25.3 课时1 几何图形问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦一元二次方程几何应用，分层设计从基础建模到动态探究，通过6类面积问题构建"步骤掌握-技能应用-综合创新"路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|列方程步骤|选择填空结合古算题，强化"审设列解验答"规范| |技能应用|矩形围栏/道路修建/图形拼接|解答题融入平移法，解决含门/重叠的面积计算| |综合探究|动态几何/存在性问题|综合题设置运动情境，需检验解的几何合理性，发展推理能力|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 课时1 几何图形问题 ▌课时目标 1. 掌握列一元二次方程解决几何图形问题的一般步骤，能准确从几何图形中提取等量关系，规范完成建模与求解。 2. 能独立解决矩形围栏、道路修建、图形拼接与挖空等常见面积问题，掌握“平移法”等转化技巧，正确求解并检验几何解的合理性。 3. 初步接触动态几何与存在性问题，能根据几何约束条件（如边长非负、不超过墙长等）对方程的根进行取舍，提升几何直观与应用意识。 ▌课时目录 知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点02：面积问题——矩形围栏问题 知识点03：面积问题——道路修建问题 知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 知识点05：动态几何中的面积问题 知识点06：几何图形中的存在性问题 ▌知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审：认真读题，明确题意，找出题目中的已知条件和所求问题，挖掘隐含的等量关系； 2. 设：根据题意选择直接设元或间接设元，注明未知数的单位； 3. 列：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，代入等量关系列出方程； 4. 解：选用合适的方法解一元二次方程； 5. 验：检验求得的解是否满足方程，同时检验是否符合实际意义（如长度非负、人数为正整数、不超过墙长等）； 6. 答：写出符合题意的完整答案。 1．（2026·辽宁抚顺·一模）《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式，先根据宽表示出长，再代入面积公式即可列出方程. 【详解】解：∵设宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积长宽，且矩形面积为平方步， ∴代入得方程． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出一元二次方程即可． 【详解】由题意可得 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____________ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，基本等量关系是：队数（队数)比赛场数．据此列方程即可． 【详解】设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为：． 故答案为：． 4．（2026·河南开封·一模）据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据平均增长率问题的数量关系，结合题干已知量列方程．本题中8月销量为初始量，经过两次增长后得到10月销量，代入平均增长率问题的数量关系即可得到方程． 【详解】解：设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为， 8月销量为万辆．则9月销量为：， 10月销量为：， 由题意得． ▌知识点02：面积问题——矩形围栏问题 常见类型：一边靠墙，其余三边用篱笆围成矩形。等量关系：矩形面积＝长×宽。 设未知数技巧：通常设垂直于墙的边为x，则平行于墙的边为（总长－2x）。 注意事项： 1. 平行于墙的边长不能超过墙的实际长度； 2. 若求出多个解，需根据墙长进行取舍。 例：用20m篱笆靠8m长墙围矩形鸡舍，设垂直于墙的边为xm，则方程为x(20－2x)＝48，解得x＝6或x＝4；当x＝6时，平行于墙的边长为20－12＝8m（符合墙长）；当x＝4时，边长为12m（超过墙长，舍去）。 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据题意，设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，先根据墙的长度为16米，求出，再求出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 6．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）“谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； (2)该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 【答案】(1)该矩形试验田的长为，宽为 (2) 解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设 ，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， 假设不成立， 即这一想法不能实现． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据该矩形试验田的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据该矩形试验田的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该矩形试验田的长为，宽为； （2）略 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 根据题意，列出方程，解出方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得 解得 ∵垂直于墙的一边长不超过， ∴． 8．（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)围栏方案为矩形的长为，宽为 (2)整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质得出面积，解一元二次方程得出解并与35比较即可得出答案． （2）设，则，．根据题意列出关于y的一元二次方程，然后再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解∶设，则， 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 答∶围栏方案为矩形的长为，宽为； （2）略； ▌知识点03：面积问题——道路修建问题 常见类型：矩形地面上修建十字形、条形或环形道路，求剩余面积。 核心方法：平移法。将道路平移至矩形边缘，把不规则图形转化为规则矩形。 等量关系：剩余面积＝大矩形面积－道路面积＋（若有）重叠部分面积。 注意事项：道路宽度需统一，十字形道路中间重叠部分不能重复扣除。 例：长20m、宽15m的矩形场地，中间修宽2m的十字形道路，剩余面积S＝20×15－20×2－15×2＋2×2＝300－40－30＋4＝234m²。 9．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场（如图中阴影部分），将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整块长方形空地的长为，宽为，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先表示出阴影长方形的长为，宽为，根据两个长方形的面积关系列方程解答即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得阴影长方形的长为，宽为， 故， 故选：D． 10．（2025·山西长治·一模）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为．设小路的宽度为，甲、乙、丙三位同学所列方程如下： 甲：．乙：．丙：． 其中正确的是（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲和乙都正确 D．甲、乙、丙三人都正确 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，把各部分的面积用含x的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：由已知条件可知：种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积为， ∴可列方程， ∴甲列的方程正确； ∵两条竖直的小路的长为，宽为， ∴两条竖直的小路的面积为， ∵水平的小路的长度为，宽为， ∴水平的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， ∴重叠部分的面积为， ∴小路的面积可表示为， ∴可列方程为， ∴乙列的方程正确，丙列的方程错误； 综上所述，甲和乙都正确． 故选：C． 11．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）华东学校计划建设一个校园种菜基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为多少？ 【答案】所修道路的宽为1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设所修道路的宽为，可知种植区可以合并成长为，宽为的长方形，然后根据题意列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设所修道路的宽为， 解得（舍去） 故所修道路的宽为1， 答：所修道路的宽为1． 12．（25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． ▌知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 常见类型： 1. 大正方形剪去小正方形后拼接成矩形； 2. 矩形中挖去一个规则图形（如三角形、圆）求剩余面积。 等量关系：拼接前后总面积不变；剩余面积＝原图形面积－挖去图形面积。 注意事项：拼接时需注意边长的对应关系，挖空问题中挖去图形的面积计算公式需准确。 例：从边长为a的正方形四个角各剪去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖盒子，则盒子底面积S＝(a－2x)2，体积V＝x(a－2x)2。 13．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出 与 的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． 15．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)能， 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． （3）解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． (1)特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为_，方程的正数解为_； (2)一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； (3)迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 【答案】(1)144，3 (2)证明：（，）， 由题意，构造的大正方形的面积为，边长为， ∴， ∴， 即关于的方程（，）的正数解为：； (3)77 【分析】（1）将方程化为，进而得到大正方形的面积为，进而得到，即可得出结果； （2）仿照题干，得到大正方形的面积为，边长为，进而得到，即可得证； （3）将方程化为，进而得到，求出，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴构造的大正方形面积为， ∴大正方形的边长为， ∴； （2）略 （3）解：∵（，）， ∴， ∵构造的大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌知识点05：动态几何中的面积问题 动态几何问题通常涉及点在线段上运动、图形折叠或旋转等情境，解题关键是抓住变化过程中的不变量或等量关系，设时间为未知数（或直接设线段长为未知数），利用几何图形的性质（如勾股定理、特殊平行四边形性质等）列出方程。 例如：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AB以1cm/s的速度向B运动，点Q从B出发沿BC以2cm/s的速度向C运动，几秒后△PBQ的面积为8cm²？ 解：设运动t秒，则PB＝6－t，BQ＝2t，由(6－t)·2t＝8得t2－6t＋8＝0，解得t＝2或t＝4，均符合0≤t≤4的实际范围（Q到C需4秒），故2秒或4秒后满足条件。 注意：需根据运动范围检验解的有效性，若求出t＝5则超出Q的运动时间，应舍去。 17．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 18．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 19．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于． (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 20．