5.4 用字母表示数量关系（4） 教案 -2026-2027学年人教版数学五年级上册

该教案聚焦用字母表示图形与数列中的复合数量关系，通过拼桌情境或复习旧知导入，衔接用字母表示单一关系的旧知，搭建“列表-拆解-建模-验证”学习支架，引导学生从具象数据抽象出含两级运算的字母式。 以数形结合为特色，用双色标注图形拆分固定量与递增量，培养几何直观与抽象能力，任务驱动分层设计适配不同学生，迁移立体图形问题形成通用模型，提升学生代数建模与推理意识，为教师提供清晰教学路径与分层指导策略。

5.4 用字母表示数量关系（4） 教学内容 人教版小学数学五年级上册第63页例4及第66页练习十二第6题。 内容简析 本课是用字母表示数的拓展提升课时，学生第一次自主从图形排列、数列里自主推导含两级运算的复合字母式子。教材以长条拼接桌子的情境，先用表格整理具象数据，再借助图形直观拆解“两端固定2 ，每增加1张桌子多坐2人”的规律，分步拆解出（2+2×m)的关系式；“回顾反思”板块教会学生用代入数字验证规律正确性；“试一试”双向求值衔接上一课等式的基本性质，实现新旧知识联动；配套习题，把平面拼桌的探究思路迁移到立体堆叠图形，形成“列表找差→数形拆解→字母建模→代入验证”通用规律探究模型，为后续植树问题、点阵规律问题打好建模基础。 教学目标 1.能借助表格、图形数形结合，自主推导线性递增图形的复合字母关系式；会代入数值验证规律，完成双向代入求值。 2.经历列表统计、图形分层拆解、抽象字母式子、代入验证、模型迁移的完整探究流程，提升数形结合、代数建模、逻辑推理能力。 3.感受用字母表示无限变化规律的便捷性，养成先找不变量、再看递增量的有序探究习惯。 教学重难点 1.从图形数据中找出不变量、固定递增量，抽象出含两级运算的字母关系式，规范代入验证、双向求值。 2.数形结合拆分“固定不变部分”和“随变量变化的递增部分”，自主构建(a+bm)类型复合字母模型。 教法与学法 1.教法：采用数形结合探究法，依托拼桌示意图、堆叠正方体立体图将抽象的人数、外露面数转化为直观图形，拆分出“两端固定人数”“每层新增面数”的不变与变化两部分，降低规律的抽象理解难度；运用任务驱动分层教学法，设置列表整理数据、图形拆解规律、字母建立关系式三层探究任务，层层搭建建模脚手架，适配不同层次学生的认知水平；借助对比迁移演示法，在平面拼桌规律探究完成后，同步展示两套图形的表格与拆解思路，引导学生自主迁移通用探究模型；搭配验证式问题链，围绕“不变量、递增量、字母表达、规律验证”设计阶梯设问，层层引导学生独立完成完整代数建模流程。 2.学法：学生采用“自主统计 — 小组拆解 — 建模表达 — 验证纠错 — 迁移应用”的探究式学法。先独立填写表格整理图形对应数据，小组合作观察图形拆分不变、变化两部分，合作写出通用字母式子，代入表格数字验证规律正误，最后自主把拼桌探究方法迁移到立体正方体习题，完整掌握图形规律代数建模的通用思路。 承前启后链复习：用字母表示加减、乘除单一数量关系；观察图形、数列找出简单的相差、倍数规律。 学习：区分图形规律里固定不变量和变量递增量，自主推导(a+bm)两级运算字母关系式；掌握代入数值验证规律的检验方法。 延学：用字母表示数量关系，解决实际问题。 教学过程 一、情境创设,导入课题 预设1：情景导入 师出示拼接长方形桌子卡通图，抛出生活问题：1张桌子坐4人，2张拼一起坐6人，3张拼一起坐8人，如果拼100张桌子，总不能一张一张画图数人数吧。能不能用一个字母式子，直接算出任意张桌子能坐多少人？今天我们学习用字母表示图形里藏着的变化规律。