第一章 勾股定理 问题解决策略 练习题 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦立体图形表面最短路径问题，通过选择、填空、解答题分层设计，从基础展开到综合探究，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一图形展开与勾股计算|选择题1-6直接展开圆柱/长方体，强化空间观念| |综合应用|组合图形与复杂情境|填空题11-13台阶/三棱柱情境，提升抽象能力| |拓展探究|实际问题建模与多解探究|解答题23含问题情境与变式，发展推理能力|

问题解决策略 一、选择题： 1.如图，一只蜗牛从圆柱的点出发，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了的中点处，若沿将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开图的示意图是(    ) A. B. C. D. 2.如图，圆柱的底面周长为，高为，点位于上底面边缘距点周长处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，则小虫爬行的最短路程为(    ) 第2-6题图 A. B. C. D. 3.如图，已知长方体的长，宽，高一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面去处觅食．如果它走过的路程最短，它可能经过(    ) A. 正面右侧面 B. 正面上底面 C. 左侧面上底面 D. 正面下底面 4.如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，有一点在线段上移动若，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知圆柱底面圆的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁从圆柱底部点沿侧面爬到顶部点的最短路程为(    ) A. B. C. D. 7.如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为，，，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为(    ) 第7-10题图 A. B. C. D. 8.一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长一只蚂蚁从点爬到点最短路程是(    ) A. B. C. D. 9.某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋圈升高，则龙头部分的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部处的点处有一只蚊子此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，地面上铺了一块长方形地毯，因长时间使用而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走          的路程． 第11-13题图 12.如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为          ． 13.在一个长为米，宽为米的长方形草地上，如图放着一根直三棱柱木块，它的侧棱平行且大于场地宽，从正面看是边长为米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是          米 14.如图，圆柱体玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为          杯壁厚度不计 15.如图，在底面周长约为米的圆柱形石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方从点到点，经过的中点，这根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为          米 第14-15题图 三、解答题： 16.已知，为正整数，且，求它们和的最小值．请你说明一种解决问题的方法 解决这个问题的过程中你积累了哪些经验 17.阅读思考：一个长方形的周长为，求这个长方形的面积的最大值． 夏明进行了如下的思考： 设长方形的一边长为，与其相邻的另一边长为，面积为，则． 当，时， 当，时， 当，时， 由此夏明进行了大胆推测： 当和相等即时，最大． 这是因为对于给定的周长，当长方形是正方形时，它的面积最大． 据此，请完成以下问题： 两个正数的和为，它们积的最大值是           一个直角三角形的两条直角边长之和为，求这个直角三角形的面积的最大值． 18.直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 19.如图，某高速公路的同一侧有，两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，且要在高速公路上的，之间建一个出口，使，两城镇到出口的距离之和最短，求最短距离． 20.如图，一只蚂蚁在长方体木块的顶点处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你根据图中所示数据计算出它从处爬到处的最短路线长为多少． 21.本小题分如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且一只蚂蚁从点出发，求沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程取 22.如图，在长方体的透明玻璃鱼缸中，，高，水深，在水面上紧贴内壁点处有一粒鱼饵，即点在水面线上，且一只小虫想从鱼缸外的点处沿壁爬进鱼缸内吃鱼饵，求小虫爬行的最短路程鱼缸厚度忽略不计． 23.【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为，，，和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图，若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ 同学们经过思考得到如下解题方法：如图为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为          ，就是最短路程． 【变式探究】如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为          ． 【拓展应用】如图，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？杯壁厚度不计 答案和解析 1. 2. 3. 4. 【解析】【分析】 本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．将立体图形展开，有三种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【解答】 解：如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，，， ； 如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，，， ， 将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得， 由于， 所以蚂蚁爬行的最短路程为． 故选：． 5. 6. 7. 【解析】【分析】 本题主要考查了最短路径问题和勾股定理的应用，把长方体沿  边剪开得到矩形  是解题的关键． 将长方体侧面展开，求出和，再利用勾股定理即可得出答案． 【解答】 解：如图所示，连接  ，则  即为所求的最短长度，  ，  在  中，  故选：． 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.  16.【小题】 答案不唯一解：枚举法． ，， ，， ，， ，，． 发现对称结果，不再继续，猜想为所求． 【小题】 敢于尝试，不知道结果的可以列举部分进行不完全归纳． 17.【小题】【小题】 18.解：如图，将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长度， 由题意得，，，  由勾股定理得，  同理可得，  答：彩条的最短长度是．  19.解：如图， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则此时由“两点之间线段最短”可知的长度最短．点为点关于直线的对称点，．过点作，交的延长线于点．，，，，，则在中，由勾股定理，得，，即故最短距离为．  20.解：如图，如图，如图，．，，它从处爬到处的最短路线长为．  21.  22.解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，小虫沿着的路线爬行时路程最短，最短路程为． 在中，，， ，． 答：小虫爬行的最短路程是． 23.【小题】【小题】 【小题】玻璃杯一半的侧面展开示意图如图， 作关于的对称点，作， 交延长线于点，连接，则的长为最短路程． 由题意得，，所以． 因为底面周长为，所以． 因为，所以在中，， 所以，所以蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程为．   【解析】 由勾股定理，得，所以故答案为．  如图，将圆柱侧面沿点所在高线展开，易知． 因为圆柱底面的周长为，圆柱高为， 所以，， 所以，所以，所以． 即这只蚂蚁爬行的最短路程为故答案为．  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $