1.1.2 探索勾股定理（2）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

棉南针·课堂优化·八年额上册·数学(BS) 第2课时 探索勾股定理(2) 识 梳 理 1.验证勾股定理 2.勾股定理的简单应用 勾股定理的证明方法有很多，常见的是用 在实际问题中，一般根据题目信息抽象出 直角三角形和正方形通过拼图进行验证.（根据 直角三角形，再运用勾股定理进行计算 同一图形的面积的不同表达方式列出等式，可 3.勾股定理的适用范围 以推导出勾股定理.常见拼图方法如下) (1)钝角三角形：已知三边长a,b,c且c为 最长边，则a2+b c2(填“<”“>”或 “=”); (2)锐角三角形：已知三边长a,b,c且c为 最长边，则a2+b c2(填“<”“>”或 方法 方法 方法三 “=”). 课 后 演 阴影部分的面积为 【基础过关】 9 A.9 B.3 C. D. 9 4 2 知识点①验证勾股定理 1.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了 运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根 据图形直观推论或验证数学规律和公式的方 第2题图 法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验 第3题图 3.如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6， 证数与代数，图形与几何等领域中的许多数 8,分别以其两直角边为直径作半圆，则图中 学公式和规律，它体现的数学思想是 ( 阴影部分的面积为 4.如图是“赵爽弦图”，△ABH、 △BCG、△CDF和△DAE是 四个全等的直角三角形，四边 形ABCD和EFGH都是正 方形.如果AB=10,AH=6,则GE2= A.统计思想 B.分类思想 5.(攀枝花中考)如图是“弦图”的示意图，“弦 C.数形结合思想 D.函数思想 图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周 2.如图，已知以Rt△ABC的三边为斜边分别向 髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的 外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中 数学成就.它由4个全等的直角三角形与一 4。 第一章勾股定耀 个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每7.一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行 个直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边 100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行 为c.请你运用此图形证明勾股定理：a2十b 125km到达C岛，A港到航线BM的最短距 =c2. 离是60km. (1)若轮船速度为25km/h,求轮船从C岛沿 CA返回A港所需的时间. (2)C岛在A港的什么方向？ M 知识点②勾股定理的简单应用 6.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在 如图所示AB所在的直线上建一所图书室，本 社区有两所学校所在的位置在点C和点D 处，CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,已知 AB-25km,CA-15km,DB-10km,试问： 图书室E应该建在距点A多少千米处，才能 使它到两所学校的距离相等？ 8.如图，在北京召开的国际数学大会会标取材 于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它 25 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方 10 形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面 积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较 短的直角边为a,较长的直角边为b,求(a十 b)的值. 5· 指南针·课堂钱化·八年每上臀·数学(BS) 【能力提升】 【核心素养】 9.（泸州中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系 12.如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方 证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如 形纸片ABCD,绕点C顺时针旋转90°得到长 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三 方形FGCE,连接AF.通过用不同方法计算 角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写 设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边 出验证的过程， 长为b.若ab=8,大正方形的面积为25，则小 正方形的边长为 10.如图，直线1上依次放着七个正方形，已知斜 放置的三个正方形的面积分别是1,2,3，正 放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S, S4,则S1+S2+S3+S4= 11.如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建 一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通 道，已知长方形的长AB=10米，宽BC=2.6 米.现有一辆卡车装满家具后，高8米，宽6 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个 通道？ ▣6指南针·课堂优化·八年 指南针·课堂优化·几年级上册·数学同步答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理(1) 知识梳理 1.Sa十S6=S。2.勾股a2+b=c2a2b 课后演练 1.D2.D3.D4.85.256.D7.B8.(1)13(2)249.BC=34 10.BC=1411.(1)BC=6(2)斜边AB边上的高是4.812.613.1414.FC=3cm15.略 第2课时探索勾股定理(2) 知识梳理 3.(1)< (2) 课后演练 1.C2.D3.244.85.证明略 6.图书室E应建在距点A10km处，才能使它到两所学校的距离相等 7.(1)3h(2)C岛在A港的北偏西42°8.499.310.4 11.卡车不可以通过这个通道12.证明略 2一定是直角三角形吗 知识梳理 1.a2十b=c2直角2.正整数 课后演练 1.C2.B3.C4.25.等腰直角三角形 6.(1)5(2)△ABC为直角三角形7.B8.249.S△4c=84 10.解：验证：以40、41和9为边长的三角形是直角三角形， 理由：，92+402=81+1600=1681， 412=1681,即92+402=412 .以40、41和9为边长的三角形是直角三角形； 探究：由题意，.m十(m十1)=n2, ∴.n2=2m+1, .n2+m2=2m+1+m2=m2+2m+1=(m+1)2, ∴.以m、m十1和n为边长的三角形是直角三角形， ∴.“发现”中的结论正确。 1.智2.3613.m14.(1)证明略(2DF=4 15.(1)8,15,17和9,40,41是完美勾股数(2)a=97+30 ,a=31,b=4 7 3勾股定理的应用 知识梳理 1.线段2.平面两点之间线段最短勾股直角 课后演练 1.C2.413.124.这棵树高15m5.C6.C7.B 173 级上册·数学参考答案(BS) 8.这只壁虎至少应爬行13m才能捕捉到害虫9.C10.13cm11.2.5s 12.125cm13.2014.2515.原标杆的高度为5米16.最短路线长为5 回顾与思考 知识回顾 1.直角=钝角>锐角< 课后演练 1.D2.D3.B4C5.C6.25或77.号8北偏东50 9.(x一6.8)2十x2=10210.该河的宽度BC为75米11.这辆小汽车超速了 12.6m13.1614.215.两点运动5s时，△APQ是直角三角形 第二章实数 1认识实数 知识梳理 1.整数分数有限小数无限循环小数2.无限不循环小数整数分数3.夹逼法 5.有理数无理数6.(1)整数分数无理数(2)正有理数正整数正分数正无理数 7.一一对应 课后演练 1.A2.C3.7 4-1-31,0008,2号，-3.i,1.34343434 --310,0.8,2号，-3.i,1.34343434…受，1.10101001… 5.D6.3(答案不唯一，3,4,5任选其一即可) 7.(1)一2，一1,0,1,2,3(2)1,2,3,4,5,6(3)-1,0,1(4)W5(答案不唯一) 8.C9.(1)01(2)00和-1 10.⑦⑧⑨①⑤①①②④⑥⑧⑩①②③⑤⑨①⑤⑦⑧⑨①②③④⑥0② 11.D12.C13.1-√714.415.1016.194 17.(1)√16=4W4=2,则y=√2 (2)存在，当x=0或1时，始终输不出y值，若输入负数，始终输不出y值，综上所述，x=0或1或 负数 (3)25或36或49或64 18.(1)原式=12(2)m-n的平方根为士√9=士3. 19.(1)梯子底端B外移的距离为（√21一4）m(2)梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 1.算术平方根√a根号a2.(1)a≥0(2Wa≥03.正数0负数 课后演练 1.D2D3片7（②1.4-7481 513(20.2(3号（号（⑤10(6片(）3(8960.5m7.C8.B 9.1)≥-3(2)k>110.711.312.0或113.}14.V匠+ 15.216.(1)1<c<7(2)△ABC的面积为6 174