第一章 1.2 验证并应用勾股定理-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第2课时 验证并应用勾股定理 课前·预习笔记 预 习1.学会验证勾股定理的几种基本方法，并了解其内在联系。 目 【2.能运用勾股定理进行简单计算和解决简单的实际问题.重点© 标 第。田明确考情 1.考频：5年2考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第已步梳理知识 1.勾股定理的验证 (1)验证方法：测量、数格子、拼图等，其中拼图验证是最常用的方法. (2)拼图验证的关键：用两种方法表示出同一个图形的面积(“算两次”). (3)拼图法验证勾股定理的一般步骤： 构造图形（割、移、补、拼）→写出同一图形面积的两种表示形式→列出等式→恒等 变形→推导出勾股定理。 2.勾股定理的简单应用 (1)利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算、说明问题或实际应用问题 预 (2)运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：①从实际问题中抽象出几何图形（建 习 模)；②确定所求的线段所在的直角三角形（不是直角三角形的，通过作辅助线构 任 造直角三角形)；③找准直角边和斜边，根据勾股定理确定等量关系，列出方程； 务 ④求得结果 第三步预习检测 1.下列选项（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是( b 6 B 2.如图1，这个图案是我国三国时期数学家赵爽在 注解《周髀》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. E H 此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四 G 边形EFGH都是正方形，△ABF,△BCG,△CDH, △DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2, DE=8,则AB的长为 图1 图2 6 随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记川 新知解读 知识点1●》勾股定理的验证 举一反三●》>参考答案见答案册P1 1.验证方法：测量、数格子、拼图等，其中拼图验证是最常用的 1-1已知直角三角形的三边 方法 a,b,c满足c>a>b,分别以a, 2.拼图验证的关键：用两种方法表示出同一个图形的面积(“算 b,c为边作三个正方形，把两个 两次”)：·注意拼图时不能重叠也不能有空陈 较小的正方形放置在最大的正 3.拼图法验证勾股定理的一般步骤 方形内，如图，设三个正方形无 构造图形（割、移、补、拼）→写出同一图形面积的两种表示形 重叠部分的面积为S1,均重叠 式→列出等式→恒等变形推导出勾股定理. 部分的面积为S2,则( 举例列表如下： 方法 图形 推导过程 用两个全等的直角三角形和一个等腰直 角三角形拼成一个直角梯形.依据整体面 A.S>S2 拼 1 接 积等于各部分面积之和，得S6影=2b× B.S1<S2 拼 2+;依据搭形的面积公式，得S= C.S=S2 6 母 加菲尔德总统证法 D.S1,S2大小无法确定 法 (一线三直角) 2(a+b)·(a+b),因此1 2(a+b). (a+b)= 2abx2+ 1 ,即+6e 把边长为c的正方形分割成四个全等的 直角三角形和一个小正方形，则c2=4× 1 割 2ab+(b-a)2,即a2+B2=c2 补 赵爽弦图（风车型）》 拼 6 在边长为c的正方形的每条边上补上 图 一个边长分别为a,b,c的直角三角形 法 (c为斜边)，得到一个以a+b为边长 的正方形，则c=(a+b)2-4x2ab, 即a2+b2=c2 例1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其 中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直 角三角形如图所示摆放时，可以用“面积法”来验证a2+b=c2. 第一章勾股定理 7 你能说明其中的道理吗？请试一试， a G F b D 【答案】解：因为S边形CDB=S梯形BCR+S梯形FDE=S正E方形BGB+2 SARCG,即 (b+a+b)xb+(a+a+b)xa=e+2x 根据面积相 所以2h+B+a2+b=e+ab, 、等建立等式 所以a2+b2=c2. 勾股定理是直角三角形特有的重要定 理之一，应用勾股定理需光我出或构 造直角三角形（常作三角形的高） 知识点2》>勾股定理的简单应用 举一反三●》参考答案见答案册P1 1.利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算、说明问题 2-1如图，已知某山的高度 或实际应用问题.主要应用如下： AC为800m,在山上A处与山 (1)已知直角三角形的任意两边，求第三边； 下B处各建一个索道口，且 (2)已知直角三角形的任意一边，确定另两边的关系； BC=1500m,欢欢从山下索道 (3)说明包含平方关系的几何问题； 口坐缆车到山顶，已知缆车每 (4)构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生 分钟走50m,那么大约多少分 活中的一些实际问题， 钟后，欢欢才能到达山顶？ 