第一章 1.1 探索勾股定理-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

《随堂笔记 第一章 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 预习检测 1.C2.A3.17m 举一反写 1-14【解析】因为△ABC中，∠C=90°， c=2,所以a2+b2=c2=4. 1-27【解析】在Rt△ABC中，∠C=90° 所以AC2=AB2-BC2=16,所以AC=4m.故可 得地毯的长度至少要AC+BC=7m. 1-33【解析】由勾股定理，得BC2=EC2 EB2=3,所以正方形ABCD的面积=BC2=3. 变式训练 1-1解：如图，延长BE交AD于点F. 因为点E是CD的 B 中点， 所以DE=CE. 因为AB⊥BC, AB⊥AD, D 所以AD∥BC, 所以∠D=∠BCE. 因为∠FED=∠BEC, 所以△BCE≌△FDE(ASA), 所以DF=BC=5,BE=EF,所以BF=2BE=13 因为DF=5,AD=10,所以AF=5. 在Rt△ABF中，AB2=BF2-AF2=132-52=144, 所以AB=12. 2-1解：因为四边形ACDE是正方形， 所以∠ACD=∠ACB=90°. 因为∠B=45°， 》参考答案 勾股定理 所以CB=AC,且AB2=AC2+BC2. 因为AB=12cm, 所以AC2=72, 所以S正方形AcE=72cm2. 第2课时验证并应用勾股定理 预习检测 1.B2.10 举三反三 1-1C【解析】因为直角三角形的三边a, b,c满足c>a>b,所以该直角三角形的斜边为 c,所以c2=a2+b2,所以c2-a2-b2=0,所以 S:=c2-a2-b2+b(a+b-c)=ab+62-bc, S2=b(a+b-c)=ab+b2-bc,所以S1=S2 2-1解：根据题意，可得∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，根据勾股定理， 得AC2+BC2=AB2,即8002+15002=AB2,解 得AB=1700m. 因为1700÷50=34(min), 所以大约34min后，欢欢才能到达山顶， 变式训练 1-1A【解析】由勾股定理得，AB2=132- 122=25,所以CD2+BD2=BC2=25,所以阴影 部分的面积=25+25=50. 1-2C【解析】因为∠AEB=90°，AE=6, BE=8,所以AB2=AE2+BE2=62+82=100, 所以AB=10.因为四边形ABCD是正方形， 所以S正方形ABD=AB2=102=100.因为SAAB= 3AE·BE=子×6×8=24，所以S影= S正方形ABcD-S△ABB=100-24=76,所以阴影部 分的面积是76.1探素勾股定理 第1课时 探素勾股定理 课前·预习笔记 预 习 目 掌握勾股定理的内容.重点© 标 第©步明确考情 1.考频：5年2考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第已步梳理知识 勾股定理 (1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)符号语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b,则a2+b2=c2 B 斜边 0 较短的直角边→勾 、孩 C b 预 较长的直角边→股 习第三步预习检测 任1.下列说法正确的是( 务 A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b,则a2+b=c D.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=c,BC=a,AC=b,则a2+b2=c 2.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，已知消防员在一次执行任务时，需要救援的楼层到地面的 距离CA为15m,为保证安全，消防云梯的底部和墙基的距离AB 至少为8m,要使云梯的顶部能到达C处，则云梯的长度至少为 2 随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点●》 勾股定理 举一反三》参考答案见答案册P1 文字语言 图示 符号语言 1-1如图，在△ABC中，∠C= 90°，c=2,则a2+b2= 直角三角形 B 斜边 在Rt△ABC中，若 两直角边的 较短的直角边→勾 、弦 ∠C=90°，AB=c, 平方和等于 BC=a,AC=b,则 b 斜边的平方 较长的直角边→股 a2+b2=c2 可变形为a2=c2-b2,b2=c2-a2,故已知直 1-2如图，在高为3m,斜坡长 角三角形中任意两边的长，即可求出第三边 为5m的楼梯台阶上铺地毯，则 注意事项：勾股定理只适用于直角三角形，其揭示的是直角三角 地毯的长度至少要 m. 形三条边长之间的平方关系 可知AC,BC为直角 B 边，AB为斜边 m 例■1在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若AB=15,AC=12,求BC的长； 1-3如图，点E在正方形 (2)若AB=20,BC=12,求AC的长； ABCD的边AB上，若EB=1, (3)若AC=10,AB比BC长2，求BC,AB的长， EC=2,则正方形ABCD的面积 【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，得 BC2=AB2-AC2=152-122=81=92,所以BC=9. 为 D (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，得 AC2=AB2-BC2=202-122=256=162,所以AC=16. (3)设AB=x,则BC=x-2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，得 AB2 -BC2 =AC, 即x2-(x-2)2=102, 解得x=26, 所以x-2=24, 即AB=26,BC=24. ☆方法京拔 运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定已 知边、所求边是直角边还是斜边， 第一章勾股定理 3 课本练习[教材3随堂练习] 1.求图中字母所代表的正方形的面积 答案 1.SA=625;S.=144. P 2不同意。 因为√121.52+68.52≈ 225 B 140(cm),所以对角线长 225 140cm,因为140cm≈55in, 400 所以售货员没有搞错。 (1) （2) (第1题) 2.小明家买了一部55in(英寸，1in=25.4mm)的电视机.小明 量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有121.5cm长和68.5cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解 释这是为什么吗？ 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》利用勾股定理求边长 变式训陈●》参考答案见答案册P1 例1在△ABC中，已知AB=10,AC=17,边BC上的高AD=8, 1-1如图，AB⊥BC于点B, 求BC的长， AB⊥AD于点A,点E是线段 【答案】解：如图1，当高在三角形内部时，在Rt△ABD中，由勾股 CD的中点，若BC=5,AD=10, 定理， 得BD2=AB2-AD2=102-82=36, B服=是求AB的长度 B 所以BD=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2=AC2-AD2=172-82=225, 所以CD=15. 所以BC=BD+CD=6+15=21. D …B 图1 图2 如图2，当高在三角形外部时，在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2=AB2-AD2=102-82=36, 所以BD=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2=AC2-AD2=172-82=225, 所以CD=15. 所以BC=CD-BD=15-6=9. 故BC的长为21或9. 4随堂笔记8年级数学BS上册 题型2》利用勾股定理求非直角三角形的面积 变式训练》参考答案见答案册P1 例2如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15cm,AC= 2-1如图，四边形ACDE是正 13cm,AD=12cm,求△ABC的面积 方形，根据图中的条件求正方 【答案】解：因为AD是BC边上的高， 形ACDE的面积。 所以∠ADB=∠ADC=90°， A 所以BD2=AB2-AD2=81,CD2=AC2 12 cm AD2=25, B145 所以BD=9,CD=5, D 所以BC=BD+DC=14, 所以△ABC的面积=号×BC×A初=84cm2. 链接中考 考点利用勾股定理求线段的长度 题型 难度 分值 D 选择题、填空题 ★★☆ 3分 典例①[吉林中考]图1中有一首古算诗，根据 图1 诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深 【解析】如图2，过点D作DE⊥AB于点E. 度，其示意图如图2，其中AB=AB',AB⊥B'C于 点C,BC=0.5尺，B'C=2尺(1尺≈0.33米)： D 设AC的长度为x尺，可列方程为 B E 9诗文：波平如镜一湖面，半尺高 图2 处生红莲亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边离开原处二尺远， 所以∠DEB=90°，所以∠DEB=∠C=90°.因为 花贴湖面像睡莲 BD是∠ABC的平分线，所以∠DBE=∠DBC.在 图1 图2 ∠DEB=∠C, △BCD和△BED中， ∠DBE=∠DBC,所以 【解析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得，AC2+ BD=BD, B'C2=AB2,即x2+22=(x+0.5)2 △BCD≌△BED(AAS),所以BE=BC=6.在 【答案】x2+22=(x+0.5)2 Rt△ABC中，AB2=AC2+BC=82+62=100,所以 典例2[随州中考改编]如图1，在Rt△ABC中， AB=10,所以AE=AB-BE=10-6=4.设CD= DE=x,则AD=AC-CD=8-x.在Rt△ADE中， ∠C=90°，AC=8,BC=6,D为AC上一点，若 AE2+DE2=AD,所以42+x2=(8-x)2,解得 BD是∠ABC的平分线（∠DBA=∠DBC),则x=3,所以AD=8-x=5. AD= 【答案】5 第一章勾股定理 5