1.2 一定是直角三角形吗-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

故海警船的速度为65km/h时，能恰好在C处将可疑 船只截住， 7.C【解析】如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E. B⊙⊙ EGD…⊙①c A④⊙①D 由题意，得BE=1,EC=2. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC2=BE2+EC2=1 +22=5, 所以BC=√5. 又因为AB=2,CD=1 所以按此手势解锁一次的路径长为AB+BC+CD=2 +√5+1=3+√5. 8.100【解析】如图，分别过点A,B作与 460 正方形的边平行的线交于点C,则∠C =90°.由题意，得AC=120-60=60 (mm),BC=140-60=80(mm),所以 由勾股定理，得AB=AC2+BC2=60 -140 +802=1002,所以AB=100mm,即两圆孔中心A和 B的距离为100mm 9.解：(1)依题意可知OA=OB=OC. 因为BD⊥OA,CE⊥OA,OB⊥OC, 所以∠ODB=∠OEC=∠BOC=90°， 所以∠B+∠BOD=∠BOD+∠COE=90°， 所以∠B=∠COE, 所以△BOD≌△OCE(AAS),所以OE=BD (2)7【解析】(2)在Rt△BDO中，OD2=OB-BD =225, 所以OD=15cm 由(1)知OE=BD=8cm, 所以DE=OD-OE=15-8=7(cm). 10.解：(1)能.理由如下： 如图①，设半圆形的圆心为点O,在OB上取点D,使 OD=0.8m,过点D作CE⊥AB,分别交桥洞于点C, E,连接OC. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=OC2-OD= 12-0.82=0.36, 所以CD=0.6m,所以CE=CD+DE=0.6+2.3= 2.9(m),2.9m>2.5m, 所以这辆卡车能通过该桥洞. (2)如图②，在OA上取一点M,使得OM=1.2m,过 点M作PN⊥AB,分别交桥洞于点P,N. 根据题意可知，PN=2.8m,OM=1.2m,MN=2.3m, 所以PM=PN-MN=2.8-2.3=0.5(m), 所以OA2=OP2=PM2+OM=0.52+1.22=1.69, 所以OA=1.3m, 所以桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(m) 图① 图② 2 八年级数学BS版 2一定是直角三角形吗 1.B 2.60【解析】因为82+15=17，所以该三角形是直角 三角形，其中8,15为两条直角边，所以S=2×8X15 =60. 变式题120【解析】设这个三角形的三边长分别为 5xcm,12xcm,13xcm,则5.x+12x+13x=60,解得 x=2,所以这个三角形的三边长分别为10cm,24cm, 26cm.因为102+242=26，所以这个三角形为直角三 1 角形，所以S=2×10×24=120(cm). 3.解：小亮的解答不正确.正确的解答过程如下： △ABC是直角三角形.理由如下： 因为。+e=2+(受)=4+号-华公=（经》 2 ,所以a+c2=b,所以△ABC是直角三角形. 4.解：(1)在△ABD中，因为AD2+BD2=242+32= 1600,AB2=402=1600, 所以AD+BD=AB,所以△ABD是直角三角形， 且∠ADB=90°，所以AD⊥BC. (2)因为AD⊥BC,所以∠ADC=90° 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC2=AD+CD =242+18=900, 所以AC=30. 因为BD=32,所以BC=BD+CD=50,所以S△AB= 号0.AD-号×50X24=60, (3)△ABC为直角三角形.理由如下： 因为AB2+AC2=402+30=2500,BC2=502= 2500, 所以AB2+AC2=BC2,所以△ABC是直角三角形. 5.C 6.解：(1)①1213②2425③4041 n2-1n2+1 (2)n,221 7.A 8.18【解析】设AB为3xcm,BC为4.xcm,AC为5.xcm. 因为△ABC的周长为36cm, 所以AB+BC+AC=36cm, 所以3.x+4x十5x=36,解得x=3, 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 因为AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形. 经过3s,BP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm), 所以S%m=BP·BQ=7×6X6=18(cm). 1 9.解：如图，连接AC. 因为AD⊥CD,所以AC2=AD2+ CD2=4+32=25, 所以AC2+BC2=25+122=169= 13=AB,所以△ABC是直角三角 形，且∠ACB=90°，所以S空地=S△ABC -SAm=2AC·BC-2AD·CD=号X5X12-号 ×4×3=24(m2). 10.解：(1)如图①，连接DP 由题意可知，CD=CP=8,∠PCD=60°，所以∠CPD -∠CDp=180°-60 2 =60°， 所以△DCP为等边三角形，所以DP=DC=8. 因为∠DCP=∠ACB=a,即∠DCA+∠ACP= ∠PCB+∠ACP, 所以∠DCA=∠PCB (CA=CB. 在△CDA和△CPB中，∠DCA=∠PCB, CD=CP. 所以△CDA≌△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD=BP=6, 所以AD2+DP2=62+82=100=102=AP2, 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+60°=150°， 所以∠BPC=150°. 图① 图② (2)如图②，连接DP」 由题意，得△DCP为等腰直角三角形， 所以∠CDP=45°. 同(1)可得∠DCA=∠PCB. (CA=CB, 在△CDA和△CPB中，∠DCA=∠PCB, CD=CP. 所以△CDA≌△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD=BP=1, 所以AD+DP2=AD+(CD+CP2)=1+(22+ 22)=9. 因为AP2=9,所以AD2+DP=AP, 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+45°=135°， 所以∠BPC=135° 3勾股定理的应用 1.B 2名【解标】当∠CBE=90时，如图 所示，连接AC.在Rt△ABC中，AB =3,BC=4,所以AC2=4+32=25, Bi---- 所以AC=5.因为∠B沿AE折叠， 使点B落在点B'处，所以∠AB'E=∠B=90°，EB= EB',AB=AB'=3.