第三章 2.3 建立平面直角坐标-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第3课时 建立平面直角坐标系 课前·预习笔记 预 能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置.重点© 目 标 第金明确考情 1.考频：5年2考 2.分值：3分 !3.题型：选择题、填空题 第步梳理知识 建立平面直角坐标系的基本思路 (1)选原点：根据条件，选择合适的点作为原点 (2)作两轴：过原点作两条互相垂直的数轴分别作为x轴和y轴. (3)定坐标系：确定x轴和y轴正方向和单位长度. 第三步预习检测 1.嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子.如图，棋盘中心的圆形棋子的位置 预 用(-1,1)表示，右下角的圆形棋子的位置用(0,0)表示，若淇淇将第4枚方形棋子放入 习 棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置可能是( 任 A.(-1,2) B.(-1,-1) 务 C.(0,2) D.(1,3) 金沙 赤 大渡河 遵义 泸定桥 鸟江 爬香山 湘江 过草地 瑞金包座」 大会师 循苹口 值罗镇 第1题图 第2题图 2,如图是某环湖公园的路线示意图，分别以正东，正北方向作为x轴，y轴的正方向建立 平面直角坐标系，若乌江所在位置用坐标(-3,5)表示，泸定桥所在位置用坐标(3,5) 表示，则平面直角坐标系原点所在的位置是( A.湘江 B.瑞金 C.包座 D.遵义 74随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记 新知解读 平面直角坐标系建立的位置不同，所得点的坐标也不同 知识点●>》 建立平面直角坐标系 举一反三》参考答案见答案册P10 1.建立平面直角坐标系的基本思路 1-1如图，点A,B,C都在方格 一般用点0表示 纸的格点上，若点A的坐标为 选原点 根据条件，选择合适的点作为原点 (0,2),点B的坐标为(2,0)， 则点C的坐标是( 作两轴 过原点作两条互相垂直的数轴分别作为x轴和y轴 定坐标系 确定x轴和y轴的正方向和单位长度 记得标上对应的x,y 2.建立平面直角坐标系的基本方法 (1)使图形中尽量多的点在坐标轴上； A.(2,2) B.(1,2) C.(1,1) D.(2,1) (2)以某条特殊线段所在的直线为x轴或y轴，如三角形的 高、中线等； (3)以对称图形的对称轴为x轴或y轴； (4)以某个已知点为原点，使其坐标为(0,0) 例[教材P63例题]如图1，长方形ABCD的长与宽分别是6， 2-1如图，在长方形ABCD 4,建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标. 中，已知AB=6,AD=4,在长方 形ABCD外画△ABE,使AE= B BE=5,请建立适当的平面直 角坐标系，并写出各顶点的 坐标. 6 6 图1 图2 【答案】解：如图2，以点C为坐标原点，分别以CD,CB所在直线 为x轴y轴，建立平面直角坐标系.此时点C的坐标是(0,0). 由CD=6,CB=4,可得D,B,A的坐标分别为D(6,0),B(0,4), A(6,4). 例2[教材P63例题]如图1，对于边长为4的等边三角形ABC, 建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标 B202C元 图1 图2 【答案】解：如图2，以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线 为y轴建立平面直角坐标系. 由等边三角形的性质可知，△AB0是直角三角形， 所以A0=√AB2-B02=√42-22=23 所以顶点A,B,C的坐标分别为A(0,2√3)，B(-2,0),C(2,0) 第三章位置与坐标 75 课本练习[教材P64随童练习] 1.如图，建立适当的平面直角坐标系，写出这个四角星的8个 答案 “顶点”的坐标 1.答案不唯一.可以以四角星 的中心为原点，按网格线建 立平面直角坐标系，各顶点 的坐标分别为A(6,0), B(2,2),C(0,6),D(-2,2), E(-6,0),F(-2,-2),G(0, -6),H(2,-2). 课后·提升笔记 题型训练， 题型1●>》 建立适当的坐标系确定点的位置 >变式训练》参考答案见答案册P10 例图1是某学校的平面示意图（网格中每个小正方形的边长 1-1如图，在直角梯形ABCD 为1)，试建立平面直角坐标系，用坐标表示各建筑物的位置， 中，AD∥BC,AD=4,BC=6, y AB =3. 图书馆 北 图书馆 北 (1)请建立恰当的平面直角坐 餐行 餐厅 教学楼 教学楼 标系，并写出四个顶点的坐标 体育馆 体育馆 0 (2)若要使点A的坐标为 校门旗狂 校门旗杆 (-3,3),该如何建立平面直角 学生公寓 学生公寓 坐标系？ 实验楼 实验楼 --- 图1 图2 【答案】解：答案不唯一如图2，以旗杆所在位置为坐标原点，以 网格线中的水平线为x轴，铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，各 建筑物的位置分别为旗杆(0,0)，校门(-4,0)，图书馆(-4,4)， 教学楼(-2,3)，实验楼(-1，-3)，餐厅(1,4)，体育馆(2,2)， 学生公寓(3，-3). 76随堂笔记8年级数学BS上册 题型2●》根据几何图形的性质求点的坐标 变式训练》参考答案见答案册P10 例2如图，边长为5的正方形ABCD在平面直角坐标系中，已 2-1如图，正方形ABCD的边 知点A的坐标为(5,4)，点B在x轴上，求点C的坐标 长为4，点A的坐标为(-3,1)， D AB平行于x轴，则点C的坐标 为 【答案】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴 于点F. 因为AE1x轴，点A的坐标为(5,4)， 所以BE=√AB2-AE2=3, 所以点B的坐标为(2,0). 因为四边形ABCD是正方形， E 所以∠ABC=90°，AB=BC, 所以∠ABE+∠CBF=90°. 因为CF⊥x轴，所以∠CBF+∠BCF=90°， 所以∠ABE=∠BCF. ∠AEB=∠BFC=90°， 在△ABE和△BCF中 ∠ABE=∠BCF, AB=BC, 所以△ABE≌△BCF, 所以BF=AE=4,CF=BE=3,所以OF=BF-OB=2, 所以点C的坐标为(-2,3). 题型3●>平面直角坐标系中的面积计算 >变式训练》参考答案见答案册PI1 例3如图，A,B两点的坐标分别为(a,b),(b,1),且a,b满足 3-1如图，在平面直角坐标系 关系式√a-1+Ib2-91=0,连接AB,0A,0B. 中，△ABC三个顶点的坐标分 (1)求a,b的值； 别为A(-2,-1),B(2,2), (2)求△OAB的面积； C(3,-2),求△ABC的面积. (3)若有一点C(b,m),使得以点0，A,B,C为顶点的四边形的 面积为△OAB的2倍，求点C的坐标. 【答案】解：(1)由√a-1+1b2-91=0,得a=1,b=3或-3. 因为点B在第一象限， 所以b>0, 所以a=1,b=3. 第三章位置与坐标 77 (2)由(1)得A(1,3),B(3,1), 所以S6s=3x3-7×1x3-2×2x2-7×1×3=4 (3)因为点C的横坐标为b,所以BC∥y轴，则点C的坐标为(3，m) 如图1，当点C在点B上方时，过点A作AD LBC于点D. 因为S四边形04CB=2 SAOAB, 所以S AABC=S△OaB, 则2×(m-1)×2=4,解得m=5. 如图2，当点C在B下方时，过点O作OD⊥BC于点D. 因为S四边形OABC=2S△0AB, 所以SAORC=S△OAB, 则2×(1-m）)×3=4,解得m=- 3 所以点C的坐标为(3,5)或(3，-子)。 2 D 0 图1 图2 链接中考 考点◆在直角坐标系中确定点的坐标 典例2[山西中考]图1是一片枫叶标本，其形 状呈“掌状五裂型”，叶片具有少数突出的齿， 题型 难度 分值 将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 A,B两点的坐标分别为(-2,2)，(-3,0)，则 典例1[衢州中考]在如图1的方格纸上建立适 叶杆“底部”点C的坐标为 当的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0,1)，点 B的坐标为(2,2)，则点C的坐标为 图1 图1 图2 图2 【解析】如图1，由点A的坐标为(0,1)，点B的 【解析】因为A,B两点的坐标分别为(-2,2)， 坐标为(2,2)，可确定原点位置和平面直角坐标 (-3,0),所以建立如图2所示的平面直角坐标 系如图2，可得C(1,3) 系，所以点C的坐标为(2，-3). 【答案】(1,3) 【答案】(2，-3) 78随堂笔记8年级数学BS上册1-3B【解析】因为点A(-a,b)在第一象 限，所以-a>0,b>0,所以a<0,所以点B(a,b) 所在的象限是第二象限 2-1D【解析】因为x2+2>0,-3<0,所 以点M(x2+2,-3)在第四象限. 变式训练 1-1解：(1)因为点M到x轴的距离为1， 所以12m+31=1,所以2m+3=1或2m+3= -1,解得m=-1或m=-2. 当m=-1时，m-1=-2,2m+3=1; 当m=-2时，m-1=-3,2m+3=-1. 所以点M的坐标是(-2,1)或(-3，-1) (2)因为点M到y轴的距离为2，所以1m-11三 2,所以m-1=2或m-1=-2,解得m=3或 m=-1. 当m=3时，m-1=2,2m+3=9; 当m=-1时，m-1=-2,2m+3=1.所以点 M的坐标是(2,9)或(-2,1). 2-1C【解析】由点A(1,1),B(-1,1), C(-1,-2),D(1,-2),可知四边形ABCD是 长方形，所以AB=CD=2,CB=AD=3,所以机 器人从点A出发沿着A-B-C-D-A回到点 A所走路程是2+2+3+3=10，因为2024÷ 10=202…4,所以第2024s时机器人所在位 置的点的坐标为(-1，-1). 第3课时建立平面直角坐标系 预习检测 1.A2.B 举三反写 1-1D【解析】如图所示： 0 B: 点C的坐标为(2,1). 2-1解：答案不唯一.如图，以边AB所在直 线为x轴，以边AB的中垂线为y轴建立直角 坐标系.因为AB=6,AE=5, 所以0E=VE-0F=AE-(24 =4, 所以A(-3,0),B(3,0),C(3,-4),D(-3, -4),E(0,4) B 变式训练 1-1解：(1)答案不唯一，如建立如图所示 的平面直角坐标系， A D ⊙ C无 则B(0,0),A(0,3),C(6,0),D(4,3) (2)以BC所在的直线为x轴，在AD上截取 AE=3,过点E作E0Lx轴于点O,以点0为 原点，向上为y轴正方向，向右为x轴正方向， 建立如图所示的平面直角坐标系。 y 2-1(1,5)【解析】因为正方形ABCD的边 长为4，点A的坐标为(-3,1)，AB平行于x 轴，所以点B的横坐标为-3+4=1，以点B 的坐标为(1,1)，所以点C的横坐标为1，纵坐 标为1+4=5，所以点C的坐标为(1,5). 3-1解：如图，过点A 作y轴的平行线DE,过点 E--- B作x轴的平行线EF交 27 DE于点E,过点C作x轴 D 的平行线CD交DE于点 D,作y轴的平行线CF交EB延长线于点F. 则SAABC=S四边形DBFC-S△ACD-S△AB-S△cBP =5x4-7×5x1-2×3x4-7×1x4 3 轴对称与坐标变化 预习检测 1.A【解析】因为两点的横坐标相等，纵坐标 互为相反数，所以两点关于x轴对称 2.D【解析】因为m2+4m+5=(m+2)2+1> 0,点P(-3,m+4m+5)关于原点的对称点为 (3,-(m2+4m+5)),则-(m2+4m+5)<0, 故点P(-3,m2+4m+5)关于原点的对称点在 第四象限. 3.D【解析】因为E(2m,-n)和F(3-n,-m+ 1)关于y轴对称，所以2m+(3-n)=0,-n=- m+1,解得m=-4,n=-5,所以m-n=-4- (-5)=1. 举一反三 1-1A【解析】因为点P(-2,1)与点Q (a,b)关于直线y=-1对称，所以a=-2, 1+b=-1,解得b=-3,所以点Q的坐标为 2 (-2,-3). 2-1B【解析】由点关于y轴对称，横坐标 相反，纵坐标不变的性质，可得点P(2,-3)关 于y轴对称的点的坐标为(-2，-3). 2-2C【解析】经过正五角星角的顶点和 中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对 称轴. 变式训练 1-1解：(1)如 图所示. 因为点C与点C -5-4-3-210 关于x轴对称， 所以C1(2,1). (2)如图所示： 4 3 1 54-3-2-10 根据图形可知点P的坐标为(2,0) 2-1(-1,-√3)【解析】因为正三角形 AOB的一个顶点O在原点，点B的坐标为 (-2,0),所以点A的坐标为(-1，√3)，所以 点A关于x轴对称的点的坐标为(-1，-√3). 3-1D【解析】如图所示，原点可能是点D. D B 4-1 解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(2,4) (2)由图可知， SAABC =3 x3-1 X 2×3-2 ×3×1- B 1 -5-4-3-2-191.2.3.4.5x 1 2 2 ×2×1 3 =9-3-3 12 7 5 2 1