25.3 实际问题与一元二次方程 课时练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程应用同步练，通过A/B/C三层设计，实现从基础建模到综合应用的梯度巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础练|面积、增长率等单一知识点|直接情境列方程，如矩形面积、简单增长率，巩固概念理解| |B组能力练|含实际限制的应用问题|需考虑墙长、库存等条件，如靠墙围矩形、定价与销量关系，提升推理能力| |C组拓展练|多变量综合应用|跨情境融合，如彩条面积、病毒传播与防控，发展应用意识与创新思维|

第25章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第1课 一元二次方程的应用(1)——面积问题 A组基础练 1.一个长方形的长比宽多2m，面积为8 m²，设宽为 xm，则可列方程为 . 2.某希望小学计划在长24 m、宽20 m的矩形空地(如图)划出一块320 m² 的矩形花坛，并且四周的空地宽度相同，求这个宽度. 3.如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形广场上，有两条同宽且互相垂直的小路，余下部分为绿地.若绿地面积为540 m²，求小路的宽. B组能力练 4.如图,有一张长12 cm、宽9 cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm²，求剪去的小正方形的边长. 5.如图，在一块边长为12 m的正方形土地上开辟4块全等的试验田，总面积为81 m²，要使过道(空白部分)的宽度一样，求过道的宽. C组拓展练 6.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设竖彩条的宽度为2x cm，那么可列方程为 . 第2课 一元二次方程的应用(2)——面积问题 A 组 基础练 1.用长为12m的铁丝围成一个面积为8 m² 的长方形，求长方形的长与宽. 2.如图，用长为12m的篱笆靠墙(墙长为7 m)围一个面积为16 m² 的矩形菜地，求AB的长. 3.如图，用长为12 m的篱笆围成一个“目”字形的菜地,面积为6m²,若AB =x m,则可列方程为 . B组 能力练 4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(边 CD所在的墙长为10 m,边DA所在的墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC 两边),设AB =xm.若围成花园的面积为160m²，求x的值. C组 拓展练 5.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积为880 m²? 第3课 一元二次方程的应用(3)————增长率问题 A组基础练 1.某药品两年前的价格为200 元，现在价格为128元，求该药品价格的年平均下降率. 2.某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快.某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病. (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪. (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗? B组能力练 3.某市为争创全国文明卫生城，2024 年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2026年投入的资金是2420万元,且从2024 年到2026年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同. (1)求投入资金的年平均增长率. (2)若投入资金的年平均增长率不变，则该市在2025年需投入多少万元? C组拓展练 4.春节期间，某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房9.63亿元.若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( ) A.3(1+x)=9.63 5.某工厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 6.某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为13，设主干长出x个枝干，根据题意，可列方程为 . 第4课 一元二次方程的应用(4)————互赠、握手问题 A组基础练 1.在一次交易会里，每两个公司之间都签订了1 份合同，所有公司共签订了15 份合同，求有多少家公司参加了交易会. 2.新年到了，某学习小组学生通过交流群互送祝福.若每名学生都给组内同学发一条，最后共送出了90 条祝福，请问这个学习小组有多少名学生?每名学生收到多少条组内同学发来的祝福? B组能力练 3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为( ) C. x(x+1)=28 D. x(x-1)=28 4.两条直线相交最多有一个交点. (1)3条直线两两相交最多有 个交点； (2)若m条直线两两相交最多有21 个交点，求m的值. C组拓展练 5.一个凸多边形有20条对角线，它是几边形? 第5课 一元二次方程的应用(5)————营销问题 A 组 基础练 1.某超市销售一种月饼，平均每天可售出80盒，每盒的利润为30元，为扩大销售，超市准备适当降价，据测算，每盒降价1元，平均每天可多售出4盒.若要使每天销售这种月饼获利2496元，且让顾客得到实惠，则每盒应降价多少元? 2.某湿地风景区特色旅游项目——水上游艇，每个旅游人员消费后风景区可盈利10元，每天消费人员为500人，为增加盈利，准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，消费人员就减少20人.现该项目要保证每天盈利6000 元，同时又要旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元? B组 能力练 3.某商店准备购进一批季节性小家电，进价40 元.经市场预测，销售定价为52 元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过100个，在该商品售空的前提下，商店若想获利2000 元，则应进货多少个?定价为多少元? C组 拓展练 4.(2024·荔湾区二模)某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)若该玩具某天的销售利润是600 元，则当天玩具的销售单价是多少元? 第6 课 一元二次方程的应用复习 A组基础练 1.乒乓球超级联赛采用主客场制循环赛(每两个队要比赛两场)，共要进行72场比赛，设参加联赛的球队有x个，则可列方程为 . 2.