又因为∠CB'E=90°，所以点A, B′，C共线，所以CB'=AC-AB'=5-3=2.设BE= EB'=x,则CE=4-x.在Rt△CEB'中，因为EB2十 CB=CE,所以x产+2=(4-x,解得x=弓，即 e是 3.解：设BN=x.因为AB=18,所以AN=18-x. 由折叠的性质，得DN=AN=18-x. 因为D是BC的中点，BC=12,所以BD=6. 在Rt△NBD中，x2+62=(18-x)2,解得x=8. 故线段BN的长为8. 4.C 5.C【解析】由题意可知，BD=CE,AB=4.5m,BE= CD=1.5 m,AC=5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5 =3(m).在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2=AC2 AE2=52一32=16，所以CE=4m,所以BD=CE= 4m. 6.解：设教学楼的高度为hm,则绳子长为(h十2)m. 依题意，得h2+62=(h十2)2， 解得h=8. 答：教学楼的高度为8m. 7.C【解析】设AO=BO=x寸， 则AE=(x-1)寸，AB=2x寸，AD=x寸，DE= 10寸. 在Rt△AED中，根据勾股定理，得AD=AE2+DE2, 即x2=(x-1)+10,解得x=50.5,所以AB= 101寸. 8.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC=AB, 所以82+(16-x)2=x2,解得x=10, 所以AB=10dm, 所以绳子的总长度为AB+AC=10+8=18(dm). (2)因为物体C升高7dm,所以此时AB′=10+7=17 (dm). 在Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB?-AC =172-82=225, 所以B'C=15dm 由(1)，得BC=16-10=6(dm), 所以BB'=B'C-BC=15-6=9(dm). 答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 9.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90. (2)如图，过点C作CD⊥AB于 点D. 因为△ABC是直角三角形， 所以SA=2AC·BC=2CD· 1 1 AB. 所以2×300×400=2×500CD. 所以CD=240km. 故风眼离海港C最近的距离是240km. (3)如图，E,F为AB上两点，且CE=CF=250km. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=EC2-CD= 2502-2402=4900, 所以ED=70km. 同理可得DF=70km, 所以EF=ED+DF=140km. 140÷20=7(h). 故台风影响该海港持续的时间为7h. 上册详解详析 3△2一定是直角三角形吗 已课内基础闯关 4.如下图，在△ABC中，D为边BC上的一点， AD=24,BD=32,AB=40,CD=18. 知识点①直角三角形的判别条件 (1)试说明：AD⊥BC 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的 (2)求AC的长及△ABC的面积. 是 (3)判断△ABC是否为直角三角形，并说明 A.3,4,4 B.3,4,5 理由 C.3,4,6 D.3,4,8 2.一个三角形的三边长分别是8,15,17，则这 个三角形的面积是 变式题若一个三角形的三边长之比为 5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为 cm2. 3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 5 2,C=2,则△ABC 3 a,b,c.已知a=2,b= 是直角三角形吗？请说明理由。 小亮的解答如下： 知识点② 勾股数 5.（2025一2026萍乡上栗检测)下列各组数中， 解：△ABC不是直角三角形.理由如下： 是勾股数的是 () 因为。=46+e-(）》+(受- 111 所以a2≠b2+c2, A.345 B.0.3,0.4,0.5 所以△ABC不是直角三角形. C.3,4,5 D.1,3,2 请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出 6.(1)一位同学从勾股数“3,4,5”中发现，4 正确的解答过程. 3。一5=3由此他发现最小数是奇数 2 的勾股数的构造方法.你发现了吗？请你写 出以下几组勾股数组：①5， ;②7， ③9， (2)写出勾股数一般规律的表达式（用字母n 表示，n为奇数，且n≥3). 上册第一章 5△ 已课外拓展提高 (1)如图①，当a=60°，PA=10,PB=6, 7.勾股定理最早出现在《周髀算经》中，记载为 PC=8时，求∠BPC的度数. “勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股 (2)如图②，当a=90°，PA=3,PB=1,PC 数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；….这类勾股 =2时，求∠BPC的度数. 数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图 研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股 数，如：6,8,10；8,15,17；….若此类勾股数的 图② 勾为2m(m>0,m为正整数)，则弦为() A.m2+1 B.m2-1 C.2m+2 D.2m+3 8.如图，在△ABC中，AB:BC: AC=3:4:5,且其周长为 Q 36cm.点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移 A→p 动，点Q从点B开始沿BC边 第8题图 向点C以2cm/s的速度移动.如果两点同 时出发，那么经过3s,△PBQ的面积为 cm2. 9.(教材变式)如下图，学校操场边上有一块空 地（阴影部分）需要绿化，测出AB=13m, BC=12 m,AD=4 m,CD=3 m,AD LCD 求这块空地的面积. 知识要点归纳 1.如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2十b 已综合能力提升 =C2,那么这个三角形是直角三角形. 2.满足a2十b2=c2的三个正整数，称为匀股数。 10.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=a,P为 常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24， △ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转 25等. a得到CD,连接AD,PA,PB. 6 八年级数学BS版