第四单元计算专项05：圆的面积“思维拓展”-六年级数学上册（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦圆的面积拓展，以扇环计算为基础，通过转化法系统训练组合图形面积，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |扇环的面积|6题|圆环面积×圆心角占比|从圆面积到扇环，体现部分与整体关系| |转化法求组合图形面积|14题|割补、拼接、旋转转化为规则图形|从规则到不规则，培养空间观念| |综合练习|5题|融合扇环与转化法综合应用|知识纵向深化，提升解题策略|

第四单元计算专项05：圆的面积“思维拓展” 日期： 用时： 评价： 一、扇环的面积 1．计算图中阴影部分的面积。 2．求涂色部分的面积。（单位：厘米）（π取3.14） 3．下图是一幅扇面画的示意图，请根据图中的信息，求它的面积。 4．计算如图所示图形阴影部分面积。 5．求下图阴影部分的面积。 6．求阴影部分的面积。          二、用转化法求圆的组合图形的面积 1．巧求下面图形中涂色部分的面积。 2．计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 3．求如图中阴影部分的面积。（π取3，单位：cm） 4．计算图中涂色部分的面积。（单位：cm） 5．圆的半径为2厘米，求图中阴影部分面积。（圆周率取3.14，单位：厘米） 6．求下图中阴影部分的面积（单位：厘米） 7．求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14） 8．求阴影部分的面积。 9．已知如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 10．求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 11．求下图所示正方形中阴影部分的面积。（单位：厘米，。） 12．如图，两个半圆的直径都是4cm，求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 13．已知直角三角形面积是8平方厘米，求下图中阴影部分的面积。 14．如图是由三个大小相同的圆组成的平面图形，三角形ABC是等边三角形，边长为4m，求阴影部分的面积。 三、综合练习 1．如图，半圆中空白部分是一个三角形，求阴影部分的面积。（圆周率取3.14，单位：厘米） 2．已知圆的周长是25.12dm，求阴影部分的面积。 3．如图，一个图形的中间是边长为2厘米的正方形，四周是四个圆心角为90°的扇形，阴影部分的面积是多少？ 4．求如图中阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 5．图形计算。 如图：正方形ABCG和正方形CDEF，DC＝12厘米，CB＝10厘米，求阴影部分的面积。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、扇环的面积 1．12.56dm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于外圆面积减去内圆面积。根据圆的面积＝πr2代入数据计算得出。 【详解】×3.14×52－×3.14×32 ＝×3.14×25－×3.14×9 ＝×（3.14×25－3.14×9） ＝×（78.5－28.26） ＝×50.24 ＝12.56（dm2） 2．5.495平方厘米 【分析】涂色部分面积＝半径为（3＋1）厘米的圆的面积的－半径为3厘米圆的面积的，圆的面积S＝πr2，代入数据即可解答。 【详解】3＋1＝4（厘米） （平方厘米） 涂色部分的面积是5.495平方厘米。 3．593.46cm2 【分析】观察图形可知，扇面的面积等于圆环面积的，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×[（18＋12）2－122]× ＝3.14×[302－122]× ＝3.14×756× ＝2373.84× ＝593.46（cm2） 4．31.4cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分是两个圆环可以组成一个半圆环；则阴影部分的面积等于半圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】4＋2＝6（cm） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝31.4（cm2） 阴影部分面积是31.4cm2。 5．25.12cm2 【分析】由图可知，阴影部分的面积刚好是圆环面积的一半。先根据“圆的半径＝直径÷2”用6除以2求出内圆的半径；然后用内圆的半径加2计算出外圆的半径；再根据“圆的面积＝πr2（r为圆的半径）”分别计算出内圆和外圆的面积；再用外圆的面积减内圆的面积计算出圆环的面积；最后用圆环的面积乘即可。 【详解】6÷2＝3（cm） 3.14×（3＋2）2－3.14×32 ＝3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 50.24×＝25.12（cm2） 所以阴影部分的面积是25.12cm2。 