第五章 4.4 二元一次方程与一次函数的关系-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

4二元一次方程与一次函数 第1课时 二元一次方程与一次函数的关系 课前·预习笔记 预！1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题.重点© 2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观 标 3.体会二元一次方程与一次函数的关系。 第步明确考情 1.考频：5年3考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 1.二元一次方程与对应的一次函数的关系 任何一个二元一次方程都可化成一次函数的形式. 如： 二元一次方程 变形 次函数 ax+by+c=0(a≠0，b≠0) 8- 2.二元一次方程组与对应的一次函数的关系 二元一次方程组 a1x+by=c1'的解 变形 函数y=一 1 - 与y=- 2图象的交点的坐标 预 Lazx+b2y=C2 任 第三步预习检测 1.若以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y= 23 b-1上，则常数b的值为( A.0 B.-1 C.2 D.1 2.以二元一次方程2x+y=-1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是( 3.若直线y=3x-4与直线y=-4x+3相交于点P,则点P位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,根据图象 可得，关于x,y的二元一次方程组二+b,的解是 y=kx y=ax+b 第五章二元一次方程组 147 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1》>二元一次方程与一次函数的关系 举一反三》参考答案见答案册P18 1.二元一次方程与相应一次函数的关系： 二元一次方程ax+by+c=0 相互转化， (a≠0，b≠0) 次函数=号台 无数个 以解为坐标的点 图象 组成的图象 解 条直线 直线上点的坐标是 相应方程的解 二元一次 y↑y=2x+1 次函数相互 元一次方程 5 432 2,5) =2x+1转化 y-2x=1 示 方程与一 图象上有无 无数 1,3) 例 次函数的 数个点 个点 1,3) x=1,「x=2, 1-1如图，两条直线的交点坐 关系 12 2,5), 对应 1y=3,1y=5, 标(-2,3)可以看作两个二元 一次方程的公共解，其中一个 2.二元一次方程与一次函数的区别与联系： 方程是x+y=1,则另一个方程 二元一次方程 一次函数 是() x,y的含义 x,y均为未知数 x,y均为变量 只能用一个等式表示 可用一个等式、表格或图象 区 表示方式 x,y的关系 表示x,y的关系 别 从“数”的角度 有无数个解 有无数对x,y的值 从“形”的角度 图象（即直线）上有无数个点 A.2x-y=1 B.2x+y=-1 C.2x+y=1 D.3x-y=1 般地，以一个二元一次方程的解为坐标的，点组成 联系 1-2若以关于x,y的二元一次 的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线 方程2x-y+b=0的解为坐标的 例下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一 点(x,y)都在直线y=2x-b+2 次方程2x-3y=6的解的是( 上，则常数b的值为() A.-1B.0C.1D.2 Y+ 3 43-2-10123456元 -43-2-10123456文 2 _ 148随堂笔记8年级数学BS上册 2头 金0123元 -4-3-2-10123456x 3 C D 2 【解析】因为2x-3y=6,所以y=3x-2,所以当x=0时，y= -2;当y=0时，*=3.所以一次函数y=子x-2的图象与y轴交于 点(0，-2)，与x轴交于点(3,0)，即可得出选项D符合要求， 【答案】D 知识点2》二元一次方程组与一次函数的关系 举一反三》参考答案见答案册P18 二元一次方程组与对应的一次函数的关系： 2-1如图，直线l1:y=x+3与 二元一次方程组 转化 两个一次函数 对应 两条直线 12:y=kx+b相交于点P(1, m）,则方程组三+3：的解 ly=kx+b 解 函数值相等时的自 两条直线的 是( 变量值及函数值 交点的坐标 例21如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=-3x+ P 6相交于点4，则关于x,y的二元一次方程组=2，+b, 的解 Ly=-3x+6 是() 01 A/压2， ly=0 B.x=1, y=3 「x=4, A. cl. D./t=3, y=1 B.x=1, ly=4 ly=1 /01 C.∫x=1, D.x=3, ly=3 ly=1 【解析】由图象可得直线的交点坐标是(1,3)，所以方程组 [y=2x+b, Ly=-3x+6 的解为 x=1, y=3. 【答案】B 课本练习[教材P129随堂练] 1.已知一次函数y=3x-1与y= 3 答案 2x图象的交点的坐标是(1,2)， 6 y=-x+4 =-2x+1 1. x=1, 求方程组 3x-y=1,的解。 ly=2. 3 y=2x 2 2可看作=2x+1,的解 2.图中两条直线l1,2交点的坐标 ly=-x+4 可以看作哪个方程组的解？ 3-2- 123本56元 3.没有.直线y=2-x与y= 3.存在一组数同时适合方程x+ 5-x平行. y=2和x+y=5吗？直线y= -x+2与y=-x+5之间有什么关系？ 第五章二元一次方程组 149 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>根据二元一次方程组与对应的一次函数的关系求字母的值>变式训练>参考答案见答案册P18 1-1已知直线y=mx-1与直 迪关于y的方程组+的解为劣点 2x+3y=3k+1 线y=5-nx相交于点(2,3)，则 P(a,b)总在直线y=x上方，那么k的取值范围是() A.k>1 B.k>-1 C.k<1 D.<-1 关于黄方系侧的 3 3x+2y=k-1,可得 X=- 5k-1, 解是() 【解析】解方程组 2x+3y=3k+1 1 因为点P A.=2. B.x=3, 36+1. y=3 ly=2 C.x=-3, D.=-2, (a,6)总在直线y=x上方，所以6>a,所以+1>-1， ly=-2 ly=-3 解得k>-1. 【答案】B 题型2>》用图象法求解方程组 变式训练>参考答案见答案册P18 例2如图，直线l1:y=x+2与直线l2:y=kx+b相交于点P(m, 2-1在平面直角坐标系x0y 4),则方程 y=x+2,的解是( 中，一次函数y=x和y=-x+3 的图象如图所示，则二元一次方 Ly=hx+b 「x=2, Bx=0, 程组化加+3的解是( A. y=0 ly=4 C.4, D. x=2, ly=2 y=4 y=hx 1-- 【解析】将(m,4)代入y=x+2得4=m+2,解得m=2,所以点P 10 -x+3 x=2, 的坐标为(2,4)，所以方程组的解为 「x=1, y=4. A. B.x=-2, ly=2 y=1 【答案】D C. 「x=1, D.x=2 y=-2 ly=1 链接中考 考点◆二元一次方程组与相应的一次 方程组-：=6'的解是 函数的关系 Ly-kzx=b2 题型 难度 分值 【解析】因为一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 的图象的交点的坐标为(2,1)，所以关于x,y的 典例[贵阳中考]在平面直 y个 方程组 -=的解是[=2， y=kx+6 Ly-kzx=b2 y=1. 角坐标系内，一次函数y= k1x+b1与y=k2x+b2的图 【答案)压=2， Ly=1 象如图所示，则关于x,y的 1/2 y=k x+6 150随堂笔记8年级数学BS上册2-1解：(1)设1辆小货车一次满载运输x 件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资， 依题意 2r+3)800解得=300. 3x+4y=2500,” y=400. 答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆 大货车一次满载运输400件物资. (2)设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意得300a+400b=3100, 所以a=31-46 3 又因为a,b均为非负整数， 所以8或68 所以共有3种租车方案。 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车： 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车. 4二元一次方程与一次函数 第1课时二元一次方程与 一次函数的关系 预习检测 1.C2.D 3.D【解析】联立 y=3x-4,，解 Ly=-4x+3, 得=1， ly=-1, 所以点P的坐标为(1，-1)，所以点P位于第 四象限， 4 举一反三 1-1B 1-2C 2-1B【解析】因为直线y=x+3经过点P(1, m),所以m=1+3=4,所以P(1,4),所以方程组 亿6的解是行4 变式训练 1-1A 2-1D【解析】把y=1代入y=-x+3得 x=2,所以直线y=x和直线y=-x+3的交 点的坐标为(2,1)，所以二元一次方程组 亿g的 「x=2, ly=1. 第2课时 用二元一次方程组 确定一次函数表达式 预习检测， 3 「x=1, 1.D2.B3. 4. 5.2 ly=2 举一反写， 1-1解：(1)当两函数图象相交时，两家旅 行社收费相同，由题中图象知参加老师的人数 为30. (2)由题中图象知，当有30人以下参加时， y1<y2,所以选择甲旅行社合算 (3)由题中图象知，当有50人参加时，y1>y2, 所以选择乙旅行社合算. 2-1解：(1)设直线l1对应的函数表达式为 y=kx+b(k≠0). 将x=-2,y=a代入y=2x-1,得a=-5. 由直线11过点(-2，-5)和(0,0)，得 -2k+6=-5,解得 5 2’ b=0, b=0, 5 所以直线l,对应的函数表达式为y= (2)因为直线l1经过原点，且与直线2：y=2x- 1交于点(-2，a), 所以 =-2,可看成是二元一次方程组 ly=a y=2x-1, 5的解 y=2* y个 (3)如图所示，P点坐标为 -2 (-2,-5),则点P到A0 的距离为2. 将x=0代入y=2x-1得 y=-1,则点A的坐标为 (0,-1), 81