2.运用勾股定理解决实际问题的一般思路 数学 实际问题 建模，抽象出几何图形一确定所求线段在直角三角形中 回归 求得线利用勾股定确定直角 B 段长理建立方程边和斜边 例2[教材P5例题]在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在 距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条 公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400m;过了10s, 测得汽车与他相距500m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平 均速度吗？ 【答案】解：根据题意，可以画出示意图如图， B公路 其中点A表示王叔叔所在位置，点B表示两 个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公 400m/500m 路400m,因此∠C是直角.由勾股定理，可得 AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002.所 以BC=300. 蓝方汽车10s行驶了300m,那么它1s行驶的距离为300÷10= 30(m),即蓝方汽车这10s的平均速度为30/s. 8随堂笔记8年级数学BS上册 课本练习，[教材6随堂练习] 1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟 答案 修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速 1.900000万元. 公路的建设成本是5000万元/km,该沿江高速公路的建设成 本预计是多少？ M 30 km N40 kmo 50 km 120km 0 课后·提升笔记 题型训练， 题型1●》寻求图形面积之间的关系 变式训练》参考答案见答案册P1 例1（衔接教材P8习题）有一个边长为1的大正方形，经过1次 1-1如图是由两个直角三角 “生长”后，在它的左右肩上“生出”两个小正方形，其中，三个 形和三个正方形组成的图形， 正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形 其中阴影部分的面积是() 成的图形如图所示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶 13 茂”，那么“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的 面积和是() A.50B.16C.25D.41 1-2如图，已知点E在正方形 ABCD内，满足∠AEB=90°， A.2025 B.2026 C.22024 D.22024-1 AE=6,BE=8,则阴影部分的 【解析】由题意得，正方形A的面积为1， 面积是( ) 由勾股定理得，正方形B的面积+正方 D 形C的面积=1，所以“生长”了1次后形 B 成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形 中所有的正方形的面积和为3，“生长”了 B 3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…所以“生 A.48 B.60 C.76D.80 长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026. 【答案】B 第一章勾股定理 9 题型2●》勾股定理在实际生活中的应用 变式训练)》参考答案见答案册2 例2如图，小巷左右两侧都是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左 2-1在《算法统宗》中有一道 墙时，梯子底端到左墙角的距离为2m,顶端距离地面1.5m.若 “荡秋千”的问题：平地秋千未 起，踏板离地一尺.送行二步 梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 (十尺)与人齐，五尺人高曾记. 2.4m,求小巷的宽度. 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉 良工高士素好奇，算出索长有 几.此问题可理解为：如图，有一 2.4m 架秋千，当它静止时，踏板离地 1.5m 距离AB的长为1尺.将它往前 水平推送10尺，即A'C=10尺 2m 时，秋千的踏板离地距离A'D就 【答案】解：根据题意得AE=DE, 和身高5尺的人一样高.若运动 在Rt△ABE中，AB=1.5m,BE=2m, 过程中秋千的绳索始终拉得很 直，则绳索OA的长为() 所以AE2=AB2+BE2=1.52+22=6.25, 所以AE=2.5m. 在Rt△CDE中，DE=AE=2.5m,CD=2.4m, 所以CE2=DE2-CD2=2.52-2.42=0.49, 所以CE=0.7m. D 所以BC=BE+CE=2+0.7=2.7(m), BTTT9T7 A.14尺 B.13.5尺 所以小巷的宽度为2.7m. C.15尺 D.14.5尺 题型3>利用勾股定理说明线段之间的关系 >变式训练●》参考答案见答案册2 例31如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E,F分别是边AB,AC,BC 3-1如图，在△ABC中，AB= 上的点，D为AB的中点，连接DE,DF,EF,有DE⊥DF.求证： 9,AC=6,AD⊥BC于点D,M AE2+BF2 =EF2. 为AD上任意一点，求MB2- MC2的值. 【答案】证明：如图，过点A作AM∥BC交FD的延长线于点M, 连接EM. D E ·D 因为AM∥BC, 所以∠MAE=180°-∠ACB=180°-90°=90°，∠MAD=∠B. 因为AD=BD,∠ADM=∠BDF, 10随堂笔记8年级数学BS上册 所以△ADM≌△BDF(ASA), 所以AM=BF,MD=DF. 因为DE⊥DF, 所以∠EDM=∠EDF=90° 又因为DE=DE, 所以△EDM≌△EDF(SAS), 所以EM=EF, 在Rt△AEM中，AE+AM=EM2 所以AE+BF2=EM2=EF2 链接中考 考点1◆勾股定理的验证 体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组 题型 难度 分值 制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次 解答题 ★★★ 10分 试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C,从 典例1[中考改编]如图是“弦图”的示意图，“弦 图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周 B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17m, 髀》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成 BD =10 m. 就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方 (1)求CD的长， 形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角 (2)若模拟装置从A点以每秒 形的两条直角边分别为a,b,斜边为c.请你运 2m的速度匀速下降到B点， 用此图形证明勾股定理：a2+b=c2. 求模拟装置从A点下降到B点36.8 的时间。 参考数据：sin36.87°≈0.60，C cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75. 【解析】(1)由题意可知，∠CDB=36.87°， 【答案】解：由图可知，大正方形的面积可表示 ∴.CD=BDcos36.87°≈10×0.80=8(m). 为5=4×2b+(6-a)2=2ab+2+ 故CD的长约为8m. a2-2ab=a2+b2, (2)在Rt△ACD中，由勾股定理，得 也可以表示为S大正方形=c2, AC=√AD2-CD=√172-82=15(m), 所以a2+b2=c2. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得 考点2勾股定理在生活中的应用 BC=√BD-CD=√102-82=6(m), .AB=AC-BC=15-6=9(m), 题型 难度 分值 解答题 ★★★ 10分 9÷2=4.5(s). 答：模拟装置从A点下降到B点的时间为 典例2[广州中考]2024年6月2日，嫦娥六号 4.5s. 着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合 第一章勾股定理《随堂笔记 第一章 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 预习检测 1.C2.A3.17m 举一反写 1-14【解析】因为△ABC中，∠C=90°， c=2,所以a2+b2=c2=4. 1-27【解析】在Rt△ABC中，∠C=90° 所以AC2=AB2-BC2=16,所以AC=4m.故可 得地毯的长度至少要AC+BC=7m. 1-33【解析】由勾股定理，得BC2=EC2 EB2=3,所以正方形ABCD的面积=BC2=3. 变式训练 1-1解：如图，延长BE交AD于点F. 因为点E是CD的 B 中点， 所以DE=CE. 因为AB⊥BC, AB⊥AD, D 所以AD∥BC, 所以∠D=∠BCE. 因为∠FED=∠BEC, 所以△BCE≌△FDE(ASA), 所以DF=BC=5,BE=EF,所以BF=2BE=13 因为DF=5,AD=10,所以AF=5. 在Rt△ABF中，AB2=BF2-AF2=132-52=144, 所以AB=12. 2-1解：因为四边形ACDE是正方形， 所以∠ACD=∠ACB=90°. 因为∠B=45°， 》参考答案 勾股定理 所以CB=AC,且AB2=AC2+BC2. 因为AB=12cm, 所以AC2=72, 所以S正方形AcE=72cm2. 第2课时验证并应用勾股定理 预习检测 1.B2.10 举三反三 1-1C【解析】因为直角三角形的三边a, b,c满足c>a>b,所以该直角三角形的斜边为 c,所以c2=a2+b2,所以c2-a2-b2=0,所以 S:=c2-a2-b2+b(a+b-c)=ab+62-bc, S2=b(a+b-c)=ab+b2-bc,所以S1=S2 2-1解：根据题意，可得∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，根据勾股定理， 得AC2+BC2=AB2,即8002+15002=AB2,解 得AB=1700m. 因为1700÷50=34(min), 所以大约34min后，欢欢才能到达山顶， 变式训练 1-1A【解析】由勾股定理得，AB2=132- 122=25,所以CD2+BD2=BC2=25,所以阴影 部分的面积=25+25=50. 1-2C【解析】因为∠AEB=90°，AE=6, BE=8,所以AB2=AE2+BE2=62+82=100, 所以AB=10.因为四边形ABCD是正方形， 所以S正方形ABD=AB2=102=100.因为SAAB= 3AE·BE=子×6×8=24，所以S影= S正方形ABcD-S△ABB=100-24=76,所以阴影部 分的面积是76. 2-1D【解析】由题意得∠A'C0=90°， OA=OA'.设绳索OA的长为x尺，则OA'= x尺，0C=(x+1-5)尺.在Rt△A'C0中，由勾 股定理得102+(x+1-5)2=x2,解得x=14.5. 即绳索0A的长为14.5尺 3-1解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 所以在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2, 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2. 在Rt△MBD中，因为∠MDB=90°， 所以MB2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2 在Rt△MCD中，因为∠MDC=90°， 所以MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2 所以MB2-MC2=AB2-AD2+MD2-(AC2 AD2 +MD2)=AB2 AC2. 因为AB=9,AC=6,所以MB2-MC=92- 62=45. 2一定是直角三角形吗 预习检测， 1.D2.B3.D4.2165.直角 举一反目 1-1D【解析】A.因为b2=a2-c2,所以 b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形；B.因为 ∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所以 2∠A=180°，所以∠A=90°，所以△ABC为直 角三角形；C.因为a:b:c=3:4:5,所以设a= 3k,则b=4k,c=5k,所以a2+b2=c2,所以 △ABC为直角三角形；D.因为a:b:c=1:2:3, 所以设a=k,则b=2k,c=3k,因为a+b=k+ 2k=3k=c,所以不能组成三角形 1-2B【解析】如图所示，根据作图知， AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,所 以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角 形，且∠ACB=90°. 2-1C【解析】因为当m=3,n=1时，a= 分(m-)=2(32-1）=4,6=mm=3x1= 3,c=2(m2+n2)=2×(3+1)=5,所以选 项A不符合题意；因为当m=5,n=1时，a= 2(m2-n2)=3(52-13)=12,6=m=5× 1-5,c=7(m2+m)=7×(52+1)=13,所 以选项B不符合题意；因为当m=7,n=1时， a=2(m2-n)=2(72-1)=24,6=m= 7×1=7,c=2(m2+)=7×(7+1P)= 25,所以选项D不符合题意；因为没有符合条 件的m,n使a,b,c各为6,8,10，所以选项C符 合题意. 变式训练， 1-1A【解析】因为3(a-13)2+alb-121+ c2-10c+25=0,所以3(a-13)2+ab-121+ (c-5)2=0,所以a-13=0,a=0或b-12= 0,c-5=0.又因为a≠0，所以a=13,b=12, c=5,所以2+c2=a2,所以LA=90°，所以 △ABC是以a为斜边的直角三角形 2-1(1)证明：如图，连接AC. 因为在△ABC中，∠B=90°， 所以AC2=BA2+BC2=400+ 225=625. 因为DA2+CD2=242+ 72=625, 所以AC2=DA2+DC2 所以△ADC是直角三角形，即∠D是直角， 所以CD⊥AD. (2)解：S四边形ABCD=S△Ac+S△ADC -AB:BC+ZAD CD =2×20x15+2×24x7 1 =234, 3-1解：设AB=3xcm,BC=4xcm,AC= 5x cm.