6．左图30.615；右图37.68 【分析】左图，大圆的半径是8cm，小圆的半径是（8－3）cm，用大圆的面积减去小圆的面积的差除以4即可算出阴影部分的面积。圆的面积S＝πr2。 右图，最大圆的半径是8cm，最小圆的半径是（8－2－2）cm，把左边的阴影补在右边空白部分；用最大圆的面积减去最小圆的面积的差除以4即可算出阴影部分的面积。圆的面积S＝πr2。 【详解】左图：8－3＝5（cm） （3.14×82－3.14×52）÷4 ＝（3.14×64－3.14×25）÷4 ＝（200.96－78.5）÷4 ＝122.46÷4 ＝30.615（cm2） 右图： 8－2－2＝4（cm） （3.14×82－3.14×42）÷4 ＝（3.14×64－3.14×16）÷4 ＝（200.96－50.24）÷4 ＝150.72÷4 ＝37.68（cm2） 二、用转化法求圆的组合图形的面积 1．25 【分析】利用割补法，把半圆右边阴影补到左边空白处，观察图形可知，大三角形的底和高都是10cm，阴影部分的面积等于底和高都是10cm的三角形的面积的一半，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】10×10÷2÷2 ＝100÷2÷2 ＝50÷2 ＝25（） 2． 32.5平方厘米 【分析】观察图形，可将右侧的阴影部分割补到左侧，这样阴影部分组成的图形就是一个梯形。因为半圆的半径为5厘米，所以梯形的高为5厘米，梯形的上底5厘米，下底为8厘米。根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【详解】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝32.5（平方厘米） 3．32平方厘米 【分析】 如图，观察图形可得：阴影部分的面积＝上底为（4×2）cm、下底为16cm、高为4cm的梯形的面积－底为（4×2）cm、高为4cm的三角形的面积，然后再根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答。 【详解】（4×2＋16）×4÷2－4×2×4÷2 ＝（8＋16）×4÷2－8×4÷2 ＝24×4÷2－32÷2 ＝96÷2－16 ＝48－16 ＝32（平方厘米） 4．7.5cm2 【分析】采用割补法，把右侧月牙形涂色部分移到左侧空白弧形区域，两块涂色部分拼接后刚好组成一个直角梯形，找到梯形的上底、下底和高，再用公式计算。 【详解】梯形上底：4－3＝1（cm） 梯形下底：4cm，高：3cm （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（cm2） 5．6平方厘米 【分析】把上半部分半圆的两个阴影拼接到下半部分，阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积＝（上底＋下底）×高÷2－底×高÷2。 【详解】r＝2厘米，d＝2r＝2×2＝4（厘米） （4＋6）×2÷2－4×2÷2 ＝10×2÷2－4×2÷2 ＝10－4 ＝6（平方厘米） 6．39.25平方厘米 【分析】正方形边长为10厘米，左侧是两个“叶形”阴影，右侧是一块不规则阴影。右侧的阴影形状，刚好可以填补到左侧叶形下方的空白处，和左侧阴影拼成一个完整的半圆（直径为10厘米）。先用直径除以2求出半径，再根据半圆面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可求解。 【详解】10÷2＝5（厘米） ×3.14×52 ＝×3.14×25 ＝1.57×25 ＝39.25（平方厘米） 7．4.56cm2 【分析】如图，把左下角的阴影部分平均分成两份，并分别旋转到箭头所指的位置，即采用割补法，阴影部分的面积等于半径为4cm的圆的面积减去底和高分别是4cm的直角三角形的面积，根据，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （cm2） 8． 【分析】由图可知：空白部分的面积相当于半径4cm的圆的面积的。正方形的面积＝边长×边长；空白部分的面积＝圆的面积÷4＝；阴影部分的面积＝正方形的面积－空白部分的面积。 【详解】 9．10.26平方厘米 【分析】图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分通过割补，使其变成规则图形。如下图所示： 阴影部分的面积＝扇形的面积（大圆的面积）－三角形的面积。 【详解】3.14×62×－6×6× ＝3.14×36×－36× ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 10．50.24cm2 【分析】将右下角的涂色三角形补到正方形的右上角可以拼成完整的的圆形，半径＝正方形边长，据此计算的圆形面积即可。 【详解】涂色部分面积＝πr2 ＝×3.14×82 ＝0.785×64 ＝50.24（cm2） 涂色部分的面积为50.24cm2。 11．14.25平方厘米 【分析】本题是一个边长为5厘米的正方形，阴影部分是一个“叶形”，先把正方形进行拆分成2个扇形，可以发现拆成的2个扇形可以组合成1个半圆，可以得到1个扇形的面积是的圆，当2个扇形组合时，重叠部分为阴影部分，根据正方形的面积＝边长×边长以及扇形的面积＝π，可以将2个扇形的面积相加后减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】扇形的面积＝π ＝ ＝19.625（平方厘米） 扇形的面积是19.625平方厘米 正方形的面积＝边长×边长 （平方厘米） 阴影部分面积＝扇形面积×2－正方形面积 ＝ ＝14.25（平方厘米） 所以阴影部分的面积是14.25平方厘米。 12．4.56cm2 【分析】经过旋转，将两个半圆拼成一个整圆，则阴影部分的面积等于两个半圆的面积之和（即一个整圆的面积）减去大直角三角形的面积（两个小直角三角形的面积和）。大直角三角形的底和高等于圆的直径。根据圆的面积公式S＝πr2，三角形面积公式S＝底×高÷2，列式计算解。 【详解】3.14×（4÷2）2－4×4÷2 ＝3.14×22－4×4÷2 ＝3.14×4－4×4÷2 ＝12.56－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（cm2） 13．3.42平方厘米 【分析】观察可知，直角三角形的一个角是45度，则可知这是一个等腰直角三角形，它的两条直角边相等，根据三角形面积公式的逆运算，用8乘2，再算一算是几的平方，直角边就是几。图中三角形DAB也是等腰直角三角形，它的直角边是大直角边的一半，左边阴影可以看成以小直角边为半径的扇形的一部分，再连接BC两点，可以把左边阴影部分平均分为两份，每一份都与右边的阴影部分相等。因此计算出左边的扇形面积减三角形ABC的面积，即可得阴影部分的，再乘3，可得图中阴影部分的面积。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 阴影部分的面积是3.42平方厘米。 14．6.28m2 【分析】三角形内角和180°，阴影部分可以拼成一个直径4m的半圆，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【详解】3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（m2） 阴影部分的面积是6.28m2。 三、综合练习 1．17.12平方厘米 【分析】图中半圆的直径是8厘米，则半径是4厘米，根据半圆的面积等于圆的一半，可以求得半圆的面积；图中直角三角形两条直角边的长等于圆的半径，根据三角形的面积公式可以求出这个直角三角形的面积，再用半圆的面积减去直角三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。圆的面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×÷2－4×4÷2 ＝3.14×16÷2－4×4÷2 ＝50.24÷2－16÷2 ＝25.12－8 ＝17.12（平方厘米） 2． 【分析】观察发现阴影部分的面积为梯形的面积减去个圆。梯形的面积（上底下底）高；圆的周长，圆的面积。先根据周长公式反求出半径，再求出个圆的面积。 【详解】 3．10.28平方厘米 【分析】观察图形可知，两个圆可以组成一个半圆；则阴影部分的面积＝半圆的面积＋正方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×22×＋2×2 ＝3.14×4×＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是10.28平方厘米。 4．4.86平方厘米 【分析】观察图形可得：阴影部分的面积＝上底为2厘米、下底为3厘米、高为（2＋3）厘米的梯形的面积－半径为2厘米的圆的面积－底为3厘米、高为3厘米的等腰直角三角形的面积，然后再根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答。 【详解】（2＋3）×（2＋3）÷2－×3.14×22－3×3÷2 ＝5×5÷2－×3.14×4－9÷2 ＝5×5÷2－3.14－4.5 ＝12.5－3.14－4.5 ＝9.36－4.5 ＝4.86（平方厘米） 5． 113.04 【分析】阴影部分的面积＝梯形ABCF的面积＋扇形FCD的面积（也就是四分之一圆的面积）－三角形ABD的面积；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】AB＝CB＝10厘米，CF＝DC＝12厘米，BD＝CB＋DC＝10＋12＝22厘米 阴影部分的面积： （AB＋CF）×CB÷2＋×π×－BD×AB÷2 ＝（10＋12）×10÷2＋×3.14×－22×10÷2 ＝22×10÷2＋×3.14×144－22×10÷2 ＝（22×10÷2－22×10÷2）＋×3.14×144 ＝0＋×144×3.14 ＝36×3.14 ＝113.04（平方厘米） 答案第1页，共2页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $