第二章 1 认识实数-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

1认识实数 课前·预习笔记 1,了解实数的概念和意义，能够按要求对实数进行分类 预 2.知道实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点来表示任意实数，并且能比较两个 习 实数的大小重点© 目 3.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，了解有理数的运算法则在实数范围内仍 标 然适用. 第步明确考情 11考频：5年3考 2.分值：3~5分 3.题型：选择题、填空题、解答题 第二步梳理知识 1.无理数的概念：无限不循环小数称为无理数，如圆周率π=3.14159265… 2.实数：有理数和无理数统称实数 一可以用有限小裁或无限循环小数表示 3.实数的分类 (1)按定义分 (2)按性质分 正整数 正整数 预 整数0 正有理数 正实数 正分数 习 有理数 负整数 正无理数 任 正分数]有限小数或无 分数 实数0 实数 负分数限循环小数 负整数 负有理数{ 正无理数 负实数 负分数 无理数 无限不循环小数 负无理数 负无理数 第三出预习检测 1.下列五个数-2，m,-万，0.101012，中，无理数有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.把下列各数填在相应的括号内， -0.78,-0,2号，-3.141526,20%，-34,2，-1,3.10101001…（每两个1之 22 间0的个数逐次加1)： 正数集合：{ …};负数集合：{ …}; 整数集合：{ …};无理数集合：{ …} 第二章 实数 29 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1>无理数的概念 举一反三》参考答案见答案册P5 1.无理数的概念：无限不循环小数称为无理数，如圆周率π= 3.14159265…. 特征：(1)小数：(2)位裁无限：(3)不循环 思考：有理数和无理数的区别 有理数：有限小数、无限循环小数 能化成分裁的形式 无理数：无限不循环小数。 不能化成分数的形式 2.常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356… 1.1010010001…(相邻两个 1-1在实数0,8，m-3, 有规律但不循环的小数 1之间0的个数逐次加1) 2.020020002…中，无理数有 2m,-,号 个 某些含T的数 开方开不尽的数（方根下节学习） √2 例1[教材P27例题]下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14,-号，0.570.1010010001-（相邻两个1之间0的个 数逐次加2). 【答案】解：有理数有3.14，-号，0.57： 无理数有：0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐 次加2) 知识点2》实数的概念及分类 举一反三》参考答案见答案册P5 1.定义：有理数和无理数统称实数 2-1把下列各数的序号填在 2.实数的分类 在实数范围内，一个数不是有理裁 ”就是无理裁 横线上 (1)按定义分 正整数 ①-，②0，③，④-5， 整数{0 ⑤/-16，⑥4.131 有理数 负整数 整数： 分数 正分数1 实数 1负分数」 有限小数或无限循环小数 分数： 无理数{ 正无理数 无理数： 负无理数 }无限不循环小数 30随堂笔记8年级数学BS上册 (2)按性质分 2-2把下列各数分别填入相 正整数 应的集合中： 正有理数{ 正实数 正分数 -55,73.14,0, 正无理数 -1.2323323332…(每相邻两 实数0 个2之间依次多一个3)，25. 负整数 有理数：{ …}; 负有理数 无理数：{ 负分数 …}; 负实数 正实数：{ …}; 负无理数 负实数： …}. 注意事项：(1)0既不是正实数，也不是负实数 (2)对实裁进行分类时，某些裁应先进行计算或化简，然后根据最后 结果进行分类，不能看到带根号的数就认为是无理数， 例2把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1,2-3：③0，④m;50.25,⑥-2. (1)整数集合{ …}; (2)分数集合{ …}; (3)无理数集合 … 【解析】(1)①1，③0是整数，整数集合{①，③…}； (2)@-,⑤0.25是分数，分数集合1②，⑤…； (3)④π，⑥-√2是无理数，无理数集合{④，⑥…}. 【答案】(1)①③(2)②⑤(3)④⑥ 知识点3》实数与数轴上点的关系 举一反三●》参考答案见答案册P5 1.实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一一对应的， 3-1实数a,b,c在数轴上对应 的点如图所示，则a,a+c,a-b, 即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上 在数轴上表示无理数时，一般只 a-c的大小关系是 的每一个点都表示一个实数. 能通过估算标出其近似位置 2.实数的大小比较 (1)对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比 左边的点表示的实数大 (2)正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反 而小 例3实数α在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确 的是( ) a-10 A.-1<a<-a<1 B.-1<-a<1<a C.a<-1<-a<1 D.a<-1<1<-a 第二章实数 31 【解析】如图，标注1和-a对应点的位置. a-101-a→ 由数轴可得a<-1<1<-a. 【答案】D 知识点4>实数的有关概念 举一反三》参考答案见答案册P5 1.相反数：数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数. 、一若a与b互为相反裁，则a+b=0 2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值 [a,a>0, 是它的相反数；0的绝对值是0.即lal=0,a=0, -a,a<0. ©拓展提升 实数的常用性质 4-1填表： (1)若a与b互为倒数，则ab=1. 实数 -8 20.1 2 3 (2)任何实数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0；互为相反数 相反数 的两个数的绝对值相等，即la|=I-al. 绝对值 例464的倒数是 ,1m-111= ,√5-3的相 倒数 反数是 【解析】因为64=4，所以64的倒数是子 1π-111=-（π-11）=11-m. √5-3的相反数是-（√5-3）=3-√5. 【答案】411-m3-5 知识点5》实数的运算 举一反三》参考答案见答案册P5 1.实数运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级 运算按照从左到右的顺序进行，有括号的要先算括号里面的. 实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同，有理数范围内的加 法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数 人，乘法运算律不造用于除法运算，将除法运算 转化为乘法运算后才可以使用乘法运算律 32随堂笔记8年级数学BS上册 2.实数的近似计算：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出 结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有 限小数去代替无理数，再进行计算. 例5计算： 5-1计算： (1)V3+8-89 (1)(-2)2--8+(3)2; 3√64 (2)√16+12-31-27. 2i6-7++- 【答案1解：(1)v3+海-层 =3+2-号×君 =3+2-1 =4; 2)6-河+g+- 4-3+-1 -9 课本练习[教材26随堂练习] 1.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h,h可能是有理 (答案 数吗？ 1.h不可能是有理数. h [教材P28随堂练习] 1有理数04583,37，-号，8 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 无理数：-π 2.-3.14>-m. 0.4583,3.7,-m,-7,18. 3.a的相反数为-a; 2.比较-3.14与-π的大小. a的绝对值为|al; 3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若a≠0，则它 若a≠0，则它的倒数为 e 的倒数如何表示？ 第二章实数 33 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》图形中的无理数 变式训练》>参考答案见答案册P5 例1(1)如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可 1-1如图1和图2，在下面 以把它剪开，拼成一个正方形.这个正方形的面积为 ,边 3×3的正方形网格中，每个小 长为 正方形的边长都为1，每个小 (2)如图2，你能把由十个边长为1的正方形组成的图形纸剪 格的顶点叫作格点，在现有网 开，并拼成正方形吗？请仿照上题用虚线在图2中画出拼成的 格中，以格点为顶点画图 正方形，并求得它的边长为 ； (1)在图1中，画一个正方形 (3)请仿照上题，在图3中画出边长为√29的正方形 ABCD,使它的面积为5； 图1 图1 图2 图3 (2)在图2中，画一个直角三 【答案】解：(1)由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开 角形DEF,使它的三边长都是 后，重新拼成的正方形，正方形与原图形面积相同， 无理数且面积为2. 所以这个正方形的面积为5，边长为√5， 故答案为5，W5. (2)由√+32=√10，如图2所示， 由十个边长为1的正方形组成的图形纸， 所以这个正方形的面积为10，它的边长为√10， 图2 故答案为√10. (3)因为W2+52=√29， 所以如图3所示，正方形ABCD即为所求， D 图2 图3 34随堂笔记8年级数学BS上册 题型2●》实数的应用 变式训练)》参考答案见答案册P巧 卫已知4,6均为有理数，且满足等式5-5a=2b+号5-a, 2-1若有理数a,b满足√2a+ 则ab= b+3=a-b+72,则a=, 【解标】已知等式整理得5-3a=(2b-a)+子3，且a,6均为 b= 有理数， 所以2b-a=5,-a= 解特。=号6只故号 【答案】-13 链接中考 考点1无理数的概念 考点2●实数的运算 题型 难度 分值 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 解答题 ★★☆5分 典例[湖南中考]下列各数中，是无理数 典例3[西宁中考]计算：-14+11-√21- 的是( (π-3.14)° A B.T C.-1 D.0 【答案】解：原式=-1+(2-1)-1 =-1+√2-1-1 【解析】是分数，属于有理数，故A选项不符 =√2-3. 合题意；T是无限不循环小数是无理数，故B 考点3●实数与数轴上点的对应关系 选项符合题意；-1是整数，属于有理数，故 题型 难度 分值 C选项不符合题意；0是整数，属于有理数， 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 故D选项不符合题意， 【答案】B 典例4[湖南中考]数轴上到原点的距离小于5 层[荆州中考在实数-1,3,23.14中， 的点所表示的整数有 (写出一个即可) 【解析】设所求数为a,由于a在数轴上到原点 无理数是( ) 的距离小于5，则1al<√5，且为整数， A.-1 B.√3 2 D.3.14 则-5<a<5, 【解析】在实数-1,3,7,3.14中，无理数 因为4<5<√9，即2<5<3， 所以-3<a<3,且为整数， 是3 所以a可以是±2或±1或0. 【答案】B 【答案】2（答案不唯一） 第二章 实数 354-1解：如图，连接D AM.设AC交DE于 点F. 因为AC⊥BC,AC=4,A BC=3, 所以AB2=AC2+BC2=42+32=25,所以AB=5. 因为AD=CD,DE平分∠ADC交AC于点F, 所以直线DE是线段AC的垂直平分线， 即点A与点C关于DE对称，所以AF=CF. 因为M是DE上的动点， 所以MC=MA,所以MC+MB=MA+MB. 当点A,M,B三点在同一条直线上时，即点M与点 E重合时，MC+MB=MA+MB=EA+EB=AB, 此时MC+MB最小，即△MBC周长的值最小， 因为AB+BC=5+3=8, 所以△MBC周长的最小值为8. ☆问题解决策略：反思 预习检测， 1.C2.434 举一反三 1-1A【解析】如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 24cm,则4C=24×3= 12cm.又因为BC=5cm,所以AB2=AC2+ BC2=122+52=169,所以AB=13cm.故蚂蚁 爬行的最短距离为13cm. 第二章 1认识实数 预习检测 1.A 4 1-2解：如图所示 因为AC=2r·4=24(m),BC=10-3=7(m), 所以AB2=AC2+BC2=24+ 72=625, 所以AB=25m. 答：彩带最短需要25m. 2-1解：如图，展开后，E 四边形EACG是长方形，其 中AC=AB+BC=3+5= 8(cm),CG=BF=6cm.连 接AG,交BF于点K,则沿 着AK,KG的路线爬行最快 根据勾股定理，得AG2=AC2+CG2=82+62= 100,所以AG=10cm. 答：蜘蛛爬过的路程是10cm. 变式训练 1-1C【解析】其侧面展开图如图，作点C 关于AB的对称点F,连接DF,交AB于点E,连 接CE. 因为中间可供滑行的部分的截C --,F 面是半径为2.5m的半圆，所以 BC=mR=2.5π=7.5(m),AB= E CD=20 m, 所以CF=15m. 在Rt△CDF中，DF2=CF2+ CD2=152+202=625,所以DF=25m, 所以他滑行的最短距离约为25m. 2-12.6【解析】D 将木块展开，得到如 图所示的长方形， AB=2+0.4+0.4- Q.4=24(m),BC=1m在Rt△ABC中，AC2= AB+BC2=2.42+12=6.76,所以AC=2.6m,即 一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 2.6m 实数 2.解：号，20%，2,3.10101001-（每两个1 之间0的个数逐次加1)；-0.78，-T 29 -3.1415926,-34,-1:0,2,-1;-, 3.1010010001…(每两个1之间0的个数逐 次加1). 举一反写 1-13【解析】在实数0，，m-3, 2.020020002…中，无理数有√8，T-3, 2.020020002…,共3个 2-1解：根据题意，得-√9=-3， 所以整数：②④； 分数：③⑥； 无理数：①⑤. 故答案为②④；③⑥；①⑤ 2-2解：有理数：{-5,3.14,0，…}； 无理数：{5,7，-1.232332332…（每相邻 两个2之间依次多一个3)，25，…}； 正实数：5，，3.14,25，…； 负实数：{-5，-1.2323323332…（每相邻两 个2之间依次多一个3)，…. 3-1a-c>a-b>a>a+c【解析】由题图 中数轴，得c<b<0<a,Icl>a>Ibl, 所以a+c<0,a-b>a>0,a-c>a-b, 所以a-c>a-b>a>a+c. 4-1 解：填表如下： 实数 -8 -2 0.1 3 相反数 8 2 -0.1 绝对值 8 √2 0.1 T 3 倒数 1 3 8 K 2 10 2 5-1 解：(1)√(-2)2--8+(3)2 =2-（-2)+3 =7; (2)√16+12-51-3/27 =4+2-√3-3 =3-√3 5 变式训练 1-1解：(1)如图所示，正方形ABCD即 为所求 由图可知，正方形的边长为√22+12=√5， 所以正方形ABCD的面积为5. (2)如图所示，直角三角形DEF即为所求， 由勾股定理得DE2=2,EF2=22+22=8,DF2= 32+12=10, 所以DE2+EF2=DF2, 所以△DEK为直角三角形，所以S=号DE· ER=7×2x25=2 2-172【解析】因为2a+b+3=a- b+7V2,且a,b为有理数，所以√2a=7√2，b+ 3=a-b,所以a=7,b=2. 2平方根与立方根 第1课时平方根 预习检测， 1.B2.C3.C4.C 举三反三 1-1解：(1)64的算术平方根是√64=8； (2)√/(-4)2=4，所以√/(-4)2的算术平方 根是√4=2； (3)√81=9，所以√81的算术平方根是9=3；