考点01 直线与圆4考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“位置关系-切线性质-判定-切线长”为逻辑主线，提炼“模型化+口诀化”解题方法，覆盖中考高频考点的系统性专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判定|典例3+变式4|求d→比d与r大小|从公共点直观判断到数量关系精准判定，构建位置关系认知基础| |切线性质应用|典例2+变式3|见切线连切点得垂直|以切线性质定理为核心，通过辅助线构造直角三角形激活勾股定理等工具| |切线判定证明|典例3+变式3|有交点连半径证垂直/无交点作垂直证半径|基于判定定理分模型突破，结合互余法等五种证垂直手段| |切线长定理应用|典例1+变式3|切线长相等+Rt△勾股计算|从概念辨析到定理应用，拓展全等及切点弦性质| |综合压轴突破|典例2+变式5|动态几何与函数结合|融合代数几何知识，提升复杂问题解决能力，体现数学思维的严谨性与创新意识|

考点01 直线与圆 考点一：直线与圆的三种位置关系 设⊙O的半径为 r，圆心O到直线 l 的距离为 d，则： 位置关系 公共点个数 数量关系 直线名称 公共点名称 相离 0 — — 相切 1 切线 切点 相交 2 割线 交点 【判定方法】 公共点法：数直线与圆的公共点个数（直观但不精确）； 数量法：比较 d 与 r 的大小（核心方法，必须掌握）。 【关键提醒】求 d 时，"圆心到直线的距离"是指垂线段长度，必须过圆心作直线的垂线，垂足到圆心的线段才是 d。 考点二：切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言： 【核心结论——知二推一】 一条直线若满足以下三个条件中的任意两个，必推出第三个： ① 垂直于切线； ② 过切点； ③ 过圆心。 【辅助线口诀】见切线，连切点，得垂直。 题目中只要出现"切线"二字，第一反应就是连接圆心和切点，立即得到 90° 直角，从而构造直角三角形，激活勾股定理、三角函数、相似等工具。 考点三：切线的判定定理 定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两个条件（缺一不可）： ① 直线经过半径的外端（即直线与圆有公共点）； ② 直线垂直于这条半径。 【两大判定模型——必考大题模板】 模型 适用场景 辅助线做法 证明目标 模型一 有交点 题目明确告知直线与圆 有公共点（点在圆上） 连接圆心与公共点 （得到半径） 证明半径与直线垂直 （证 90°） 模型二 无交点 未告知公共点 （不知是否在圆上） 过圆心作直线的垂线 （垂足为 H） 证明垂线段 OH = r （证距离等于半径） 【证垂直的五种常用手段】（模型一的核心） ① 互余法：证明两角之和为 90°（最常用，结合直径所对圆周角）； ② 平行线法：利用平行传递垂直关系； ③ 等腰三线合一：等腰三角形底边上的中线/高/角平分线重合； ④ 全等三角形：证明对应角为 90°； ⑤ 勾股定理逆定理：证明三角形三边满足 a² + b² = c²。 考点四：切线长定理 切线与切线长的区别： 切线：直线，不可度量长度； 切线长：圆外一点到切点之间的线段长度，可以度量。 注意：只有圆外一点才有切线长，圆上、圆内的点不存在切线长。 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言： 【推广结论】 ① △APO ≌ △BPO（HL），对应边、对应角全部相等； ② OP 垂直平分弦 AB（切点弦）； ③ 四边形 OAPB 中，∠OAP = ∠OBP = 90°，A、B 在以 OP 为直径的圆上。 题型一：直线与圆位置关系的判定（基础常考） 第一步：求圆心到直线的距离 d（作垂线，用面积法/勾股/坐标公式）； 第二步：比较 d 与 r 的大小； 第三步：下结论（d > r 相离；d = r 相切；d < r 相交）。 【典例1-1】（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【典例1-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型二：切线性质的应用（高频常考） 见切线 → 连切点 → 得直角 → 用勾股 【典例2-1】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，为的弦，为的切线，连接交于点D，交于点E．若，的半径为3，，则图中阴影部分的面积为_____． 【变式2-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【变式2-3】（2026·浙江温州·三模）如图，是的切线，切点是，直线交于点，，点为上一点，连接，．若，则的度数为_____． 题型三：切线的判定证明（必考大题） 模型一：有交点 → 连半径，证垂直 【适用标志】题目中出现"点 A 在⊙O 上"或图形中明确标出公共点。 【操作流程】连接 OA → 证明 OA⊥待证直线。 模型二：无交点 → 作垂直，证半径 【适用标志】题目未说明直线与圆有公共点，需证明某直线是切线。 【操作流程】过圆心 O 作 OH⊥直线于 H → 证明 OH = r。 【典例3-1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【典例3-2】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【典例3-3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【变式3-1】（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知：是的直径，弦平分，于点D，E是延长线上一点，交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，． ①连接，求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点F，交于点D，连接，过点D作，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)是否存在常数m，n，使得等式成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 题型四：切线长定理的应用（常考计算） ① 由切线长定理直接得 PA = PB，∠APO = ∠BPO； ② 连接 OA、OB，得到两个全等直角三角形； ③ 在 Rt△OAP 中用勾股定理：PA² + OA² = OP²； 【典例4】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【变式4-1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【变式4-3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 题型五：切线综合与压轴突破（培优） 【典例5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【典例5-2】（2026·宁夏银川·三模）如图，直线与抛物线交于点． (1)填空： ____________， ____________，抛物线的解析式为____________． (2)将直线向下移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围． (3)是抛物线上的一个动点，是否存在以 为直径的圆与轴相切于点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【变式5-3】（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【变式5-4】（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于B、C两点，D为的中点，反比例函数的图象经过圆心和点，与交于左上方的点Q． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； (3)P为反比例函数图象上一点（包括端点），当时，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2026·广东东莞·三模）如图，点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点，点B关于点C的对称点，则等于（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·模拟预测）已知如图，二次函数顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③ 5．（2026·广西玉林·一模）某智能快递分拣中心设计了分拣轨道模型，在平面直角坐标系第一象限内，分拣传送带的轨迹满足反比例函数．工作人员在传送带上放置了两个半径均为1的圆形分拣托盘，托盘圆心分别为点、点，且均在传送带轨迹上．已知圆心对应的托盘与轴相切，圆心对应的托盘与轴相切，若两个圆心之间的距离为，则下列结论正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．圆心的坐标为 C．圆心B的坐标为 D．直线经过点 6．（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 7．（2026·北京·模拟预测）如图，点为上一点，点为延长线上一点，切于点，连接，若，则的度数为______． 8．（25-26九年级下·四川内江·期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为，为半圆直径，半圆圆心，半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_________．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为___________． 9．（2026·河北张家口·三模）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 10．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 11．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接、，交点为H，当时，求线段的长． 12．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，AB是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 13．（2026·广西玉林·模拟预测）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 14．（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 15．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第二象限，与轴相交于点，当与以为直径的半圆相切于点时，求点的坐标； (3)过点作轴的垂线交直线于点，连结，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 直线与圆 考点一：直线与圆的三种位置关系 设⊙O的半径为 r，圆心O到直线 l 的距离为 d，则： 位置关系 公共点个数 数量关系 直线名称 公共点名称 相离 0 — — 相切 1 切线 切点 相交 2 割线 交点 【判定方法】 公共点法：数直线与圆的公共点个数（直观但不精确）； 数量法：比较 d 与 r 的大小（核心方法，必须掌握）。 【关键提醒】求 d 时，"圆心到直线的距离"是指垂线段长度，必须过圆心作直线的垂线，垂足到圆心的线段才是 d。 考点二：切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言： 【核心结论——知二推一】 一条直线若满足以下三个条件中的任意两个，必推出第三个： ① 垂直于切线； ② 过切点； ③ 过圆心。 【辅助线口诀】见切线，连切点，得垂直。 题目中只要出现"切线"二字，第一反应就是连接圆心和切点，立即得到 90° 直角，从而构造直角三角形，激活勾股定理、三角函数、相似等工具。 考点三：切线的判定定理 定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两个条件（缺一不可）： ① 直线经过半径的外端（即直线与圆有公共点）； ② 直线垂直于这条半径。 【两大判定模型——必考大题模板】 模型 适用场景 辅助线做法 证明目标 模型一 有交点 题目明确告知直线与圆 有公共点（点在圆上） 连接圆心与公共点 （得到半径） 证明半径与直线垂直 （证 90°） 模型二 无交点 未告知公共点 （不知是否在圆上） 过圆心作直线的垂线 （垂足为 H） 证明垂线段 OH = r （证距离等于半径） 【证垂直的五种常用手段】（模型一的核心） ① 互余法：证明两角之和为 90°（最常用，结合直径所对圆周角）； ② 平行线法：利用平行传递垂直关系； ③ 等腰三线合一：等腰三角形底边上的中线/高/角平分线重合； ④ 全等三角形：证明对应角为 90°； ⑤ 勾股定理逆定理：证明三角形三边满足 a² + b² = c²。 考点四：切线长定理 切线与切线长的区别： 切线：直线，不可度量长度； 切线长：圆外一点到切点之间的线段长度，可以度量。 注意：只有圆外一点才有切线长，圆上、圆内的点不存在切线长。 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言： 【推广结论】 ① △APO ≌ △BPO（HL），对应边、对应角全部相等； ② OP 垂直平分弦 AB（切点弦）； ③ 四边形 OAPB 中，∠OAP = ∠OBP = 90°，A、B 在以 OP 为直径的圆上。 题型一：直线与圆位置关系的判定（基础常考） 第一步：求圆心到直线的距离 d（作垂线，用面积法/勾股/坐标公式）； 第二步：比较 d 与 r 的大小； 第三步：下结论（d > r 相离；d = r 相切；d < r 相交）。 【典例1-1】（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【典例1-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 【典例1-3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 【变式1-1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【变式1-4】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 题型二：切线性质的应用（高频常考） 见切线 → 连切点 → 得直角 → 用勾股 【典例2-1】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 【典例2-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，为的弦，为的切线，连接交于点D，交于点E．若，的半径为3，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接． 为的切线， ． ． ， ． ． ， ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 【变式2-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（2026·浙江温州·三模）如图，是的切线，切点是，直线交于点，，点为上一点，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，切点是， ∴， ∵， ∴， ∵和是所对的圆心角和圆周角， ∴． 题型三：切线的判定证明（必考大题） 模型一：有交点 → 连半径，证垂直 【适用标志】题目中出现"点 A 在⊙O 上"或图形中明确标出公共点。 【操作流程】连接 OA → 证明 OA⊥待证直线。 模型二：无交点 → 作垂直，证半径 【适用标志】题目未说明直线与圆有公共点，需证明某直线是切线。 【操作流程】过圆心 O 作 OH⊥直线于 H → 证明 OH = r。 【典例3-1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 【典例3-2】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 【典例3-3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【变式3-1】（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； (2)证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知：是的直径，弦平分，于点D，E是延长线上一点，交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，． ①连接，求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ，且为半径， ∴是的切线． （2）解：①， ， ， ； ②如图，作于点， 则， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点F，交于点D，连接，过点D作，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)是否存在常数m，n，使得等式成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． (2)证明：连接，， ∵是的平分线， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． (3)存在，． 证明：连接，过点A作于点H，过点B作于点G，设， 则， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ∴成立． 题型四：切线长定理的应用（常考计算） ① 由切线长定理直接得 PA = PB，∠APO = ∠BPO； ② 连接 OA、OB，得到两个全等直角三角形； ③ 在 Rt△OAP 中用勾股定理：PA² + OA² = OP²； 【典例4】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【变式4-1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 【变式4-2】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 【详解】（1）解：∵，与相切， ∴， ∵，的长是关于x的一元二次方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 则m的值为2； （2）解：当时，原方程为， 解得：，即， ∵，与相切，与相切， ∴，， ∴的周长． 题型五：切线综合与压轴突破（培优） 【典例5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【详解】（1）解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为， 故答案为：； ②如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的半径为； (2)如图所示，作的垂直平分线交于点，由可知是等腰直角三角形，即可得是等腰直角三角形，故与相切于点，点即为所求； （3）解：如图，以为直径的圆与相切时，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 当时， ； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，当时， 最小值；当时，最小值． 【典例5-2】（2026·宁夏银川·三模）如图，直线与抛物线交于点． (1)填空： ____________， ____________，抛物线的解析式为____________． (2)将直线向下移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围． (3)是抛物线上的一个动点，是否存在以 为直径的圆与轴相切于点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将代入， 可得， ∴， 再将代入得， ，可得， ∴， （2）解：由题意可得， 联立， ∴， ∵直线l与抛物线C仍有公共点 ∴， ∴， ∴； （3）解：存在以为直径的圆与x轴相切，理由如下： 设， ∴， ∴半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴以为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为或． , 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 【答案】(1) 解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴． (2)①；② (3) 【详解】（1）略 （2）①解：如图，连接，， 由题意，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 由图可知，， ， ∴裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴在中，，， 解得， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积， ， 故答案为：． （3）如图，连接，， 由（1），得，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，即， 整理，得， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【初步探究】， 证明：如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【深入探究】①与相切； 理由：如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 根据勾股定理逆定理，等价于， 点，，满足条件，故D是直角关联点； 点，，不满足条件，故E不是直角关联点； 点，，不满足条件，故F不是直角关联点； 线段的“直角关联点”的为D； （2）由题意可知：从P向作两条切线，切线夹角， 当时，， 设， ， ， 解这个方程得：， 时， 横坐标m的取值范围或； （3）的半径， 因此P是的直角关联点等价于，非关联点等价于， 由题意可知：封闭图形中既存在关联点也存在非关联点，即封闭图形内既有的点，也有的点， 因此点到封闭图形的最短距离小于或等于4，且最远点距离大于4， 设， 当时，， ， 解得(舍）， ∴， 点到直线的距离， 解得：， 同法可求两直线间的距离为， 点到直线的距离，， 此时，解得：， 封闭图形最远点为，其到T的距离平方满足， 解得：或， 的取值范围或． 【变式5-4】（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于B、C两点，D为的中点，反比例函数的图象经过圆心和点，与交于左上方的点Q． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； (3)P为反比例函数图象上一点（包括端点），当时，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接、，交x轴于F． ∵与y轴相切于点A，D为的中点， ∴轴，轴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：反比例函数的图象经过点， ，解得： ， 和是同底三角形， 底上的高越大，面积越大， ， 点到的距离大于点到的距离， 如图，过反比例函数图象上的点分别作的平行线， 观察可知，当点在点右侧时，点到AB的距离大于点到的距离， ，， 点P的横坐标m的取值范围为． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 2．（2026·广东东莞·三模）如图，点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点，点B关于点C的对称点，则等于（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】解：连接、． 点B关于点C的对称点， 是的中点． ∵点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点， ∴为的直径， ∴点是的中点， 是的中位线． ． ． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 4．（2026·北京·模拟预测）已知如图，二次函数顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连接，，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意； 解得， 抛物线的解析式为， 当时， 解得或， ， ， ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， 解得或， ， ， 四边形不是平行四边形，故③错误，不符合题意； 由抛物线可知，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①②④． 5．（2026·广西玉林·一模）某智能快递分拣中心设计了分拣轨道模型，在平面直角坐标系第一象限内，分拣传送带的轨迹满足反比例函数．工作人员在传送带上放置了两个半径均为1的圆形分拣托盘，托盘圆心分别为点、点，且均在传送带轨迹上．已知圆心对应的托盘与轴相切，圆心对应的托盘与轴相切，若两个圆心之间的距离为，则下列结论正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．圆心的坐标为 C．圆心B的坐标为 D．直线经过点 【答案】B 【详解】解：连接与轴的切点交轴于点，连接与轴的切点交轴于点，过点作轴于点，过点作于点， 已知圆心对应的托盘与轴相切，圆心对应的托盘与轴相切，半径都是1， 轴，轴， ， 点的横坐标和点的纵坐标都是1， 在反比例函数上， ，． 轴，，轴，轴， 四边形为矩形， ，，， ， 在中， ， 或（舍去）， ，． 反比例函数的解析式为， A选项和C选项错误，B选项正确． 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为． 当时，， 直线经过． 选项错误． 6．（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·北京·模拟预测）如图，点为上一点，点为延长线上一点，切于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接， 切于点， ， 又， ， ， ， 又是的外角， ， ． 8．（25-26九年级下·四川内江·期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为，为半圆直径，半圆圆心，半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_________．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：∵为半圆直径，半圆圆心，半径为2， ∴，， 设“蛋圆”的抛物线部分的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴“蛋圆”的抛物线部分的解析式为， 设， ∵半圆圆心，半径为2， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， 如图，连接，作交轴于点， 设，则，， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为． 9．（2026·河北张家口·三模）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 【答案】或 【详解】解：过点作，垂足为，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ， ， 在中， ， 以为直径作，当与相切时，过作，连接， ∴， ， 在 中，， ∴ ， ， ∴ ； ①若为直角三角形，如图（1），当直线与圆相切时，， 使为直角三角形的点有，，3个，继续向右运动，直线与圆有2个交点，此时点有4个； ②当直线l过点Q时，如图（2）， ， ∴， 使为直角三角形的点有，2个， 继续向右运动，此时点有4个； ③当直线经过点时，如图（3）， ， ∴， 使为直角三角形的点有，2个， ∴由图可知，满足条件的的取值范围是或． 10．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 11．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接、，交点为H，当时，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，AB是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，则：， ∴． ∵是直径， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·广西玉林·模拟预测）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 【详解】（1）解：如图，连接，标记点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由圆周角定理可得， ∴； （2）解：设的半径为，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 14．（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形． (2) (3)①解：点O在半圆上．理由如下： 如图，连接，，． ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵的直径， ∴的半径， ∴， 解得：， 即， ∴点O在半圆上． ②解：∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∴， ∴． ③解：点P到的距离为或．理由如下： 如图，当点在点O的右侧时，过点作于点N，过点P作于点M． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴点P到的距离为； 如图，当点在点O的左侧时，过点作于点S，过点P作于点R． 同理可证， ∴同理可得， ∴， 同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 15．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第二象限，与轴相交于点，当与以为直径的半圆相切于点时，求点的坐标； (3)过点作轴的垂线交直线于点，连结，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接， 是的切线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得 ． 联立得：， 点坐标为； （3）解：如图，设，则， ， ， 沿直线翻折，的对应点为点，落在轴上，轴， ，，，， ， ， ， ， 当时， 解得：（舍去），， 此时点； 当时， 解得：（舍去），， 此时点； 综上，点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $