第一章 2 一定是直角三角形吗-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

2-1D【解析】由题意得∠A'C0=90°， OA=OA'.设绳索OA的长为x尺，则OA'= x尺，0C=(x+1-5)尺.在Rt△A'C0中，由勾 股定理得102+(x+1-5)2=x2,解得x=14.5. 即绳索0A的长为14.5尺 3-1解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 所以在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2, 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2. 在Rt△MBD中，因为∠MDB=90°， 所以MB2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2 在Rt△MCD中，因为∠MDC=90°， 所以MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2 所以MB2-MC2=AB2-AD2+MD2-(AC2 AD2 +MD2)=AB2 AC2. 因为AB=9,AC=6,所以MB2-MC=92- 62=45. 2一定是直角三角形吗 预习检测， 1.D2.B3.D4.2165.直角 举一反目 1-1D【解析】A.因为b2=a2-c2,所以 b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形；B.因为 ∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所以 2∠A=180°，所以∠A=90°，所以△ABC为直 角三角形；C.因为a:b:c=3:4:5,所以设a= 3k,则b=4k,c=5k,所以a2+b2=c2,所以 △ABC为直角三角形；D.因为a:b:c=1:2:3, 所以设a=k,则b=2k,c=3k,因为a+b=k+ 2k=3k=c,所以不能组成三角形 1-2B【解析】如图所示，根据作图知， AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,所 以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角 形，且∠ACB=90°. 2-1C【解析】因为当m=3,n=1时，a= 分(m-)=2(32-1）=4,6=mm=3x1= 3,c=2(m2+n2)=2×(3+1)=5,所以选 项A不符合题意；因为当m=5,n=1时，a= 2(m2-n2)=3(52-13)=12,6=m=5× 1-5,c=7(m2+m)=7×(52+1)=13,所 以选项B不符合题意；因为当m=7,n=1时， a=2(m2-n)=2(72-1)=24,6=m= 7×1=7,c=2(m2+)=7×(7+1P)= 25,所以选项D不符合题意；因为没有符合条 件的m,n使a,b,c各为6,8,10，所以选项C符 合题意. 变式训练， 1-1A【解析】因为3(a-13)2+alb-121+ c2-10c+25=0,所以3(a-13)2+ab-121+ (c-5)2=0,所以a-13=0,a=0或b-12= 0,c-5=0.又因为a≠0，所以a=13,b=12, c=5,所以2+c2=a2,所以LA=90°，所以 △ABC是以a为斜边的直角三角形 2-1(1)证明：如图，连接AC. 因为在△ABC中，∠B=90°， 所以AC2=BA2+BC2=400+ 225=625. 因为DA2+CD2=242+ 72=625, 所以AC2=DA2+DC2 所以△ADC是直角三角形，即∠D是直角， 所以CD⊥AD. (2)解：S四边形ABCD=S△Ac+S△ADC -AB:BC+ZAD CD =2×20x15+2×24x7 1 =234, 3-1解：设AB=3xcm,BC=4xcm,AC= 5x cm. 因为△ABC的周长为36cm, 所以AB+BC+AC=36cm, 即3x+4x+5x=36, 所以x=3, 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 因为AB2+BC2=AC2」 所以△ABC是直角三角形 运动3s时，BP=AB-AP=9-3×1=6(cm), BQ=2×3=6(cm), 所以Sw=BP.B0=7x6x6=18(cm), 故运动3s时，△PBQ的面积为18cm2. 3勾股定理的应用 预习检测 1.D2.B 举三反写 1-1A【解析】由题意，得BC+AB=8m, AC=4m.因为∠C=90°，所以AB2=AC2+ BC2,所以(8-BC)2=BC2+42,所以BC=3m. 2-1解：连接CE,如图 因为D是BC的中点，DE⊥BC, 所以BD=CD,∠BDE=∠CDE=90°. 又因为DE=DE, 所以△BDE≌△CDE, 所以CE=BE. 因为BE2-EA2=AC2, B 所以CE2-EA2=AC2,即EA2+AC2=CE2, 所以△ACE是直角三角形，且∠A=90°. 变式训练 1-1C【解析】由折叠的性质可知，DF= DC=10,CE=EF.在Rt△DAF中，AF=DF2 AD2=102-62=64,所以AF=8.则BF=AB- AF=10-8=2.在Rt△BEF中，EF2=BE2+ BF,即CE2=(6-CE)2+2,解得CE= 3 1-2号或3【解析】当△cBB为直角三角 形时，有以下两种情况： ①当∠CB'E=90°时，如图1所示，连接AC.在 Rt△ABC中，AB=3,BC=4,所以AC2=42+ 32=25,则AC=5.因为∠B沿AE折叠，使点B 落在点B'处，所以∠AB'E=∠B=90°.又因为 ∠CB'E=90°，所以点A,B',C共线，即∠B沿 AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处， 则EB=EB',AB=AB'=3,所以CB′=5-3=2. 设BE=EB'=x,则CE=4-x.在Rt△CEB'中， 因为EB2+CB2=CE2,所以x2+2=(4-x)2,解 3 得=，即BE= D B' E E 图1 图2 ②当点B'落在AD边上时，如图2所示.此时四 边形ABEB'为正方形，∠CEB'=90°，所以BE= AB=3.综上所述，BE的长为或3. 2-1解：如图，假设拖拉 机行驶到C处，学校开始受 到影响，连接AC,则AC= 100m, 所以BC2=1002-802= M 60,所以BC=60m. 假设拖拉机行驶到D处，学校开始不受影响， 连接AD,则AD=100m, 所以BD=60m,所以CD=120m. 因为080÷18=00h=24, 所以该校受影响的时间为24s. 3-1C【解析】因为甲、乙两位探险者的速 度分别为3km/h,4km/h,且2h后分别到达 A,B点，所以0A=3×2=6(km),0B=4×2= 8(km).因为AB=10km,所以OA2+OB2= AB2,所以∠AOB=90°.因为甲探险者沿着北偏 东30°的方向行走，所以乙探险者的行走方向 是南偏东60°.2 一定是直角三角形吗 课前·预习笔记 预 习 ·1,掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用， 目 2.知道勾股数的概念，探索常用勾股数的规律.重点© 标 第步 明确考情 1.考频：5年2考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 :第已步梳理知识 1.直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理） 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 2利用三角形的边长判断一个三角形是不是直角三角形的步骤 (1)找三角形最长边； (2)计算最长边的平方及另两边的平方和； (3)比较计算结果，作出判断，相等则是直角三角形，否则不是. 3.勾股数：满足2+2=2的三个正整数，称为勾股数 预第三步预习检测 习1.下列四组线段，能组成直角三角形的是( ) 任 A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 务 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5 2.适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的共有() ①a=6,∠A=45°；②∠A=32°，∠B=58°；③a=2,b=2,c=4;④a=7,b=24,c=25. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列几组数：①9,12,15；②8,15,17；③6,8,10；④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整 数)其中是勾股数的有( A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4.如果一个三角形的三边长之比为9：12：15，且其周长为72cm,那么它的面积为 cm2. 5.正方形网格中的△ABC如图所示，若每个小方格的边长均为1，则△ABC的形状是 三角形 借助网格的特点，利用三 边平方的裁量关系来判断 12随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记川 新知解读 知识点1●>直角三角形的判别条件 举一反三》参考答案见答案册P2 1.直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理） 1-1在△ABC中，∠A,∠B 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 ∠C的对边分别记为a,b,c,则 是直角三角形 、c为最长边 无法判断△ABC为直角三角形 2.利用边的关系判断一个三角形是不是直角三角形的步骤 的是() ①找 ②算 ③判 A.b2=a2-c2 B.∠A=∠B+∠C 找三角形最长边 计算最长边的平方 相等是直角三角形 C.a:b:c=3:4:5 及另两边的平方和 不相等不是直角三角形 D.a:b:c=1:2:3 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 1-2已知M,N是线段AB上的 勾股定理是以“直角三 勾股定理的逆定理是以“三角形 两点，AM=MN=2,NB=1,以点 角形”为条件，从而得 的三边长a,b,c满足a2+b2= 区别 A为圆心，AW长为半径画弧；再 到数量关系“a2+b2= c2”为条件，从而得到这个三角形 以点B为圆心，BM长为半径画 2”,由“形”到“数” 是直角三角形，由“数”到“形” 弧，两弧交于点C,连接AC,BC, (1)都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关； 则△ABC一定是( 联系 (2)都与“直角三角形”有关 A.锐角三角形 B.直角三角形 例[教材P10例题]一个零件的形状如图1所示，按规定这个 C.钝角三角形 零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边 D.等腰三角形 尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 3 12 的 图1 图2 【答案】解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以 △ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是 直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求， ★方法京拨： 直角三角形的判定方法： (1)由角判定（定义法）：有一个内角是直角的三角形是直角 三角形 (2)由边判定（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三边长a, b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 第一章勾股定理 13 知识点2》勾股数 举反三》参考答案见答案册P2 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2-1《九章算术》是中国古代 一组裁是勾股裁的条件：(1)三个 重要的数学著作，该著作中给 数都是正整数，(2)满足a2+b2=c2 出了勾股数a,b,c的计算公 ☑拓展提开(1)关于勾股数的重要结论： 式：a=2(m2-2),b=m, ①a,b,c是一组勾股数，na,nb,nc(n为正整数)也是勾股数， 因此勾股数有无数组； c=2（m+),共中m>n> ②a,b,c是一组勾股数，则以na,nb,nc(n为正数)为边长的三 0,m,n是互质的奇数.下列四 角形一定是直角三角形， 组勾股数，不能由该勾股数计 (2)常见的勾股数：3,4,5；6,8,10；8,15,17；7,24,25；5,12， 算公式直接得出的是() 13;9,12,15;9,40,41 A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 例2下列几组数是勾股数的是 (填序号) ①1,23,2哈gb3m3.04,05: ④5,12,13；⑤21,28,35；⑥32,42,52. 【解析】 序号 ① ②③ ④⑤⑥ 是否都为正整数 判断 两个较小数的平方和是否 条件 X 等于最大数的平方 结论 十 【答案】④⑤ ★方法京拨 (1)判断三个数是否都是正整数 (2)若不全是，则不是勾股数；若全是，确定出最大数，并计算 最大数的平方与两个较小数的平方和，并进行下一步 (3)进行比较，若相等，则是勾股数；否则不是， 课本练习[教材PI1随堂练习] 1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由. (答案 (1)9,12,15; (2)12,18,22; 1.(1)(4)可以作为直角三角 (3)12,35,36; (4)15,36,39. 形的三边长；(2)(3)不能作 2.如图，在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,A E D 为直角三角形的三边长 DF=1,图中有几个直角三角形？你是如 理由略 何判断的？与同伴进行交流。 2.有四个直角三角形，分别是 △ABE,△BEF,△BCF,△DEF 理由略. (第2题) 14随堂笔记8年级数学BS上册 课后·提升笔记川 题型训练 题型1●》三角形形状的判断 变式训练》参考答案见答案册2 n已知△ABC的三边长分别为，B 2=,ab,。—(a>b、 1-1已知a,b,c是△ABC的 三边长，且满足3(a-13)2+ 0).判断△ABC的形状 alb-121+c2-10c+25=0,则 【答案】解：因为列2+(o6=。-2+6+心6 △ABC是() 4 A.以a为斜边的直角三角形 =0+2a2b2+6 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 a2+6212 =a+2a262+b4 2 D.非直角三角形 4 所 +w-, 所以△ABC是直角三角形， 题型2》勾股定理及其逆定理的综合运用 〉变式训练》参考答案见答案册2 例2如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,点D是线段AB上一 2-1如图，在四边形ABCD 点，BD=6,连接CD且CD=8. 中，AB=20,BC=15,CD=7, (1)求证：CD⊥AB; AD=24,∠B=90°. (2)求AC的长 (1)求证：CD⊥AD; (2)求四边形ABCD的面积. B 【答案】(1)证明：在△BDC中，BC=10,BD=6,CD=8, 因为BD2+CD2=62+82=102=BC2, 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， 所以CD⊥AB. (2)解：因为CD LAB, 所以△ADC是直角三角形， 所以AD2+CD2=AC2,即AD2+82=(AD+6)2, 解得A0~子 .725 所以AC=6+3=3 第一章勾股定理 15 题型3●》应用勾股定理的逆定理解决动点问题 变式训练)》参考答案见答案册P2 例3如图，线段AB,BC,CD和BD都为5cm, 3-1如图所示，在△ABC中， 动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速 AB:BC:CA=3:4:5,且周长为 度运动到点D,动点Q从点D出发沿D→C→ 36cm,点P从点A开始沿AB D B→A以2.8cm/s的速度运动到点A.若两点同 边向点B以1cm/s的速度移 时开始运动，运动5s时，点P,Q相距3cm.试 动；点Q从点B沿BC边向点C 确定两点运动5s时△APQ的形状， 以2cm/s的速度移动.如果点 【答案】解：5s时，动点P运动的路程为2×5= P,Q同时出发，运动3s时， 10(cm),即点P运动到点D(点P与点D重合)， △PBQ的面积为多少？ 动点Q运动的路程为2.8×5=14(cm), 因为DC=BC=BA=5cm, 所以点Q在BA上，且BQ=14-10=4(cm). 在△BPQ中，因为BP=5cm,BQ=4cm,PQ=3cm, 所以BQ2+PQ2=42+32=25=BP2, 所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP=90°， 所以∠AQP=180°-90°=90° 所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形 链接中考 考点1运用勾股定理的逆定理解题 角形，所以∠GBE=90°，所以∠ABE=∠GBE+ ∠ABG=90°+. 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★★☆ 3分 【答案】C 典例1[济宁中考]如图1，在正方形方格中，每 考点2●勾股数 个小正方形的边长都是一个单位长度，点A,B,C, 题型 难度 分值 D,E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交 选择题、填空题 ★★☆ 3分 于点F,若∠CFB=a,则∠ABE等于( 典例2[湖北中考]勾股定理最早出现在《周 髀》：勾广三，股修四，径隅五.观察下列勾股数： 3,4,5;5,12,13;7,24,25;.这类勾股数的特 点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了 勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： 图1 图2 6,8,10;8,15,17；….若此类勾股数的勾为2m A.180°-a B.180°-2a (m≥3，m为正整数)，则其弦是 (结果 C.90°+a D.90°+2a 用含m的式子表示) 【解析】如图2，取点G,连接BG,EG.因为DGL 【解析】因为m为正整数，所以2m为偶数，设其 CB,所以四边形DGBC是平行四边形，所以 股是a,则弦为a+2,根据勾股定理，得(2m)2+ BG∥CD,所以∠ABG=∠CFB=a.因为BG2= a2=(a+2)2,解得a=m2-1,所以弦是a+2= 12+42=17,BE2=12+42=17,EG=32+52=m2-1+2=m2+1. 34,所以BG+BE2=EG,所以△BEG是直角三【答案】m2+1 16随堂笔记8年级数学BS上册