3.3.2 抛物线的简单几何性质课时同步练习2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版

**基本信息** 高中数学抛物线几何性质同步练，16题覆盖准线、焦点、切线等核心考点，以基础题为主，通过选择、填空、解答题梯度设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|抛物线定义、准线方程等单一知识点|选择题1-5直接考查概念辨析，如准线方程求解| |综合应用|焦点弦、切线、距离最值等交叉知识点|选择题6-8结合几何关系，填空题12-14需方程思想| |拓展提升|含参数问题、定值证明等综合应用|解答题16通过斜率关系证明，培养逻辑推理与模型意识|

3.3.2 抛物线的简单几何性质 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.抛物线y＝3x2的准线方程为(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.y＝－ D.y＝－ 【答案】D 【解析】抛物线y＝3x2的标准方程为x2＝y， 所以抛物线的准线方程为y＝－. 2.若等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 【答案】B 【解析】因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°，直线OA的方程为y＝x. 由方程组得或 所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p·2p＝4p2. 3.过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】B 【解析】由题意可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上， ∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行． 4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为(　　) A.2 B.4 C.2 D.8 【答案】C 【解析】∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F， 准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴直线AB的方程为y＝x－， 将y＝x－代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p，x1x2＝， 由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋， ∴|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝＋p2＋＝2p2＝16， 解得p＝2. 5.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　) A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0 【答案】D 【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，所以Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0. 6.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A. B. C. D.3 【答案】A 【解析】方法一　设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0. 与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0， 由题意知，Δ＝16＋12m＝0， ∴m＝－. ∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 方法二　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为 =， 当m＝时，取得最小值. 7.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　) A.3 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】由抛物线的性质可知， |AF|＝，|BF|＝， ∴＝＝3. 8.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝4，则|PF|等于(　　) A.3或4 B.或8 C.8或2 D.8 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1， 所以焦点到准线的距离为2， 由题意过点Q作QM⊥l于点M (如图)， 因为＝4， 由抛物线的性质知＝4， 设直线PQ的倾斜角为α， 则sin α＝， 所以由三角形相似可得＝， 所以|PF|＝8. 二、多选题（共3小题） 9.对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0,2) B.开口向上，焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y＝－4 【答案】AC 【解析】由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选AC. 10.（2024-2025·河南高二期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 【答案】AC 【解析】因为点在抛物线（）上，所以，解得，所以焦点F的坐标为，故A正确，B错误； 对于C选项，易得AQ方程为，联立，得，显然，故直线AQ与抛物线相切，故C正确； 对于D选项，易得轴，，所以不成立，故D错误． 故选：AC. 故选：AC． 11.（2025-2026·黑龙江牡丹江高二上期末）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（） A. B. C. D.若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】由抛物线的准线方程为，结合已知准线得. 化简得，故A正确. 由得抛物线的方程为，焦点. 设点，. 因为为线段的中点，所以，. 整理得. 直线的斜率. 代入得，故B正确. 由，，结合完全平方公式得. 代入数值计算得. 计算向量点积. 将代入得，故与不垂直，C错误. 过点分别作准线的垂线，垂足为. 由抛物线的定义得. 的周长为. 根据垂线段最短的性质，. 计算，. 因此周长的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝                  . 【答案】2 【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)， 所以直线AB的方程为y＝k(x－1)， 由 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝，x1x2＝1， 因为∠AMB＝90°， 所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1] ＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2 ＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0， 解得k＝2. 经检验，k＝2符合题意． 13.过点M(1，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝                  . 【答案】8 【解析】法一　直线l为y＝x－1， 由 得x2－6x＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝6， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 法二　由过焦点M(1，0)的弦长|AB|＝，直线斜率为1， 则sin α＝，∴|AB|＝＝8. 14.（2024-2025·上海高二期中）以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为                  ． 【答案】 【解析】抛物线，，，焦点坐标为，准线方程为. 以焦点为圆心，且与准线相切的圆，半径. 圆的标准方程为. 四、解答题（共2小题） 15.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|＋|BF|＝6. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程． 【答案】解　(1)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则线段AB中点M的横坐标为＝2， 所以x1＋x2＝4， 又由抛物线的定义得，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，得p＝2， 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)由(1)知，抛物线C的焦点为F(1,0)， 故设直线l的方程为y＝k(x－1)，k≠0. 联立消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以x1＋x2＝＝4，解得k＝±， 所以直线l的方程为y＝±(x－1)． 16.设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上位于第一象限的一点，且. (1) 求抛物线C的方程； (2) 如图，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN的斜率为定值. 【答案】解(1)由抛物线定义得，解得，故抛物线C的方程为. (2)证明：点在抛物线C上，代入得，又P位于第一象限，故，即. 设，，设直线PM的方程为，整理得 ，代入得. 由韦达定理得，故，代入直线方程得，即.由直线PM与PN斜率之和为0，得直线PN的方程为，整理得 ，同理可得，，即 .由此可得直线MN的斜率，故直线MN的斜率为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.抛物线y＝3x2的准线方程为(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.y＝－ D.y＝－ 2.若等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 3.过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为(　　) A.2 B.4 C.2 D.8 5.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　) A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0 6.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A. B. C. D.3 7.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　) A.3 B.2 C. D. 8.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝4，则|PF|等于(　　) A.3或4 B.或8 C.8或2 D.8 二、多选题（共3小题） 9.对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0,2) B.开口向上，焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y＝－4 10.（2024-2025·河南高二期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 11.（2025-2026·黑龙江牡丹江高二上期末）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（） A. B. C. D.若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 三、填空题（共3小题） 12.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝                  . 13.过点M(1，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝                  . 14.（2024-2025·上海高二期中）以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|＋|BF|＝6. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程． 16.设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上位于第一象限的一点，且. (1) 求抛物线C的方程； (2) 如图，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN的斜率为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $