第1期 1.1 探索勾股定理 1.2 一 定是直角三角形吗 1.3 勾股定理的应用（答案见第3期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 在学习了勾股定理后， 专题辅导 2.（10分)著名的赵爽弦图（如图3，其中四 我们经常会遇到求最短路 个直角三角形较大的直角边长都为α，较小的直径的问题，现针对该类问题 角边长都为b,斜边长都为)，由此推导出直角选取三例分析如下，供同学 可股定理助解最短路修间题 三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角 们参考 ◎河南孟雅婷 边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. 一、圆柱体中的最短路径 三、长方体中的最短路径 例1如图1，圆柱体玻璃容器高12cm,底 例3如图5，已知长方体 面周长为24cm,在容器外侧距下底1cm的点A 的三条棱AB,BC,BD的长分别 处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外侧距上底 为4,5,2，蚂蚁从点A出发沿长 2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁吃到蜂蜜所 方体的表面爬行到点M的最短 爬行的最短距离为 cm 路程的平方是」 图5 图3 解析：要求长方体表面两点之间的最短路 (1)现有4个全等的直角三角形（阴影部 径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用 分)，直角边长分别为a,b,斜边长为c,将它们拼 “两点之间，线段最短”解答，注意将长方体展开 合为如图4所示的形状请你利用图4推导上面的 后蚂蚁的爬行路线有3种，分别求出，选取最短 关系式 的路程即可. 图1 图2 (2)如图5，在一条东西走向河流的一侧有 ①如图6，将长方体展开，前面与上面所在 解析：如图2，将圆柱体玻璃容器的侧面展 村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB= 的平面形成长方形ABMN.由题意，得AB=4, 开，EC为底面周长的一半，过点A作AF⊥CD于 4C,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， BD=2,DM=BC=5.所以BM=BD+DM= 点F,此时AB的长度即为蚂蚁吃到蜂蜜所爬行 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水 7.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM2=AB2+ 的最短距离.由题意，得AF=EC=12cm,CF 点H(点A,H,B在一条直线上)，并新修一条路 BM=42+72=65, =AE=1cm,BD=2cm,CD=12cm.所以BF CH,且CH⊥AB.测得CH=6千米，HB=4千 =CD-BD-CF=9cm.在Rt△ABF中，由勾 米，求原路CA长多少千米？ 股定理，得AB2=AF2+BF2=122+92=225. 所以AB=15cm. 故填15. 二、正方体中的最短路径 B A 例2如图3是一个棱长为1的正方体纸 图6 图5 盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶 ②如图7，将长方体展开，前面与右面所在 点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程 的平面形成长方形ACME.由题意，得AB=4, 的平方是 BC=5,CM=BD=2.所以AC=AB+BC= A.3 B.4 C.5 D.9 9.在Rt△ACM中，由勾股定理，得AM=AC2+ CM2=92+22=85. ③如图8，将长方体展开 左面与上面所在的平面形成长 4 方形AFMD.由题意，得AF=BC N 图3 5,MN AB =4,NF BD 解析：如图4，将正方体的侧面展开，线段 2.所以MF=MN+NF=6.在 AB的长即为蚂蚁需要爬行的最短路程.由题意， Rt△AFM中，由勾股定理，得 得BC=1,AC=2.在Rt△ABC中，由勾股定理， AM=AF2+MF2=52+62=61 得AB2=BC2+AC2=12+22=5.所以需要爬 因为61<65<85，所以蚂蚁从点A出发沿长 数理报社试题研究中心 行的最短路程的平方是5. 方体的表面爬行到点M的最短路程的平方是61 （参考答案见3期) 故选C. 故填61. 【对应练习见本版《专项训练》】 走的最短路程为 cm. 长方体颁奖台的长均为110cm,宽均为70cm, 专项训练 3.如图3，长方体三条棱的长分别为7,5,5,1,2,3号台的高度分别是40cm,30cm,20cm. 蚂蚁从A出发，沿长方体的表面爬到C点，则最 若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬 短路线长的平方是 到1号颁奖合的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距 1.如图1，一圆柱高8cm,底面半径为2cm 离为 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相 对，要爬行的最短路程（π≈3）是 A.10 cm B.14 cm C.20 cm ←-110cm-110cm-110cm D.无法确定 网5 4.如图4，圆柱形玻璃杯的杯高为13cm,底 6.我国古代有这样一个数 面周长为10cm,在杯内壁离杯底3cm的点A处 学问题，其题意是：如图6，把枯 有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上， 木看作一个圆柱体，该圆柱的 它在离杯上沿2cm,且与蜂蜜相对的点B处，则高为30尺，底面周长为8尺，有 蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程 葛藤自点A处缠绕而上，绕五周 图6 为（杯壁厚度不计） cm. 后其末端恰好到达点B处，则 2.如图2，一只蚂蚁需要从一个长、宽、高分 5.运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻 葛藤的最短长度是 尺 别是3cm,lcm,6cm的长方体的顶点A爬到顶 “双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋 'os9 :wo ost's 点B,则它从点A开始经过4个侧面到达点B所：季田径运动会.如图5是运动会的颁奖台，3个 EIb6TE0I乙VI荸号 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 2025年7月2日·星期三 初中数学 报纸发行质量反馈电话 教理橘 期总第1145期 北师大 0351-5271248 八年级 20252026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-204 八年级数学北师大 第一学期编辑计划 名师点睛 第1期1.1探 判别直角三角形有方法 恋思进 索勾股定理；1.2 定是直角三角形吗； ● 1.1探索勾股定理 .3勾股定理的应用 ◎广东李睿泽 1.2一定是直角三角形吗 第2期第 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2= D.三内角的度数之比为3：4：5 1.3勾股定理的应用 章复习与小结 ,那么这个三角形是直角三角形.由此我们可 解析：根据三角形内角和定理和勾股定理 学习目标：探索勾股定理及其逆定理 第3期2.1认 以判别直角三角形判别直角三角形的基本思路的逆定理可判别三角形是否为直角三角形 并能运用它们解决一些简单的实际问题， 识实数；2.2平方根 是：①确定最长边c;②分别计算c和a2+b2的 A.根据三角形内角和定理可求得各角分别 认知重点：1.理解并掌握勾股定理及其 与立方根 值：③若a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形；为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形： 逆定理 第4期2.3二 若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形. B.设三边长的平方分别为x,2x,3x(x≠0)，因 2.掌握勾股定理及其逆定理在实际问题 次根式 第5期 方法一、已知具体线段长度判别直角三角形 为x+2x=3x,符合勾股定理的逆定理，所以此 中的应用，如求距离、判断三角形形状等问 第二 题；学会将实际问题中的几何图形转化为直 章复习与小结 例1 下列各组数中，以它们为边的三角形三角形是直角三角形；C.设三边长分别为9x 角三角形，利用勾股定理及其逆定理求解 第6期3.1确 不是直角三角形的是 ( ）40x,41x(x≠0)，因为(9x)2+(40x)2= 定位置；3.2平面直 A.1.5,2,3 B.7,24,25 (41x)2,符合勾股定理的逆定理，所以此三角形 形的顶点上，则∠BAC的度数是 角坐标系 C.6,8,10 D.3,4,5 是直角三角形；D.根据三角形内角和定理可求 A.309 B.36° C.459 D.60° 第7期3.3轴 解析：要判断所给的一组线段能否组成直得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是 对称与坐标变化；第 角三角形，只要看两条较短线段长的平方和是直角三角形.故选D. 三章复习与小结 否等于最长线段的平方即▣. 方法三、已知三角形三边长满足的关系式 第8期4.1函 A.1.52+22=6.25≠32，不能构成直角三判别直角三角形 数；4.2认识一次函 角形，故本选项符合题意；B.72+242=625= 例3若三角形的三边长a,b,c满足1c2- 数：4.3一次函数的 a2-21+(a-b)2=0,则此三角形的形状是 图象；4.4一次函数 252,能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 的应用 C.62+82=100=102,能构成直角三角形，故本 解析：连接BC,先分别算出△BAC三边长 第9期 第四 选项不符合题意；D.32+42=25=52,能构成直 解析：根据绝对值和平方的非负性以及勾度的平方，再运用勾股定理的逆定理得出 章复习与小结 角三角形，故本选项不符合题意故选A 股定理的逆定理即可解答 △BAC是等腰直角三角形，进而得出∠BAC的 第10期期中 方法二、已知三角形的对应比判别直角三 因为1c2-a2-b21+(a-b)2=0,所以c2度数. 复习 角形 a2-b2=0,且a-b=0.所以c2=a2+b2, 如图2，连接BC.因为每个小正方形的边长 第11期5.1认 例2 满足下列条件的三角形中，不是直角 且a=6.所以此三角形是等腰直角三角形.故都是1，所以AB2=12+32=10,CB2=12+32 识二元一次方程组； 三角形的是 填等腰直角三角形， =10,AC2=22+42=20.因为10+10=20，所 5.2二元一次方程组 A.三内角的度数之比为1：2：3 方法四、已知网格信息判别直角三角形 以AB2+CB2=AC2.又因为AB2=CB,所以 的解法 B.三边长的平方之比为1：2：3 例4如图1，在4×4的正方形网格中，每△BAC是等腰直角三角形.所以∠BAC=45° 第12期5.3二 C.三边长之比为9：40：41 个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方 故选C 元一次方程组的应用 。十十+十 第13期5.4二 在实际问题中，有一些题目并不具备可利 元一次方程与一次函 题型空间 用勾股定理的模型，要想顺利地解答题目，首先 数；5.5三元一次方程 需根据实际问题构造直角三角形，现举例分析 组 三角形铺路 如下，供同学们参考 第14期第五 勾股定理解顺 章复习与小结 例1《九章算术》是中国 传统数学的重要著作之一，奠 ○江西 第15期6.1平 张浩然 均数与方差；6.2中位 定了中国传统数学的基本框 例2如图2是高空 所以∠AF0=∠0GC=90° 数与箱线图 架.如图1是其中记载的一道 秋千的示意图，小明从起 因为∠A0C=∠AOF+∠C0G=90° 第16期6.3哪 “折竹”问题：“今有竹高一丈， 始位置点A处绕着点0经 ∠AOF+∠0AF=90°， 个团队收益大；第六 末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：过最低点B,最终荡到最高 所以∠COG=∠OAF, 章复习与小结 根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处 点C处.若∠A0C=90°， 在△AOF和△OCG中，因为∠AF0= 第17期7.1认 折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离点A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD= ∠OGC,∠OAF=∠C0G,A0=OC 识证明：7.2平行线的 地面多高？答：折断处离地面 尺高 4米，则点C与点B的高度差CE为」 米 所以△AOF≌△OCG(AAS): 证明 分析：本题考查了勾股定理的应用，解题的 分析：过点A作AF⊥OB于点F,过点C作 所以OG=AF=BD=4米. 第18期第七 关键是根据实际问题抽象出数学图形.竹子折 CG⊥OB于点G.根据“AAS”可判定△AOF≌ 设OA=x米，则OF=(x-1)米 章复习与小结 断后刚好构造出一个直角三角形，利用勾股定 △OCG,再根据全等三角形的性质可得OG= 在Rt△AF0中，由勾股定理，得AF2+OF2 第19~26期 理即可求解 4米.在RL△AF0中，根据勾股定理可求得A0,=0A,即42+(x-1)2=x2. 巩固提高（合刊） 解：设折断处离地面x尺高， 最后根据线段的数量关系即可求出点C与，点B 解得x=8.5. 根据题意，得x2+32=(10-x)2 的高度差CE. 所以0B=OA=8.5米. 解得x=4.55 解：如图2，过点A作AF1OB于点F,过点 所以CE=GB=OB-OG=4.5米 故填4.55 C作CG⊥OB于点G 故填4.5. 2 素养专练 数理极 3.由四个全等的直角三角形 跟踪训练 拼成如图2所示的“赵爽弦图” 图中正方形ABCD的面积是10， GENZONGXUNLIAN AH=3,则正方形EFGH的面积 1.1探索勾股定理 是 图2 1.1.1认识勾股定理 4.学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股 定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定 屋础训练 理的方法：如图3-①，点B是正方形ACDE边CD 1.如图1，在由边长为1个单位长度的小正方 上一点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别 1,3勾股定理的应用 形组成的网格中，点A,B都是格点（即网格线的交 为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图 点)，则线段AB的长为 ( ) 3-②所示，该同学用两图的面积不变证明了勾 垦础训练 A.2 B.5 C.6 D.7 股定理。请你写出该方法证明勾股定理的过程。 1.安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形 较为复杂.如图1，在A村与B村之间有一座大山， 原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C 90°)绕过村庄间的大山，打通A,B间的隧道后，就 可直接从A村到B村.若AC=9km,BC=12km, 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 2 () 2.如图2，所有涂色四边形都是正方形，所有 A.4 km B.5 km C.6 km D.7 km 三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C的面积 1 分别为3,9,6，则正方形D的面积为 3.如图3，已知AC= BC,则数轴上点B所表示的 5.如图4，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯 数是■ 图2 子AC斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面 4.如图4，在△ABC中， 2米，即AB=2米，梯子底端距右墙底端1.5米， 2.如图2，有两棵树，一棵高12m,另一棵高 ∠BAC=90°，AD⊥BC,垂 图3 6m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞 即BC=1.5米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠 足为D.已知BD=3,AB=5.设CD长为x 到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 () 在左墙时，J顶端距离地面2.4米，即DE=2.4米 (1)根据勾股定理，得AC2= (用含 A.8 m B.10m C.12 m D.14 m 求小巷的宽度 x的代数式表示，结果需化简)； 3.如图3，有一个由传感器控制的灯A,要装 (2)求x的值. 在门上方的墙上，且离地高4.5m,任何东西只要 与该灯相距5m及5m以内，灯就会自动发光，则 一名身高1.5m的学生(CD）在灯刚好发光时离 墙的距离CE为， 1.2一定是直角三角形吗 图3 图4 能刀提高 4.如图4所示的圆柱形玻璃杯高为10cm,底 5.若一直角三角形的两边长分别为12和5， 垦础训练 面周长为16cm,在杯内离杯底4cm的点C处有 则第三边长的平方为 1.下列各组数中，是勾股数的是 ( 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的点A处， A.1,1,2 B.0.3.0.4.0.5 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm. 1.1.2勾股定理的验证及其计算 C.5,12,13 D.9,15,17 5.如图5，一架无人机旋停在空中点A处，点 2.一个零件的形状如 D 8 A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地 厚础训练 图1所示，按规定这个零 面上点C(点B,C处于同一水平面上)之间的距离 1.我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算 件中的∠A和∠BDC都应 4C=25米，且BC=15米. 经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾 为直角，将量得的这个零 (1)求∠ABC的度数； 股定理的方法.下面四幅图中，不能用面积证明勾 件各边尺寸标注在图1 (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行 股定理的是 中，由此可知 至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上， A.∠A符合要求 连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的 B.∠BDC符合要求 长) C.∠A和∠BDC都符合要求 D.∠A和∠BDC都不符合要求 3.在△ABC中，AB=8cm,BC=15cm,AC 2.如图1，长为24cm =17cm,则△ABC的面积等于 cm2. 的橡皮筋放置在地面上， 4.若一个三角形的三边长分别是m+1,m+ 固定两端点A和B,然后把 2,m+3,则当m= 时，它是直角三角形 中点C向上拉升5cm至 图 5.已知：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB= 点D,则橡皮筋被拉长了 ）90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13. A.2 cm B.3 cm (1)求∠CAD的度数； 数理报社试题研究中心 C.4 cm D.5 cm (2)求四边形ABCD的面积 (参考答案见3期) 数理极 素养•测评 ●】 17.（(10分)如图10，某一个小岛的周围有环 同步检测 岛暗礁，暗礁分布在以小岛C为圆心，半径r为 23km的圆形区域内.小岛C位于轮船A正西方向 40km处，港口B位于小岛C正北方向30km处.如 TONGBUJIANCE 果轮船沿着直线AB返航至港口B,那么它是否有 【检测范围：1.1~1.3】 触礁的危险？请通过计算说明理由. 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分）》 港口B 题号1 2 34 8 9.若Rt△ABC的三边长为a,b,c,斜边长c= 3,则a2+b2= 答案 10.如图6，在△ABC中，已知AB=AC= 小岛C 轮船A 1.如图1，若正方形A的面积为 5cm,BC=8cm,则BC边上的高为 9,正方形B的面积为4，则正方形C 图10 11.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量 的面积为 ( 得长为12m,宽为9m,对角线为15m,则这个桌面 A.13 B.5 （填“合格”或“不合格”). C.36 D.97 2.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 所对的边，若∠A+∠C=90°，则下面等式成立的 18.(14分)如图11是放在地面上的一个长方 是 体盒子，其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm, 7777777777777 A.a2+b2=2 B.a2-b2=c2 点M在棱AB上，且AM=3cm,点N是FG的中点， 洗手台面 C.a2+c2=b2 D.d2-c2=22 图6 图7 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的两个外表面从点M 3.下列各组数是勾股数的是 ( 12.如图7，是某款自动感应水龙头的示意图，爬行到点N,它需要爬行的最短路程是多少（盒子 A.2,3,4 B.3.4.6 在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D底面妈蚁无法到达)？ C.6,8,10 D.4,6,7 所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感 4.如图2是由四个全等的直角三角形拼接而 应装置.已知出水口D到点C的距离CD为l5cm, 成，其中AE=5,BE=13,则EF2的值是() 出水口D到点E的距离为17cm,且CD⊥AB,则红 A.128 B.64 C.32 D.144 外线感应装置距离洗手台面的高度BE为 cm. 13.被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦 图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图8-① 所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中直角 三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为 图2 图3 c.现将这四个直角三角形无缝隙无重叠地拼接成 5.如图3，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周 附加题⊙ 如图8-②所示图形ABCDEFGH,若该图形的周 长是12m,高5m,要从A点环绕油罐建梯子，正好 长为48,0H=6,则b= (以下试题供各地根据实际情况选用) 到达A的正上方的B点，则梯子最短需要( 1.(10分)项目化学习. A.12mB.13mC.17mD.20m 【项目主题】探究斜三角形三边的数量关系 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 【项目内容】学习了勾股定理后，同学们知道 a,b,c,下列条件中不能判断△ABC是直角三角形 了直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的 的是 平方.数学兴趣小组在此基础上对钝角三角形和 A.∠A+∠B=∠C ① ② 锐角三角形三边的数量关系产生了浓厚的兴趣， 图8 B.b2+c2=a2 14.在△ABC中，若AB=26,AC=30,高AD 准备展开探究 C.a:b:c=5:12:13 =24,则BC的长为 【项目任务】任务一：(1)如图1，△ABC是锐 D.∠A:∠B:∠C=5:12:13 三、耐心解一解（共44分） 角三角形，LA,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,试 7.如图4，长方形纸片ABCD中，AB=3cm, 15.(12分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,比较a2+b与c2的大小 AD=9cm,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重 ∠B,∠C所对的边分别为a,b,c 合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的 (1)若a=9,b=40,求c; 面积为 ( (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值 A.6 cm2 B.8 cm2 D C.10 cm2 D.12 cm 图1 图2 兴趣小组的思路是：如图1，过点A作AD⊥BC 于点D,构造出Rt△ACD和Rt△ABD,设CD=x, 利用勾股定理通过AD相等得到等量关系，最后可 16.(8分)如图9，CD是△ABC的高，已知AD得到结论a2+ c2(填“>”“=”或 =4,BD=1,CD=2,试判断△ABC的形状，并说“<”)； 图4 图5 明理由 任务二：(2)如图2，△ABC是钝角三角形，且 8.如图5，正方形ABCD的边长为a,其面积标 ∠C是钝角，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,猜 记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该 想：a2+2 C2(填“>”“=”或“<”)，并 等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方 说明理由. 形，其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去，若 图9 a S。=22晒，则n的值为 ( A.2024B.2025C.2026D.2027 (下转第4版)