如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1 人感染后，经过两轮传播，共有 121 人感染. (1)平均每人每轮感染多少人? (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的20%，这样第三轮传播后感染的总人数是多少? 3.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021 年的32 万人增加到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000 元.已知市政府向该公司支付货款24 万元，求购买这种健身器材的套数. B组能力练 4.如图，把长为40cm，宽为30cm的长方形铁片的四角各截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积(阴影部分)是原来铁片面积的一半，求盒子的高. C组拓展练 5.要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙长20 m，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为32m，且在边BC上开一扇长为2m 的门GH，在边 EF上开一扇长为2m 的门MN.设鸡场的边AB长为 xm. (1)若两个鸡场的总面积为96 m²，求AB 的长. (2)能围成面积为120 m² 的养鸡场吗?若能，求出AB 的长；若不能，请说明理由. 第25章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 答案版 第1课 一元二次方程的应用(1)——面积问题 A 组基础练 1.一个长方形的长比宽多2m，面积为8 m²，设宽为 xm,则可列方程为 x(x+2)=8 . 2.某希望小学计划在长24 m、宽20 m的矩形空地(如图)划出一块320 m² 的矩形花坛，并且四周的空地宽度相同，求这个宽度. 解：设这个宽度为x m. 依题意，得 (24-2x)(20-2x)=320, 整理，得 解得 (舍去). 答：这个宽度为2m . 3.(2024·蓬江区月考)如图,在宽为20m、长为32m的矩形广场上，有两条同宽且互相垂直的小路，余下部分为绿地.若绿地面积为540 m²，求小路的宽. 解：设小路的宽为x m.依题意，得 (20-x)(32-x)=540,解得 (不合题意，舍去), 答：小路的宽为2m . B组能力练 4.(2024·天河区期中)如图,有一张长12 cm、宽9 cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm²，求剪去的小正方形的边长. 解：设剪去的小正方形的边长为x cm.依题意,得 (12-2x)(9-2x)=70, 解得 (不合题意，舍去), 答：剪去的小正方形的边长为1 cm. 5.如图，在一块边长为12 m的正方形土地上开辟4块全等的试验田，总面积为81 m²，要使过道(空白部分)的宽度一样，求过道的宽. 解：设过道的宽为x m. 依题意，得( 解得 (舍去). 答：过道的宽为1m. C组拓展练 6.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设竖彩条的宽度为2x cm，那么可列方程为 第2课 一元二次方程的应用(2)——面积问题 A 组 基础练 1.用长为12m的铁丝围成一个面积为8 m²的长方形，求长方形的长与宽. 解：设长为 xm，则宽为 依题意，得 解得 (舍去). 答：长方形的长为4m，宽为2m. 2.如图，用长为12m的篱笆靠墙(墙长为7 m)围一个面积为16 m²|的矩形菜地，求AB的长. 解:设AB的长为x m. 依题意,得x(12-2x)=16,解得 当x=2时,BC=8m>7m,∴x=2不合题意，舍去； 当x=4时,BC=4m<7m,符合题意. 答:AB的长为4m. 3.如图，用长为12 m的篱笆围成一个“目”字形的菜地，面积为6m²，若AB =x m,则可列方程为 B组 能力练 4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(边CD所在的墙长为10 m，边DA所在的墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC 两边),设AB =xm.若围成花园的面积为160m²，求x的值. 解：依题意，得 x(28-x) =160, 解得 (舍去). 答：x的值为8. C组 拓展练 5.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积为80 m²? 解：设猪舍与墙垂直的一边的长为 xm，则另一边的长为(26–2x)m. 依题意,得x(26-2x)=80,解得 当x=5时,26-2x=16>12,不合题意,舍去;当x=8时,26−2x=10<12,符合题意. 答：所围矩形猪舍的长、宽分别为10 m，8m时，猪舍的面积为80 m². 第3课 一元二次方程的应用(3)————增长率问题 A组基础练 1.某药品两年前的价格为200元，现在价格为128元，求该药品价格的年平均下降率. 解：设该药品价格的年平均下降率为x. 依题意，得 解得 (舍去). 答：该药品价格的年平均下降率为20%. 2.某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快.某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病. (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪. (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗? 解：(1)设每头发病生猪平均每天传染x头生猪.依题意,得1+x+(1+x)x=196,解得 (不合题意，舍去). 答：每头发病生猪平均每天传染 13头生猪. (2)196×(1+13)=196×14=2744(头),2744>2500. 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头. B组能力练 3.某市为争创全国文明卫生城，2022 年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2024年投入的资金是2 420万元,且从2022 年到2024年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同. (1)求投入资金的年平均增长率. (2)若投入资金的年平均增长率不变，则该市在2025年需投入多少万元? 解：(1)设投入资金的年平均增长率为x. 依题意，得 解得 (舍去). 答：投入资金的年平均增长率为10%. (2)2 420×(1+10%)=2 662(万元). 答:该市在2025 年需投入2 662 万元. C组拓展练 4.春节期间，某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房9.63 亿元.若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是(D) A.3(1+x)=9.63 5.某工厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意,可列方程为 100(1+x)+ 6.某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为13，设主干长出x个枝干，根据题意，可列方程为 第4 课 一元二次方程的应用(4)————互赠、握手问题 A组基础练 1.在一次交易会里，每两个公司之间都签订了1份合同，所有公司共签订了15 份合同，求有多少家公司参加了交易会. 解：设有x家公司参加了交易会. 依题意，得 解得 (舍去). 答：有6家公司参加了交易会. 2.新年到了，某学习小组学生通过交流群互送祝福.若每名学生都给组内同学发一条，最后共送出了90条祝福，请问这个学习小组有多少名学生?每名学生收到多少条组内同学发来的祝福? 解：设这个学习小组有x名学生. 依题意,得x(x-1)=90, 解得 (舍去). 10-1=9(条). 答：这个学习小组有10 名学生，每名学生收到9条组内同学发来的祝福. B组能力练 3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为(B) C. x(x+1)=28 D. x(x-1)=28 4.两条直线相交最多有一个交点. (1)3条直线两两相交最多有 3 个交点； (2)若m条直线两两相交最多有21个交点，求m的值. 解:(2)m·(m-1)÷2=21, 解得 (舍去). ∴m的值为7. C组拓展练 5.一个凸多边形有20条对角线，它是几边形? 解：设它是n边形. 依题意，得 整理，得 解得 (舍去). 答：它是八边形. 第5 课 一元二次方程的应用(5)——营销问题 A组 基础练 1.某超市销售一种月饼，平均每天可售出80盒，每盒的利润为30元，为扩大销售，超市准备适当降价，据测算，每盒降价1元，平均每天可多售出4盒.若要使每天销售这种月饼获利2496元，且让顾客得到实惠，则每盒应降价多少元? 解：设每盒降价x元，则每天可售出(80+4x)盒.依题意,得(30-x)(80+4x)=2496,解得 ∵要让顾客得到实惠， ∴x=6. 答：每盒应降价6元. 2.某湿地风景区特色旅游项目——水上游艇，每个旅游人员消费后风景区可盈利10元，每天消费人员为500人，为增加盈利，准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，消费人员就减少20人.现该项目要保证每天盈利6000 元，同时又要旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元? 解：设票价应涨价x元. 依题意,得(10+x)(500–20x)=6000,解得 ∵该项目要保证每天盈利6 000 元，同时又要旅游者得到实惠， ∴x=5. 答：票价应涨价5元. B组 能力练 3.某商店准备购进一批季节性小家电，进价40元.经市场预测，销售定价为52 元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过100个，在该商品售空的前提下，商店若想获利2000 元，则应进货多少个?定价为多少元? 解:设定价为x元,则进货[180-10(x-52)]个.依题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2000, 解得 当定价为50 元时，进货200个，超过100 个，不合题意，舍去； 当定价为60元时，进货100 个，符合题意. 答：应进货100个，定价为60 元. C组 拓展练 4.(2024·荔湾区二模)某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)若该玩具某天的销售利润是600 元，则当天玩具的销售单价是多少元? 解:(1)设y 与x 的函数关系式为y= kx +b(k≠0). 将(25,50),(35,30)分别代入y= kx+b,得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-2x+100. (2)依题意,得(x-10)( -2x+100)=600,解得 答：当天玩具的销售单价是20元或40元. 第6 课 一元二次方程的应用复习 A组基础练 1.乒乓球超级联赛采用主客场制循环赛(每两个队要比赛两场)，共要进行72场比赛，设参加联赛的球队有x个,则可列方程为 x(x-1)=72 . 2.如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1 人感染后，经过两轮传播，共有 121 人感染. (1)平均每人每轮感染多少人? (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的20%，这样第三轮传播后感染的总人数是多少? 解：(1)设平均每人每轮感染x人. 依题意,得1+x+x(1+x)=121, 即 解得 (不符合题意，舍去). 答：平均每人每轮感染 10人. (2)依题意,得121+121×10×20%=363(人). 答：第三轮传播后感染的总人数是363人. 3.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021 年的32 万人增加到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000 元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买这种健身器材的套数. 解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.依题意，得 解得 (不合题意，舍去). 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材的套数为m套. 依题意，得 解得 ∴m≤250.∴m=200. 答：购买这种健身器材的套数为200套. B组能力练 4.如图，把长为40cm，宽为30cm的长方形铁片的四角各截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积(阴影部分)是原来铁片面积的一半，求盒子的高. 解：设盒子的高为x cm. 依题意，得 解得 (不合题意，舍去). 答：盒子的高为5cm. C组拓展练 5.要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙长20 m，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为32 m，且在边BC 上开一扇长为2m 的门GH，在边EF 上开一扇长为2m 的门 MN.设鸡场的边AB长为 xm. (1)若两个鸡场的总面积为96 m²，求AB的长. (2)能围成面积为120 m² 的养鸡场吗?若能，求出AB的长；若不能，请说明理由. 解：(1)依题意，得 BC =32+2×2-3x =(36-3x)(m), ∵两个鸡场的总面积为96 m²， 解得 又∵ 答：若两个鸡场的总面积为96 m²，AB的长为8m. (2)由(1)得两个鸡场的总面积为 令 无解. ∴不能围成面积为120 m² 的养鸡场. 学科网（北京）股份有限公司 $