第五章 问题解决策略：逐步确定&第五章 二元一次方程组 章末总结-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

故D选项正确 根据题意可得： [x+y=200×20%, 变式训练 Lx+y+5x+2y-1=200, 1-1B【解析】观察未知数x,y,z的系数特 解得=27， 点发现：未知数y的系数要么相等，要么互为相 y=13, 反数，所以要使运算简便，那么消元时最好应先消 所以绵羊毛的质量为27g,腈纶的质量为13g: 去y 答：绵羊毛的质量为27g,腈纶的质量为13g 2-16 【解析】 2m+3n+k=11,① 变式训练 13m+5n+k=16,② 解：(1)43不是“魅力数”.理由如下： ②-①得m+2n=5, .43=14×3+1, ①×2-②得m+n+k=6, .43被3除余1，不余2， 则m+2n-5 ∴.根据“魅力数”的定义知，43不是“魅力数”. m+n+k-6 (2)先求被2除余1，同时能被3,5都整除的 3-1180【解析】设甲服装的单价为x元，乙 数，最小为15， 服装的单价为y元，丙服装的单价为z元，根据题 再求被3除余2，同时能被2,5都整除的数，最 意得3x+2=350,D0+②得4红+4y+ 小为20 lx+2y+3z=370,② 最后求被5除余3，同时能被2,3都整除的数， 4z=720,所以x+y+z=180 最小为18. 即购买甲、乙、丙服装各一件共需180元， .数15+20+18=53是“魅力数”. ☆ 问题解决策略：逐步确定 2,3,5的最小公倍数为30， ∴.53-30=23也是“魅力数”， 预习检测 53+30=83也是“魅力数”， 1.752.648 故不大于100的所有的“魅力数”有23,53,83， 共三个数， 举三反写 解：设绵羊毛的质量为xg,腈纶的质量为yg, 第六章 数据的分析 11.2. 1平均数 2-2 83.8【解析】小聪总评成绩是 预习检测 90×3+80×3+82×4=83.8(分). 3+3+4 1.D2.53.8744.C 变式训练 举一反写 解：(1)甲的成绩为93+94+89=92（分）， 3 1-1C【解析】因为一组数据3,4,5,3,4 乙的成绩为88+90+95=91（分）. 中，3和4的出现次数最多，所以众数为3和4. 3 2-111.2【解析】因为x1,x2,3,…,x1o的 因为91<92，所以甲将获胜 平均数是12，x11,x12,x13,…,x50的平均数是11， (2)甲的成绩为3×1+94×4+89×5=91.4（分）， 所以西，西，，的平均数是2×10+40×山」 1+4+5 50 20☆ 问题解决策略：逐步确定 见 课前·预习笔记 领井解 预 习 !1.会分析问题满足的每个条件. 目 !2.会用“逐步确定”策略解决问题的一般过程.重点© 标 第步 明确考情 1.考频：5年2考 2.分值：7~8分 3.题型：解答题 佛已步梳理知识 采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：根据题意找出问题的解需要满足的各个条 件；按照某个顺序，逐步满足这些条件，最终确定问题的解。 第三出预习检测 1.有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在 预 树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们 习 任 总数的？；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述， 务 有 只鸽子在树上， 只鸽子在树下. 2.算盘是我国优秀文化遗产.它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为 上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1.如图，恒恒在百位拨了一颗上珠和一 颗下珠，然后对荣荣说：“我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个 位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36.”则这个三位数是 上珠 百十个 位位位 88888888T888 横架 月目月目 下珠 第五章二元一次方程组 161 课堂·听课笔记 新知解读 知识点)》逐步确定 举一反三》参考答案见答案册P20 1.很多问题的解需要同时满足多个条件，这时，我们可以按照某 杨老师在促销期间买了一件毛 种顺序逐步满足这些条件，最终确定问题的答案， 衣，通过研究缝在衣服内部标 签上的内容，得到了以下结论： 2.采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：根据题意找出问 ①毛衣的总质量为200g: 题的解需要满足的各个条件；按照某个顺序，逐步满足这些条 ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、 件，最终确定问题的解 锦纶、聚酯纤维； 例今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之 ③绵羊毛和腈纶的含量占 余二，问物几何？（选自《孙子算经》)你知道物品最少有多少 20%,锦纶的含量是绵羊毛含 量的5倍，聚酯纤维的含量比 个吗？ 腈纶含量的2倍少1g 【答案】解：(1)找出物品的个数应同时满足的条件.物品的个数 请你求出绵羊毛和腈纶的 为正整数，需要符合三个条件：①除以3余2，②除以5余3，③除 质量 以7余2. (2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数.符合条件①的正 整数有： 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,…(A) 在(A)中，符合条件②的正整数有： 8,23,38,…(B) 在(B)中，符合条件③的正整数有：23，… 因此，同时满足三个条件的最小正整数是23.所以，物品最少有 23个 课本练习[教材P140随堂练习] 1.如图，在梯形ABCD中，AB=CD,AD=10,BC=30.梯形内有一 (答案 点P,使得△APB≌△DPC,SAAPD=SABPCO:试描述点P的位 1.点P位于梯形的垂直中线 置，并说明理由. 上，且点P到AD的距离是 螨形高度的是 2.这个数最小是9180. B 2.若四位数9a8b能被15整除，则这个数最小是多少？ 162随堂笔记8年级数学BS上册 3.大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数3.21盏. 时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三.你知道这些彩 4.略. 灯最少有多少盏吗？ 4.如图，已知线段a,b,h(h<b),用尺规作锐角三角形ABC,使 BC=a,AB=b,BC边上的高AD=h. 6 h 课后·提升笔记 题型训练 题型●》“逐步确定”策略的应用 变式训练●》参考答案见答案册P20 例如果一个自然数M能分解成p2+q,其中p与q都是两位 定义：一个自然数，若满足被2 数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方 除余1，被3除余2，被5除余 加数”，并把数M=p2+g的过程，称为“方加分解”，例如，236= 3,则称这个数是“魅力数” 122+92,12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以 (1)判断43是否是“魅力数”， 236是“方加数”. 并说明理由； (1)判断212是否是“方加数”，并说明理由； (2)求出不大于100的所有的 (2)把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M=p+q,并 “魅力数” 将p放在q的左边组成一个新的四位数N,若N能被7整除，且 N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M. 【答案】解：(1)212=112+91， .212是“方加数”. (2)设p的十位数是m,个位数是n, 则g的十位数是10-m,个位数是n, '.W的各位数字之和是m+n+10-m+n=10+2n. .N能被3整除， ∴.n=1或n=4或n=7. 当n=1时，N=1000m+100+100-10m+1=990m+201, N能被7整除， .m=3, .M=312+71=1032; 第五章二元一次方程组 163 当n=4时，N=1000m+400+100-10m+4=990m+504, N能被7整除， .m=7, .M=742+34=5510; 当n=7时，N=1000m+700+100-10m+7=990m+807, N能被7整除， ∴.m=4, .∴.M=472+67=2276 综上所述，满足条件的M有1032和5510和2276. 链接中考 考点●“逐步确定”策略的应用 典例2[成都中考]当m,n都是实数，且满足2m 题型 难度 分值 n=6时，我们称Q(m-1,n+1)为巧妙点. 解答题 ★★☆ 7~8分 (1)P(4,2) 巧妙点（填“是”或“不 是”)； 典例[陕西中考]研究表明，一定质量的气体， (2)若A(m-1,3)是巧妙点，请求出m的值和 在压强不变的条件下，气体体积y(L)与气体温 A点坐标； 度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不 变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热， (3)已知关于，y的方程组+y=4,当a为 [x-y=2a, 测得的部分数据如下表： 何值时，以方程组的解为坐标的点B(x,y)是巧 气体温度x(℃) … 25 30 35 妙点？ 气体体积y(L) … 596 606 616 【答案】(1).m=4+1=5,n=2-1=1, .2m-n=2×5-1=9≠6， (1)求y与x的函数关系式； P(4,2)不是巧妙点 (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求 (2)解：A(m-1,3)是巧妙点， 气体体积达到700L时停止加热.求停止加热 .n+1=3, 时的气体温度， 解得n=2. 【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=x+b, 则596=25+6 .2m-n=6, k=2, 解得 l606=30k+b, b=546, m=6+n=6+2=4, 2-2 故y与x的函数关系式为y=2x+546. .m-1=3, (2)令y=700L, .A(3,3) 则2x+546=700,解得x=77. +y=4, (3)解： 答：停止加热时的气体温度为77℃ [x-y=2a, 164随堂笔记8年级数学BS上册 解得2+a, 即2(2+a+1)-(2-a-1)=6, ly=2-a. 解得a=了 点B(x,y)是巧妙点， .2(x+1)-(y-1)=6, 章末总结·体系构建 定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的 二元一 灰方程 次数都是1的方程 解 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组 未知数的值 二元一次方程 有无数个解 定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组 成的一组方程 二元一次 解 二元一 次方程组中各个方程的公共解 方程组 代入消元法 基本解法 转化为一元 加减消元法 一次方程 二元一次 实际应用 列方程组解应用题 审、找、设、列、解、验、答 方程组 方程的解与相应函数图象上的点的坐标一一对应 二元一次方程 与一次函数 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元 次方程组的解，反之亦然 定义 含有三个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是1 三元一次方程组 解 三元一次方程组中各个方程的公共解 代入消元法 基本解法 加减消元法 “三元”→“二元”→“一元” 根据题意找出问题的解需要满足的各个 问题解决策略：逐步确定 条件；按照某个顺序，逐步满足这些条 件，最终确定问题的解 第五章二元一次方程组 165