第一章 ☆问题解决策略：反思&第一章 勾股定理 章末总结-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

☆ 问题解决策略：反思 课前 预习笔记 预 习 1.会对解决的问题进行反思 目 2.会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题， 标 第步明确考情 1.考频：5年2考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第步梳理知识 1.反思 解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对 问题以及解决问题的思路、策略与方法的理解，从而形成更加深刻的解决问题的经 验，提高解决问题的能力. 2. 确定几何体上的最短路线长 在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短.在立体 图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的连线段，应 将其表面展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。 第三步预习检测 1.如图，圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将 圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是() 预 习 任 A B C D 2.某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去 了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为}2m,其边缘AB=CD=24m,点E在 CD上，CE=4m.一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为 m. 第一章勾股定理 23 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1>》确定几何体上的最短路线长 举一反三》参考答案见答案册P4 1.理解问题 1-1如图，一只蚂蚁从点A出 在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点 发沿着圆柱体的侧面爬行到点 之间，线段最短.在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两 B,圆柱体的底面周长是24cm, 点间的最短路线不一定是两点间的连线段，应将其表面展成 圆柱体的高是5cm,则蚂蚁爬 平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。 行的最短距离为( 2.拟定计划 (1)确定圆柱侧面上的最短路线长 图示 转化方法 原理 思想方法 ①将圆柱的侧面展开为长方 形A4'CC;②确定相应点的两点之转化思 A.13 cm 位置；③连接AB,AC,构造 间，线段想：化曲 B.17cm Rt△ACB,Rt△ACC';④利用最短 为直 勾股定理求AB,AC c+9m D.5cm (2)确定长方体表面上的最短路线长 长方体 展开方式 右侧面向前展开 上底面向前展开 上底面向左展开 B 图示 AB的求法AB2=(a+b)2+c2AB2=(c+b)2+a2AB2=(a+c)2+b2 结论 比较各展开图中求得的AB的值，确定最短路径 原理 两点之间，线段最短 国拓展提升对于长方体，三种展开方式中，沿最长的棱展开得 到的路线是最短的.对于正方体，沿哪条棱展开都一样，所以 三种展开方式所得的两，点间的距离相等. 24随堂笔记8年级数学BS上册 3.实施计划 1-2有一圆柱形灯管，如图所 例1葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳 示，从A点环绕一圈彩带正好到 光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升 达B点，已知灯管的高为10m, 的路线总是沿最短路线一螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 且点B距离上底面的距离为 通过阅读以上信息，解决下列问题： 3m,灯管的底面圆的半径为 (1)如果树干的周长（即图1中圆柱的底面周长）为 4m,请问彩带最短需要多少 米？（π的值取3） 30cm,绕一圈升高（即圆柱的高）40cm,则它爬行一 圈的路程是多少？ (2)如果树干的周长为80cm,绕一圈爬行100cm,它 图1 爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ 【答案】解：(1)如图2，将圆柱的侧面展开后，该侧 面是矩形，AC=30cm,高是40cm,即BA=40cm, 所以BC2=AC2+AB2=302+402=2500, 所以BC=50cm, 所以它爬行一圈的路程是50cm. 图2 (2)因为底面圆的周长为80cm,即AC=80cm, 绕一圈爬行100cm,即BC=100cm. 所以AB2=BC2-AC2=1002-802=3600,所以AB=60cm, 所以树干高60×10=600(cm)=6m. 例2如图1所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm, 2-1如图，一只蜘蛛在长方体 木块的顶点A处.若AB= 高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块 3cm,BC=5cm,BF=6cm,则 面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外 这只蜘蛛沿着怎样的路线爬 的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.求蚂蚁爬行的最 行，能够最快地爬到这个长方 短路线。 体木块的顶点G处？此时蜘蛛 爬过的路程是多少厘米？ 图1 【答案】解：如图2所示，作点A关于BC的对称A 点A',连接A'G交BC于点Q,蚂蚁沿着A→Q→G 的路线爬行时路线最短. 在Rt△A'EG中，A'E=80cm,EG=60cm, A'G2=A'E2+EG2=802+602=10000, 所以A'G=100cm. 所以蚂蚁爬行的最短路线长为100cm. 图2 第一章勾股定理 25 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>》求圆柱形物体上的最短距离问题 变式训练>参考答案见答案册P4 例1我国古代有这样一个数学问题：枯木一根直立在地上，高 1-1如图是一个供滑板爱好者 2丈，周3尺，有葛藤条自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之 使用的U形池，该U形池可以看 长几何？题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是 作是一个长方体去掉一个“半圆 十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点B处 柱”而成，中间可供滑行的部分 缠绕而上，且缠绕五周后其末端恰好到达点A处，则问题中葛藤 的截面是半径为2.5m的半圆， 的最短长度是() 其边缘AB=CD=20m.小明要 在AB上选取一点E,能够使他从 点D滑到点E再滑到点C的滑 行距离最短，则他滑行的最短距 离约为( )m.(π取3) A.15尺 B.20尺 C.25尺 D.30尺 【解析】将圆柱的侧面展开，如图所示，BC= 20尺，AC=5×3=15尺.在Rt△ABC中，AB2= A.30 B.28C.25 D.22 AC2+BC2=152+202=625,所以AB=25尺，即 葛藤的最短长度是25尺. 【答案】c 题型2●》求长方体上的最短距离问题 变式训练》参考答案见答案册P4 例2如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm. 2-1在一个长为2m,宽为1m 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B, 的长方形草地上，堆放着一根正 求所用细线最短的长度， 三棱柱的木块（如图），它的侧 棱长平行且大于场地宽AD,木 块从正面看的形状图是边长为 6 cm 0.4m的正三角形，一只蚂蚁 从点A处到C处需要走的最短 I cm 路程是 m. A 3 cm 【答案】解：将长方体的侧面展开，如图所B D 示，AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B′= 6cm.在Rt△AA'B中，AB2=AA2+ A'B2=82+62=100,所以AB′= 10(cm). 答：所用细线最短长度是10cm. 26随堂笔记8年级数学BS上册 链接中考 考点◆利用勾股定理求最短路程 【解析】如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF 的对称点B',连接B'A,则B'A即为所求的最短 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★★★ 3分 距离，过点B'作B'D⊥AE,交AE的延长线于D. 根据题意可得AD=9-4+1=6(cm）,B'D=之× 典例[广安中考]如图，圆柱形玻 B 16=8(cm),所以B'A2=BD2+AD2=82+62= 璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm, 100,所以B'A=10cm. 在杯内壁离杯底4cm的点A处有 B 一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它 B 在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则 蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计) 【答案】10 章末总结·体系构建 内容一直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 “形“直角三角形 验证方法一测量、数格子、等面积法 「 判定性质 勾股定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+ 直角三角形 的逆定理 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形“裁" :三角形三边 的数量关系 的判定条件 勾股数一 满足a2+b2=c的三个正整数，称为勾股数 勾股 求直角三角形的边长一 在直角三角形中，已知两条边的长， 定理 可以根据勾股定理求出第三边的长 若a2+b2=c2(c为最大边长)，则三角形为直角三角形 判定三角形的形状 若a2+b>c2(c为最大边长)，则三角形为锐角三角形 勾股定理 若a2+b2<c2(c为最大边长)，则三角形为钝角三角形 的应用 求圆柱上两点之间的最短距离 立体图形上两点之间的最短距离问题 求长方体上两点之间的最短距离 -·方法·将立体图形展开后转化为平面图形 生活中的实际应用 反思过程，强化经验 问题解决策 比较方法，一题多解 略：反思 思考本质，促进运用 改变条件，研究更多 第一章勾股定理 274-1解：如图，连接D AM.设AC交DE于 点F. 因为AC⊥BC,AC=4,A BC=3, 所以AB2=AC2+BC2=42+32=25,所以AB=5. 因为AD=CD,DE平分∠ADC交AC于点F, 所以直线DE是线段AC的垂直平分线， 即点A与点C关于DE对称，所以AF=CF. 因为M是DE上的动点， 所以MC=MA,所以MC+MB=MA+MB. 当点A,M,B三点在同一条直线上时，即点M与点 E重合时，MC+MB=MA+MB=EA+EB=AB, 此时MC+MB最小，即△MBC周长的值最小， 因为AB+BC=5+3=8, 所以△MBC周长的最小值为8. ☆问题解决策略：反思 预习检测， 1.C2.434 举一反三 1-1A【解析】如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 24cm,则4C=24×3= 12cm.又因为BC=5cm,所以AB2=AC2+ BC2=122+52=169,所以AB=13cm.故蚂蚁 爬行的最短距离为13cm. 第二章 1认识实数 预习检测 1.A 4 1-2解：如图所示 因为AC=2r·4=24(m),BC=10-3=7(m), 所以AB2=AC2+BC2=24+ 72=625, 所以AB=25m. 答：彩带最短需要25m. 2-1解：如图，展开后，E 四边形EACG是长方形，其 中AC=AB+BC=3+5= 8(cm),CG=BF=6cm.连 接AG,交BF于点K,则沿 着AK,KG的路线爬行最快 根据勾股定理，得AG2=AC2+CG2=82+62= 100,所以AG=10cm. 答：蜘蛛爬过的路程是10cm. 变式训练 1-1C【解析】其侧面展开图如图，作点C 关于AB的对称点F,连接DF,交AB于点E,连 接CE. 因为中间可供滑行的部分的截C --,F 面是半径为2.5m的半圆，所以 BC=mR=2.5π=7.5(m),AB= E CD=20 m, 所以CF=15m. 在Rt△CDF中，DF2=CF2+ CD2=152+202=625,所以DF=25m, 所以他滑行的最短距离约为25m. 2-12.6【解析】D 将木块展开，得到如 图所示的长方形， AB=2+0.4+0.4- Q.4=24(m),BC=1m在Rt△ABC中，AC2= AB+BC2=2.42+12=6.76,所以AC=2.6m,即 一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 2.6m 实数 2.解：号，20%，2,3.10101001-（每两个1 之间0的个数逐次加1)；-0.78，-T 29 -3.1415926,-34,-1:0,2,-1;-,