板书课题《用字母表示图形、数列中的变化规律》。 【设计意图：用“100张桌子无法逐个数”制造列举的局限性，催生字母概括无限规律的探究需求，直观点明本课核心任务。】 预设2：复习导入 出示上节课路程字母公式s=vt，回顾：用字母可以表示固定倍数、相差类数量关系。随后出示零散拼接桌子简图，提问：之前的式子都是固定单一加减或乘除关系，拼桌子的人数每张多2人，既有固定不变的2人，又有随桌子增加不断变大的人数，单一简单字母式子无法概括，该怎样写出同时包含两部分变化的字母式子？今天我们探究图形递增变化里的规律，用字母完整表示这类数列变化。（板书课题） 【设计意图：依托旧知字母简单数量关系搭建认知桥梁，通过新旧题型结构对比，凸显本课“固定量 + 递增量”的复合规律，让学生明确本节课建模难点，定向启动探究思维。】 二、师生合作，探究新知 活动一：阅读理解，列表整理数据，初步感知递增规律（6分钟） 步骤1：全班齐读例题文字，分层梳理已知条件与待解决问题。 知道了：1 张桌坐4人，2张坐6人，3张坐8人，每多拼1张桌子多坐2人；用m表示桌子张数，n表示可坐人数。 要解决的问题：写出n与m之间的字母关系式。 步骤2：出示表格，学生独立填写完整数据。 步骤3：同桌合作观察表格，交流数据变化特点。 学生发现：桌子张数每增加1，可坐人数固定增加2，差值恒定为2。 师追问：只看表格只能看到变化的数字，找不到永远不变的部分，我们结合桌子图形分层拆解。 【设计意图：先用表格量化图形数据，让学生直观感知恒定递增量，同时制造“看不到不变量”的认知缺口，自然引出数形结合拆解图形的核心探究方法。】 活动二：数形结合分层拆解，推导复合字母关系式（14分钟） 步骤1：放大拼接桌子示意图，用两种颜色粉笔分层标注图形座位。 蓝色：桌子左右两端，固定2个座位，无论拼多少张桌子，这2人始终存在，属于固定不变量； 红色：每张拼接桌子左右各新增1个座位，每张桌子对应多2人，属于随m变化的递增量。 步骤2：分步书写具象算式，层层对应图形含义。 m=1：两端固定2人 + 1 张桌新增 2 人 → 2+2×1=4 m=2：两端固定2人 + 2 张桌新增 2 人 → 2+2×2=6 m=3：两端固定2 人 + 3 张桌新增 2 人 → 2+2×3=8 步骤3：抽象通用字母关系式 m张桌子总人数 = 固定 2 人 + 每张桌子新增2人×桌子数量 得到关系式：n=2+2m 分层拆解式子两层代数含义：2代表图形两端不变座位；2m代表随桌子数量同步增加的座位。 步骤4：回顾反思 —— 代入数值验证规律正确性 小组合作检验：取表格中m=4，代入式子n=2+2×4=10，与表格数据完全匹配，证明式子成立；学生自主任选m=3二次验证，掌握代入检验的通用方法。 课外拓展挖掘点：引导学生换角度拆分规律，换列式：n=2(m+1)，运用乘法分配律可展开为2+2m，提前渗透字母形式乘法分配律，为后续化简字母式子铺垫。 步骤 5：规范书写答句：n和m的关系可以表示为n=2+2m。 【设计意图：借助色彩分层标注图形，把抽象复合式子转化为看得见的两部分图形，突破“分不清固定量、递增量”的核心难点；拓展等价式子，提前渗透代数运算律，拓宽学生代数思维；代入验证环节，教会学生自主检验建模结果，培养严谨推理习惯。】 活动三：“试一试”双向代入求值，联动等式的基本性质旧知（7分钟） 出示两道求值题型，教师分步示范规范书写格式正向求值： 已知m=15，求n。 当m=15时，n=2+2m=2+2×15=32 逆向求值：已知n=52，求m。 2+2m=52 2+2m-2=52-2 等式两边同时减 2 2m=50 2m÷2=50÷2 等式两边同时除以 2 m=25 师点拨逆向解题要点：把含字母的式子写在等式左侧，利用等式的两条基本性质，等式两边同步做相同运算，逐步单独分离未知数m。 【设计意图：正向求值巩固字母式子代入计算规范，逆向求值联动上节课等式的两条基本性质，实现单元新旧知识无缝衔接。】 三、巩固练习，学有所得 练习：教材第66页练习十二第4题 出示竖直堆叠小正方体图与表格，引导学生完整迁移拼桌探究四步法自主探究。小组交流对比总结：此题和例4都是先拆分图形固定不变部分、递增量，再组合写出复合字母式，最后代入数字验证。 【设计意图：实现平面图形建模思路向立体几何图形跨场景迁移，让学生感知“列表 — 拆分 — 建模 — 验证”是所有线性递增图形规律的通用方法，形成统一、可迁移的数形建模思维。】 四、课末小结,融会贯通 今天我们先后研究了拼接桌子、堆叠正方体两类递增图形，请大家结合动手、画图、列式、验证的全过程，梳理自己的收获。学生自主梳理： 1.解决图形递增问题，先列表整理数据观察差值，再画图拆分出永远不变的固定部分、随图形数量而增加的递增量，组合写出复合字母式子，最后代入表格里的数字检验式子是否成立； 2.本节课得到的式子都是（a+bm)形式，和之前一步加减、一步乘除的简单字母式子不同，需要结合图形才能读懂两层运算的实际意义； 3.知道图形数量直接代入式子正向计算；知道总人数、总面数这类结果，就要借助等式的基本性质，等式两边同步变形逆向求解图形数量； 4.不管是横向拼接平面桌子，还是竖直堆叠立体正方体，图形形态不同，但拆分、建模、验证的整套思路完全通用，这套方法在以后的点阵、楼梯、植树等找规律问题中都能使用。 教师总结：本节课是我们第一次自主创造两级运算的复合字母式子，完成了从“用字母表示简单数字关系”到“用字母概括一类无限变化图形规律”的思维跨越；数形结合拆分不变量与递增量，是小学代数建模最核心的思维工具。 【设计意图：以“通用建模方法”为主线串联平面、立体两类课堂素材，横向打通不同几何图形的共通代数思维，纵向串联本单元全部字母表示数旧知，跳出单一课时知识点局限。】 五、教海拾遗,反思提升 1.回味课堂，发现亮点之处：本课采用“平面拼桌打底、立体正方体迁移”梯度探究设计，双色分层标注图形的方法有效突破复合字母式子建模难点，90%以上学生能精准区分图形里固定不变、逐年递增两部分。拼桌探究环节，学生自主发现两端2人永久不变这一核心常量，独立写出(n=2+2m)关系式，代入数值验证规律的检验方法落实到位；双向求值联动上节课等式性质，新旧知识衔接，94%学生能规范完成等式同步变形步骤。 2.反思过程，有待改进之处：课堂建模环节，约两成学困生脱离图形只看表格数字，无法自主拆分固定量与递增量，不能解释字母式子对应的图形含义；逆向求值时，部分学生第一步不会消去式子前端常数2，直接用总人数÷2计算，忽略等式两边同步减2的步骤；课堂缺少分层作业，学有余力的学生没有拓展拔高任务。后续教学增设“图形分层拆分学习单”，用两种颜色区域框出固定部分、递增部分，直观区分两类数量；设计逆向求值分步提示卡，标注“先消常数、再除递增量”两步操作提示；增设拓展拔高题：自主设计递增图形并写出复合字母式子，兼顾学困生帮扶与优等生拔高。 我的反思: 板书设计 用字母表示数量关系（4） 例 4 拼桌坐人（m= 桌子张数，n= 可坐人数） 数据规律：每多1张桌，多坐2人 图形拆分：两端固定2人；每张桌新增2人 复合字母关系式：n=2+2m 拓展等价式：n=2(m+1)（乘法分配律） 验证方法： 代入m=4，n=2+2×4=10，与表格中数据一致。 学科网（北京）股份有限公司 $