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知，如图①，在中，，，cm，点从点沿以每秒2cm的速度向点运动，点从点以每秒1cm的速度向点运动，设点、分别从点、同时出发，运动时间为（秒），回答下列问题： (1)直接写出线段、的长（含的代数式表示）：____________，___________． (2)设四边形的面积为，求出与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形面积与面积的比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1), (2) (3)存在，当时，可使四边形面积与面积的比为 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半；勾股定理、一元二次方程的求解等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得，即可推出cm，根据即可求解； （2）作，可求，根据， 即可求解； （3）若四边形面积与面积的比为，则，求解方程 即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴cm， ∵， ∴， 故答案为：, （2）解：作，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：若四边形面积与面积的比为， 则， ∴， 解得：， 故：当时，可使四边形面积与面积的比为 ▌知识点06：几何图形中的存在性问题 存在性问题指“是否存在某种情况使图形满足特定条件”的探究型问题，通常假设存在，列方程求解，再根据解的情况判断是否存在。 例如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P在BC上，是否存在点P使PA＝PB？ 解：设PC＝x，则PB＝8－x，PA＝，由PA＝PB得，两边平方得，解得x＝2，在0≤x≤8范围内，故存在点P，PC＝2。 注意：平方操作可能引入增根，需代回原方程检验；若解出x为负数或超出线段长度，则不存在满足条件的点。 21．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 22．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)出发秒时，间的距离是 (3)时，四边形的形状可能为矩形 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，根据题意表示出是解题的关键． （1）依题意得：，，根据，即可得出答案； （2）作于，则根据两点间的距离是，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）当四边形为矩形，则，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：，， ∵矩形中，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是． 依题意， 如图，作于，则 四边形是矩形， ∴， 则， 在中， 即：， 解得或， ∵t的最大值是（秒）， ∴, 答：出发秒时，间的距离是； （3）当时，四边形的形状为矩形； 理由：若四边形为矩形，则， 即，解得：． 23．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 24．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定拓宽后正方形的边长，再根据“新增开垦面积等于原井田面积的”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原正方形井田边长为丈，四周每一侧向外拓宽丈，正方形左右两侧一共拓宽丈，上下两侧一共拓宽丈， ∴拓宽后正方形的边长为丈． ∵新增开垦面积拓宽后总面积原井田面积，且新增面积是原井田面积的，原面积为，拓宽后面积为， ∴列方程得． 4．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和翻折的性质，结合解30度直角三角形和勾股定理设未知数列出方程，即可求得的长度． 【详解】解：在菱形中，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图，设与交点为H， ∴，即， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 7．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 8．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）某小区为规范电动自行车充电安全管理，计划新建一个形状为长方体的车棚，设计图如图所示，车棚内三面墙上装有与地面平行的三段不锈钢轨道（图中灰色部分），便于安装充电插座．已知该车棚地面占地面积为80平方米，三段不锈钢轨道总长为28米，则段不锈钢轨道的长为___________米． 【答案】20 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找到关系式是解决本题的关键． 设段的长为米，则米，根据面积列方程求出x的值解答即可． 【详解】解：设段的长为米，则米， ， 解得或， 当时，； 当时，. ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 课时1 几何图形问题 ▌课时目标 1. 掌握列一元二次方程解决几何图形问题的一般步骤，能准确从几何图形中提取等量关系，规范完成建模与求解。 2. 能独立解决矩形围栏、道路修建、图形拼接与挖空等常见面积问题，掌握“平移法”等转化技巧，正确求解并检验几何解的合理性。 3. 初步接触动态几何与存在性问题，能根据几何约束条件（如边长非负、不超过墙长等）对方程的根进行取舍，提升几何直观与应用意识。 ▌课时目录 知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点02：面积问题——矩形围栏问题 知识点03：面积问题——道路修建问题 知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 知识点05：动态几何中的面积问题 知识点06：几何图形中的存在性问题 ▌知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审：认真读题，明确题意，找出题目中的已知条件和所求问题，挖掘隐含的等量关系； 2. 设：根据题意选择直接设元或间接设元，注明未知数的单位； 3. 列：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，代入等量关系列出方程； 4. 解：选用合适的方法解一元二次方程； 5. 验：检验求得的解是否满足方程，同时检验是否符合实际意义（如长度非负、人数为正整数、不超过墙长等）； 6. 答：写出符合题意的完整答案。 1．（2026·辽宁抚顺·一模）《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____________ 4．（2026·河南开封·一模）据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． ▌知识点02：面积问题——矩形围栏问题 常见类型：一边靠墙，其余三边用篱笆围成矩形。等量关系：矩形面积＝长×宽。 设未知数技巧：通常设垂直于墙的边为x，则平行于墙的边为（总长－2x）。 注意事项： 1. 平行于墙的边长不能超过墙的实际长度； 2. 若求出多个解，需根据墙长进行取舍。 例：用20m篱笆靠8m长墙围矩形鸡舍，设垂直于墙的边为xm，则方程为x(20－2x)＝48，解得x＝6或x＝4；当x＝6时，平行于墙的边长为20－12＝8m（符合墙长）；当x＝4时，边长为12m（超过墙长，舍去）。 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 6．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）“谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； (2)该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 8．（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． ▌知识点03：面积问题——道路修建问题 常见类型：矩形地面上修建十字形、条形或环形道路，求剩余面积。 核心方法：平移法。将道路平移至矩形边缘，把不规则图形转化为规则矩形。 等量关系：剩余面积＝大矩形面积－道路面积＋（若有）重叠部分面积。 注意事项：道路宽度需统一，十字形道路中间重叠部分不能重复扣除。 例：长20m、宽15m的矩形场地，中间修宽2m的十字形道路，剩余面积S＝20×15－20×2－15×2＋2×2＝300－40－30＋4＝234m²。 9．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场（如图中阴影部分），将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整块长方形空地的长为，宽为，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西长治·一模）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为．设小路的宽度为，甲、乙、丙三位同学所列方程如下： 甲：．乙：．丙：． 其中正确的是（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲和乙都正确 D．甲、乙、丙三人都正确 11．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）华东学校计划建设一个校园种菜基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为多少？ 12．（25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． ▌知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 常见类型： 1. 大正方形剪去小正方形后拼接成矩形； 2. 矩形中挖去一个规则图形（如三角形、圆）求剩余面积。 等量关系：拼接前后总面积不变；剩余面积＝原图形面积－挖去图形面积。 注意事项：拼接时需注意边长的对应关系，挖空问题中挖去图形的面积计算公式需准确。 例：从边长为a的正方形四个角各剪去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖盒子，则盒子底面积S＝(a－2x)2，体积V＝x(a－2x)2。 13．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 15．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． (1)特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为_，方程的正数解为_； (2)一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； (3)迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． ▌知识点05：动态几何中的面积问题 动态几何问题通常涉及点在线段上运动、图形折叠或旋转等情境，解题关键是抓住变化过程中的不变量或等量关系，设时间为未知数（或直接设线段长为未知数），利用几何图形的性质（如勾股定理、特殊平行四边形性质等）列出方程。 例如：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AB以1cm/s的速度向B运动，点Q从B出发沿BC以2cm/s的速度向C运动，几秒后△PBQ的面积为8cm²？ 解：设运动t秒，则PB＝6－t，BQ＝2t，由(6－t)·2t＝8得t2－6t＋8＝0，解得t＝2或t＝4，均符合0≤t≤4的实际范围（Q到C需4秒），故2秒或4秒后满足条件。 注意：需根据运动范围检验解的有效性，若求出t＝5则超出Q的运动时间，应舍去。 17．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 18．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 19．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知，如图①，在中，，，cm，点从点沿以每秒2cm的速度向点运动，点从点以每秒1cm的速度向点运动，设点、分别从点、同时出发，运动时间为（秒），回答下列问题： (1)直接写出线段、的长（含的代数式表示）：____________，___________． (2)设四边形的面积为，求出与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形面积与面积的比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ▌知识点06：几何图形中的存在性问题 存在性问题指“是否存在某种情况使图形满足特定条件”的探究型问题，通常假设存在，列方程求解，再根据解的情况判断是否存在。 例如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P在BC上，是否存在点P使PA＝PB？ 解：设PC＝x，则PB＝8－x，PA＝，由PA＝PB得，两边平方得，解得x＝2，在0≤x≤8范围内，故存在点P，PC＝2。 注意：平方操作可能引入增根，需代回原方程检验；若解出x为负数或超出线段长度，则不存在满足条件的点。 21．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 22．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 23．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 二、填空题 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 7．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 8．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）某小区为规范电动自行车充电安全管理，计划新建一个形状为长方体的车棚，设计图如图所示，车棚内三面墙上装有与地面平行的三段不锈钢轨道（图中灰色部分），便于安装充电插座．已知该车棚地面占地面积为80平方米，三段不锈钢轨道总长为28米，则段不锈钢轨道的长为___________米． 三、解答题 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $