程右边的−2忘记乘12，因而求出的解为x=1，则原方程正确的解为（   ） A．x=−3　　B．x=−　　C．x=−　　D．x=−1 【答案】C解：根据小明的错误解法得：3(3x−1)=4(x+a)−2， 把x=1代入得：6=4a+2， 解得：a=1，∴=−2， 去分母得：3(3x−1)=4(x+1)−24. 去括号得：9x−3=4x+4−24. 移项并合并同类项得：5x=−17. 系数化为1得：x=−. C 档 　提高拓展　 1.　小丁和小迪分别解方程−=1过程如下： 小丁： 解：去分母，得x−(x−3)=x−2 去括号，得x−x+3=x−2 合并同类项，得3=x−2 解得x=5 ∴原方程的解是x=5 小迪： 解：去分母，得x+(x−3)=1 去括号得x+x−3=1 合并同类项得2x−3=1 解得x=2 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． ⚠ 易错　解的情况讨论：化为 ax=b 后分三种——a≠0 有唯一解；a=0 且 b=0 有无数解；a=0 且 b≠0 无解。 【答案】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， （2）解：−=1 x+(x−3)=x−2 x+x−3=x−2 x=1 经检验，当x=1时，x−2=−1≠0，∴x=1是分式方程的解． 2.　如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序，输入x的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n；如输入x=1，得到m=1×(−2)+(−3)=−5，n=(1−5)÷(−3)=． (1)若输入x=2，则m= ，n= ； (2)若输入x=−1，试比较(m)与−n的大小； (3)若得到m=7，求输入的x的值及相应n的值． 【答案】（1）解：当x=2时，m=2×(−2)+(−3)=−7，n=(2−5)÷(−3)=1， 故答案为：−7，1； （2）解：当x=−1时，m=(−1)×(−2)+(−3)=−1，n=(−1−5)÷(−3)=2， ∵(m)=(−1)=1，−n=−2，1>−2，∴(m)>−n； （3）解：由题意得，m=−2x+(−3)，n=(x−5)÷(−3)， ∵m=7，∴7=−2x+(−3)，解得：x=−5， ∴n=(x−5)÷(−3)=(−5−5)÷(−3)=，∴x=−5，n=． 3.　给出定义：m∗n=−，m⊗n=×（m、n都是有理数）．如果m、n能满足m∗n=m⊗n，则称有理数m、n为“关联数对”． (1)下列各组数是“关联数对”的是______．（填序号） ①m=2，n=3；②m=3，n=7；③m=−5，n=−4； (2)写出一对不同于（1）的“关联数对”，并说明它是“关联数对”的理由； (3)计算：11⊗12+12⊗13+13⊗14+14⊗15+⋯⋯+98⊗99+99⊗100． 【答案】（1）解：①当m=2，n=3时，m∗n=−=−=，m⊗n=×=×=， ∴m∗n=m⊗n，∴2和3是“关联数对”； ②当m=3，n=7时，m∗n=−=−=，m⊗n=×=×=， ∴m∗n≠m⊗n，∴3和7不是“关联数对”； ③当m=−5，n=−4时，m∗n=−=−=，m⊗n=×=×=， ∴m∗n=m⊗n，∴−5和−4是“关联数对”； 故答案为：①③； （2）解：设m=5，由题意得n≠0， ∵有理数m、n为“关联数对”，∴m∗n=m⊗n， ∴−=×，∴−=×， ∴n=6，∴5和6是“关联数对”； （3）解：11⊗12+12⊗13+13⊗14+14⊗15+⋯⋯+98⊗99+99⊗100 =×+×+×+…+×=−+−+−+…+−=−=． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 5.2 解一元一次方程 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】掌握移项、合并同类项、系数化为1等基本变形，能熟练求解形如 ax+b=cx+d 的一元一次方程；会把解代回原方程进行检验，体会"化归"思想。 二、知识梳理 知识点 1 　解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母（依据：等式的性质2） 2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（依据：乘法分配律） 注意：特别是去掉括号，符号的变化 3.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边（依据：等式的性质1） 注意：移项要变符号；一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4. 合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“ax=b”的形式（a≠0）（依据：等式的性质2） 注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． ★ 重点　解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1；具体方程可灵活选用其中几步。 ⚠ 易错　移项必须变号（从等号一边移到另一边，正变负、负变正）；合并同类项只对"同类项的系数"相加，字母及其指数不变。 ◆ 方法　按"去括号→移项→合并→系数化1"的顺序书写，每步只做一件事，便于检查。 三、典例精析 题型 1 　解一元一次方程　 例1　解方程： (1)3(x−1)−2(x−2)=6 (2)−1= 【答案】（1）解：3(x−1)−2(x−2)=6 去括号，得3x−3−2x+4=6， 移项，得3x−2x=6+3−4， 合并同类项，得x=5； （2）解：−1= 去分母，得3(2y−1)−12=2(5y−7)， 去括号，得6y−3−12=10y−14， 移项，得6y−10y=−14+3+12 合并同类项，得−4y=1， 系数化为1，得y=−． 变式1　解方程： (1)−x−3x=−1； (2)3x−2.5x=8−3−2x． 【答案】（1）解：−x−3x=−1， −x=， x=−； （2）解：3x−2.5x=8−3−2x， 3x−2.5x+2x=8−3， 2.5x=5， x=2． 变式2　解下列方程： (1)−1= (2)−=1 【答案】（1）解：−1=， 去分母得：3(3y−1)−12=2(5y−7)， 去括号得：9y−3−12=10y−14， 移项得：9y−10y=−14+3+12， 合并同类项得：−y=1， 系数化为1得：y=−1； （2）解：整理得5x−5−(4x+2)=1， 去括号得：5x−5−4x−2=1， 移项得：5x−4x=1+5+2， 合并同类项得：x=8． 题型 2 　一元一次方程的整数解问题　 例2　已知关于x的方程9x−3=kx+6有正整数解，则满足条件的所有整数k的值为 ． ⚠ 易错　整数解问题：先把 x 用参数表示成分式，再由"分母整除分子"逐一列举；注意区分整数解、正整数解、非负整数解的范围差别。 【答案】解：9x−3=kx+6， (9−k)x=9，解得x=， ∵关于x的方程9x−3=kx+6有正整数解， ∴为正整数，∴9−k=1或9−k=3或9−k=9， 解得k=8或k=6或k=0 变式1　已知关于x的方程4−mx=−3(x+1)有整数解，则正整数m的所有可能的取值之和为 ． ⚠ 易错　整数解问题：先把 x 用参数表示成分式，再由"分母整除分子"逐一列举；注意区分整数解、正整数解、非负整数解的范围差别。 【答案】解：4−mx=−3(x+1)， 去括号，得4−mx=−3x−3， 移项、合并同类项，得(3−m)x=−7， 化系数为1，得x=， ∵原方程有整数解，∴m−3=±1或±7，且m−3≠0， 解得m=4或2或10或−4，∴正整数m的所有可能的取值之和为4+2+10=16． 变式2　已知关于x的方程x−=−1有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．−14　　B．−45　　C．45　　D．−135 【答案】A解：方程去分母，得6x−(1−ax)=2x−6， 去括号，得6x−1+ax=2x−6， 移项，得(6x+ax−2x)=−6+1， 合并同类项，得(4+a)x=−5， ∴x=，∵ 方程有正整数解，∴ >0且为整数， ∴4+a<0且是−5的约数， ∵−5的负约数有−1和−5，∴4+a=−1或4+a=−5，解得a=−5或a=−9， ∴整数a的所有可能取值的和为−5+(−9)=−14 变式3　已知关于x的方程9x−3=kx+14有整数解，那么满足条件的整数k有（   ）个 A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：由9x−3=kx+14得， 9x−kx=14+3 (9−k)x=17，∴x=， ∵关于x的方程9x−3=kx+14有整数解，∴9−k=±1或9−k=±17， 解得：k=8或k=10或k=−8或k=26，∴整数k有4个 题型 3 　根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数　 例3　（1）的值比的值小1，求x的值． （2）x取何值时，代数式4x−3与5(x−2)的差为1． 【答案】解：（1）由题意得：=−1， 方程两边同乘6，得3(3x−1)=2(2x+2)−6， 去括号得：9x−3=4x+4−6， 移项，合并同类项得：5x=1，解得：x=； （2）根据题意得4x−3−5(x−2)=1， 去括号得：4x−3−5x+10=1， 移项合并同类项得：−x=−6， 解得：x=6． 变式1　已知方程=x−1的解比关于x的方程kx−11=3k+1的解大5． (1)求方程=x−1的解；(2)求k的值． 【答案】（1）解：=x−1， 6−x=4x−4， −x−4x=−4−6， −5x=−10， x=2． （2）∵方程=x−1的解比关于x的方程kx−11=3k+1的解大5． ∴方程kx−11=3k+1的解为2−5=−3， 将x=−3代入方程kx−11=3k+1得到−3k−11=3k+1， ∴−6k=1+11，解得k=−2 变式2　当k取何值时，方程−2(x−1)=3x−13和方程6−2k=3(x−1)的解相同？ ⚠ 易错　同解/含参：先求出不含参方程的解，再代入含参方程求参数，是最稳妥的套路。 【答案】解：解−2(x−1)=3x−13，得：x=3； 当方程−2(x−1)=3x−13和方程6−2k=3(x−1)的解相同时， 则：6−2k=3×(3−1)，解得：k=0． ∴当k=0时，方程−2(x−1)=3x−13和方程6−2k=3(x−1)的解相同． 变式3　已知关于x的方程=x+与方程4x−3(4−x)=2的解互为相反数，求m的值 ⚠ 易错　同解/含参：先求出不含参方程的解，再代入含参方程求参数，是最稳妥的套路。 【答案】解：=x+， ∴3(m−x)=12x+4m，∴3m−3x=12x+4m，∴−15x=m，解得：x=−， 4x−3(4−x)=2 4x−12+3x=2 7x=14 x=2 根据题意得，−+2=0 −=−2解得：m=30． 题型 4 　一元一次方程的错解问题　 例4　小红解关于x的方程3x+=2−，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为x=1． (1)求a的值．(2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． ⚠ 易错　去分母：方程两边同乘各分母最小公倍数，不含分母的项（含整数项）也要乘；分子是多项式要去分母后加括号。 【答案】（1）解：由题意得：x=1是方程18x+2(2x−1)=2−3(x−a)的解， 把x=1代入方程18x+2(2x−1)=2−3(x−a)，得： 18×1+2×(2×1−1)=2−3×(1−a)， 解得：a=7； （2）解：由（1）得：原方程为3x+=2−， 去分母，得：18x+2(2x−1)=12−3(x−7)， 去括号，得：18x+4x−2=12−3x+21， 移项，得：18x+4x+3x=12+21+2， 合并同类项，得：25x=35， 系数化为1，得：x=； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 变式1　小庄在解关于x的方程+1=时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为x=−8，求原方程的正确解． ⚠ 易错　去分母：方程两边同乘各分母最小公倍数，不含分母的项（含整数项）也要乘；分子是多项式要去分母后加括号。 【答案】解：∵+1=在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6， ∴2(2x+m)+1=3(x−3) 将x=−8代入2(2x+m)+1=3(x−3)，得2(−16+m)+1=3×(−11)， ∴−32+2m+1=−33∴2m=−2解得：m=−1， ∴+1= 方程去分母得2(2x−1)+6=3(x−3)，∴2(2x−1)+6=3(x−3) ∴4x−3x=2−9−6解得x=−13． 变式2　聪聪在解一元一次方程=−1时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项(−1)，得到的一元一次方程的解为x=2． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】（1）解：由题意，去分母，得：2x−1=x+a−1， 把x=2代入，得：4−1=2+a−1，解得：a=2； （2）解：把a=2代入原方程，得：=−1， 去分母，得：2x−1=x+2−3， 移项，合并得：x=0； （3）解：在移项的过程中要注意变号（答案不唯一）． 变式3　在解关于x的方程−2x=m时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为x=． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】（1）解：由题可知，x+1−4x=m，即1−3x=m，∵x=，∴m=−1； （2）由（1）可知，原方程为−2x=−1， 去分母，得x+1−4x=−2， 移项、合并同类项，得−3x=−3， 系数化为1，得x=1． 题型 5 　一元一次方程的解在新定义中运用　 变式5　用“⊗”定义一种新运算，规则如下：a⊗b=ab−2a+b． (1)计算：(−6)⊗10=______；(2)若(10+x)⊗(−8)=12，求x的值． ⚠ 易错　新定义题：先逐字读懂新规定的符号或关系，严格按定义改写为一元一次方程，不要套用旧经验。 【答案】（1）解：∵a⊗b=ab−2a+b， ∴(−6)⊗10=(−6)×10−2×(−6)+10=−60+12+10=−38． （2）解：(10+x)⊗(−8)=12 (10+x)×(−8)−2(10+x)−8=12 解得：x=−12． 变式2　定义：A(x,y)=叫作x，y的三等分点，B(x,y)=2(x−y)叫做x，y的2倍距离．如：A(−1,5)==，B(−1,5)=2(−1−5)=12，试求： (1)A(−3,7)= ，B(−3,7)= ． (2)若A(−2,x)+B(−2,5)=2x，则A(x,19)的值． ⚠ 易错　新定义题：先逐字读懂新规定的符号或关系，严格按定义改写为一元一次方程，不要套用旧经验。 【答案】（1）解：A(−3,7)==；B(−3,7)=2(−3−7)=20； 故答案为：；20； （2）解：∵A(−2,x)+B(−2,5)=2x，∴+2(−2−5)=2x， 即+14=2x，解得：x=8，则A(8,19)==9． 变式3　用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab−2ab，如2☆(−3)=2×(−3)−2×2×(−3)=30． (1)求(−4)☆2的值；(2)若(1−3x)☆(−4)=32，求x的值． 【答案】（1）解：(−4)☆2=(−4)×2−2×(−4)×2=−16+16=0 （2）解：∵(1−3x)☆(−4)=32， ∴(1−3x)×(−4)−2(1−3x)×(−4)=32，∴16(1−3x)+8(1−3x)=32， ∴16−48x+8−24x=32，∴(−48−24)x=32−8−16， ∴−72x=8，∴x=−． 四、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　若2x−3=7，则x的值为（   ） A．2　　B．5　　C．4　　D．-2 2.　解方程−=1时，去分母正确的是（    ） A．3(x+1)−x+2=1 B．3x+1−x−2=6 C．3(x+1)−(x+2)=6 D．3(x+1)−(x+2)=1 3.　对有理数a,b规定新运算“※”的意义是：a※b=a+2b，则方程3x※x=2−x的解是x=（   ） A．　　B．3　　C．−3　　D．− 4.　关于x的一元一次方程2x=4与2x+a=3的解相同，则a的值为（    ） A．−1　　B．1　　C．7　　D．−7 5.　如果关于x的一元一次方程2(x−t)−7=x的解是x=3，那么t的值是 ． B 档 　巩固提升　 1.　解方程 (1)4x−5=20−x (2)5(x+8)=6(2x−7)+5 (3)+=2x−1 (4)=+1 2.　小明解方程=−2，去分母时，方程右边的−2忘记乘12，因而求出的解为x=1，则原方程正确的解为（   ） A．x=−3　　B．x=−　　C．x=−　　D．x=−1 C 档 　提高拓展　 1.　小丁和小迪分别解方程−=1过程如下： 小丁： 解：去分母，得x−(x−3)=x−2 去括号，得x−x+3=x−2 合并同类项，得3=x−2 解得x=5 ∴原方程的解是x=5 小迪： 解：去分母，得x+(x−3)=1 去括号得x+x−3=1 合并同类项得2x−3=1 解得x=2 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 2.　如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序，输入x的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n；如输入x=1，得到m=1×(−2)+(−3)=−5，n=(1−5)÷(−3)=． (1)若输入x=2，则m= ，n= ； (2)若输入x=−1，试比较(m)与−n的大小； (3)若得到m=7，求输入的x的值及相应n的值． 3.　给出定义：m∗n=−，m⊗n=×（m、n都是有理数）．如果m、n能满足m∗n=m⊗n，则称有理数m、n为“关联数对”． (1)下列各组数是“关联数对”的是______．（填序号） ①m=2，n=3；②m=3，n=7；③m=−5，n=−4； (2)写出一对不同于（1）的“关联数对”，并说明它是“关联数对”的理由； (3)计算：11⊗12+12⊗13+13⊗14+14⊗15+⋯⋯+98⊗99+99⊗100． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $