专题05 立方根实数与近似值 讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦立方根、实数与近似值核心知识点，系统梳理从有理数到实数的数系扩充脉络，涵盖立方根的定义、性质及公式，实数的概念（有理数与无理数统称）、与数轴的一一对应关系，以及近似值的精确度判定，构建完整的数系学习支架。 该资料设计19个分级题型覆盖概念理解、计算应用等，结合易错点提示与清晰解题思路，如通过华罗庚猜数案例培养数感与推理意识，以问题情境发展抽象能力与运算能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题05立方根.实数与近似值精讲学案 课堂核心立意 完成数系从有理数到实数的扩充，认识立方根、实数、近似数的相关概念；对比区分立方根与平方根的差异，掌握实数基本性质、简单运算与近似数精确度判定；建立实数与数轴的对应关系，培养数感，养成近似数表述严谨、审题细致的习惯。 立方根定义： 若x3=a，则x是a的立方根，记作，根指数3不能省略。 立方根性质： 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；任意实数都有唯一立方根。 立方根核心公式 ；开立方和立方互为逆运算。 实数定义： 有理数与无理数统称实数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、、有规律但不循环的无限小数。 实数与数轴： 实数和数轴上的点一一对应。 实数相关性质： 实数范围内相反数、绝对值、倒数定义不变；有理数运算法则、运算律在实数范围内依然成立；可借助数轴比较实数大小。 准确数与近似数： 准确数是和实际完全相符的数，近似数是接近准确数的数，常由测量、估算得到。 近似数精确度： 四舍五入到哪一位，就称精确到哪一位；小数末尾的0决定精确度，不可随意去掉；科学记数法、带单位的近似数，要还原后判断末位所在数位。 ①混淆平方根与立方根，负数没有平方根，但负数有立方根； ②误认为带根号的数都是无理数，如=2属于有理数； ③忽略立方根根指数3不能省略； ④分不清近似数1.5与1.50，二者精确度不同； ⑤科学记数法、带单位近似数直接看表面数字判断精确度，出现错误。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根概念理解 ★★ 题型二 求一个数的立方根 ★★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★★ 题型四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型五 立方根的实际应用 ★★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 无理数 ★★ 题型八 无理数的大小估算 ★★★ 题型九 无理数整数部分的有关计算 ★★★★ 题型十 实数概念理解 ★★ 题型十一 实数的分类 ★★ 题型十二 实数的性质 ★★★ 题型十三 实数与数轴 ★★★ 题型十四 实数的大小比较 ★★★ 题型十五 程序设计与实数运算 ★★★★ 题型十六 计算器 —— 平方根和立方根 ★★ 题型十七 求一个数的近似数 ★★★ 题型十八 求近似数的精确度 ★★★ 题型十九 近似数推断取值范围 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★基础巩固；★★★中档提升；★★★★拔高拓展 题型一： 立方根概念理解 解题思路：①紧扣x3=a判断立方根；②区分平方根、立方根被开方数取值范围；③牢记立方根根指数3不可省略。 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 2．若，则__________ 3．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 题型二：求一个数的立方根 解题思路：①借助立方与开立方互逆关系求解；②正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0；③结果书写带上根指数。 4．的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 5．对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（   ） A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是 6．跟华罗庚学猜数：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：①，，又，，能确定59319的立方根是个两位数．②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出195112的立方根是________． 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：①对已知立方根进行立方运算；②x是a的立方根，则a=x3；③注意负数立方结果仍为负数。 7．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 8．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 9．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 题型四：与立方根有关的规律探索 解题思路：①观察被开方数小数点移动位数；②对比立方根小数点对应移动规律；③套用规律推导，最后代入验证。 10．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 11．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 12．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 题型五：立方根的实际应用 解题思路：①根据实际问题列立方方程；②开立方求出未知数；③结合实际情境舍去不符合题意的值。 13．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 14．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 15．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：①分别回忆算术平方根、立方根的性质；②注意算术平方根被开方数非负；③联立条件列式计算，做完检验。 16．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 17．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 18．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 题型七：无理数 解题思路：①先化简根式，再做判断；②依据“无限不循环小数”识别无理数；③区分三类常见无理数，排除有限、循环小数。 19．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 20．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 21．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型八：无理数的大小估算 解题思路：①找相邻完全平方/立方数确定范围；②逐步缩小逼近近似值；③估算后反向平方或立方核验。 22．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 23．若为正整数，且满足，则的值为______． 24．大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 25．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 题型九：无理数整数部分的有关计算 解题思路：①估算无理数在哪两个整数之间，确定整数部分；②原数减去整数部分得到小数部分；③代入代数式求值计算。 26．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 27．若，则二次根式最接近的整数是__________． 28．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 29．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 题型十：实数概念理解 解题思路：①明确有理数、无理数共同构成实数；②辨析实数相关说法对错，举反例排除错误选项；③注意带根号不一定是无理数。 30．若实数满足，则代数式的值为______． 31．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 32．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．若实数，同时满足，，则的值是_________． 题型十一：实数的分类 解题思路：①先把所有数化简；②区分有理数（有限、无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）；③按定义归入对应集合。 34．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 35．实数，，，，，，（相邻两个之间依次多一个），其中无理数有（     ）个． A． B． C． D． 36．下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 题型十二：实数的性质 解题思路：①实数范围内相反数、绝对值、倒数规则同有理数；②判断实数正负，再化简绝对值；③0没有倒数，注意特殊值。 37．实数的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 38．若实数x，y同时满足，则的值为________ 39．已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十三：实数与数轴 解题思路：①实数与数轴上的点一一对应；②读懂数轴判断数的正负、大小；③利用数轴位置化简绝对值式子。 40．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 41．数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 42．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 43．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 题型十四：实数的大小比较 解题思路：①数轴上右边的数大于左边；②正数大于0，负数小于0；③可平方、立方或者估算近似值比较。 44．比较大小：________（填“”“”或“”）． 45．在实数，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 46．比较大小：_____(填，， 47．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型十五：程序设计与实数运算 解题思路：①读懂程序框图，列出运算式子；②按照实数运算法则分步计算；③满足循环条件就重复运算，不满足输出结果。 48．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是81，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．4 49．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 50．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值是27，则输出y的值为（   ） A． B． C． D．3 题型十六：计算器 —— 平方根和立方根 解题思路：①熟悉计算器开平方、开立方按键；②按顺序输入被开方数；③按题目要求保留相应小数位数。 51．利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 52．对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 53．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 题型十七：求一个数的近似数 解题思路：①找准要精确到的数位；②观察后一位数字进行四舍五入；③表示精确度的末尾0不能随意删去。 54．用四舍五入法按要求对1.06042取近似值，其中正确的是（   ） A．1.0（精确到0.1） B．1.061（精确到千分位） C．1.06（精确到0.01） D．1.0605（精确到万分位） 55．用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 56．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似值不正确的是（    ） A．（精确到百分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．27289（精确到千位） 题型十八：求近似数的精确度 解题思路：①普通小数直接看末位数字数位；②科学记数法、带单位先还原原数；③看最后有效数字落在哪个数位。 57．关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 58．一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 59．下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型十九：近似数推断取值范围 解题思路：①分清四舍、五入两种边界情况；②最小值是末位减1再进一，最大值不包含；③写成ax＜b的形式。 60．近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 61．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 62．近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．已知一个正数m的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 2．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 3．解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 4．设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： (1)当时，是有理数； (2)当时，是无理数． 5．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 6．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 7．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 8．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05立方根.实数与近似值精讲学案 课堂核心立意 完成数系从有理数到实数的扩充，认识立方根、实数、近似数的相关概念；对比区分立方根与平方根的差异，掌握实数基本性质、简单运算与近似数精确度判定；建立实数与数轴的对应关系，培养数感，养成近似数表述严谨、审题细致的习惯。 立方根定义： 若x3=a，则x是a的立方根，记作，根指数3不能省略。 立方根性质： 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；任意实数都有唯一立方根。 立方根核心公式 ；开立方和立方互为逆运算。 实数定义： 有理数与无理数统称实数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、、有规律但不循环的无限小数。 实数与数轴： 实数和数轴上的点一一对应。 实数相关性质： 实数范围内相反数、绝对值、倒数定义不变；有理数运算法则、运算律在实数范围内依然成立；可借助数轴比较实数大小。 准确数与近似数： 准确数是和实际完全相符的数，近似数是接近准确数的数，常由测量、估算得到。 近似数精确度： 四舍五入到哪一位，就称精确到哪一位；小数末尾的0决定精确度，不可随意去掉；科学记数法、带单位的近似数，要还原后判断末位所在数位。 ①混淆平方根与立方根，负数没有平方根，但负数有立方根； ②误认为带根号的数都是无理数，如=2属于有理数； ③忽略立方根根指数3不能省略； ④分不清近似数1.5与1.50，二者精确度不同； ⑤科学记数法、带单位近似数直接看表面数字判断精确度，出现错误。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根概念理解 ★★ 题型二 求一个数的立方根 ★★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★★ 题型四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型五 立方根的实际应用 ★★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 无理数 ★★ 题型八 无理数的大小估算 ★★★ 题型九 无理数整数部分的有关计算 ★★★★ 题型十 实数概念理解 ★★ 题型十一 实数的分类 ★★ 题型十二 实数的性质 ★★★ 题型十三 实数与数轴 ★★★ 题型十四 实数的大小比较 ★★★ 题型十五 程序设计与实数运算 ★★★★ 题型十六 计算器 —— 平方根和立方根 ★★ 题型十七 求一个数的近似数 ★★★ 题型十八 求近似数的精确度 ★★★ 题型十九 近似数推断取值范围 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★基础巩固；★★★中档提升；★★★★拔高拓展 题型一： 立方根概念理解 解题思路：①紧扣x3=a判断立方根；②区分平方根、立方根被开方数取值范围；③牢记立方根根指数3不可省略。 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 2．若，则__________ 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根和立方根定义，幂的运算法则，是解题的关键． 由已知得，得，即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故答案为：4． 3．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 题型二：求一个数的立方根 解题思路：①借助立方与开立方互逆关系求解；②正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0；③结果书写带上根指数。 4．的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 5．对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（   ） A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再结合相关定义判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的结果没有平方根和算术平方根，立方根为． 6．跟华罗庚学猜数：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：①，，又，，能确定59319的立方根是个两位数．②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出195112的立方根是________． 【答案】 【分析】按照题干给出的方法，依次确定的立方根的位数，个位数字和十位数字，即可得到结果. 【详解】解：，，又， ， 能确定的立方根是个两位数； 的个位数是，又， 能确定的立方根的个位数是； 划去后面的三位得到数，而，则， ∴， ∴能确定的立方根的十位数是， ∴的立方根是. 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：①对已知立方根进行立方运算；②x是a的立方根，则a=x3；③注意负数立方结果仍为负数。 7．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 8．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 9．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 题型四：与立方根有关的规律探索 解题思路：①观察被开方数小数点移动位数；②对比立方根小数点对应移动规律；③套用规律推导，最后代入验证。 10．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 11．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 12．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 题型五：立方根的实际应用 解题思路：①根据实际问题列立方方程；②开立方求出未知数；③结合实际情境舍去不符合题意的值。 13．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 14．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 15．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 题型六：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：①分别回忆算术平方根、立方根的性质；②注意算术平方根被开方数非负；③联立条件列式计算，做完检验。 16．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 17．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 18．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 题型七：无理数 解题思路：①先化简根式，再做判断；②依据“无限不循环小数”识别无理数；③区分三类常见无理数，排除有限、循环小数。 19．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 20．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【答案】，， 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断． 【详解】解：， 、、、、、0、中，无理数有，，． 21．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 题型八：无理数的大小估算 解题思路：①找相邻完全平方/立方数确定范围；②逐步缩小逼近近似值；③估算后反向平方或立方核验。 22．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 23．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 24．大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 25．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：C． 题型九：无理数整数部分的有关计算 解题思路：①估算无理数在哪两个整数之间，确定整数部分；②原数减去整数部分得到小数部分；③代入代数式求值计算。 26．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 27．若，则二次根式最接近的整数是__________． 【答案】35 【分析】根据已知先求出的值，通过比较相邻整数的平方估算的大小，得到最接近的整数． 【详解】解：， ， ∴， ，，且， ， ，，， 最接近的整数是． 28．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 29．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的估算，通过估算的值，确定的整数部分a 和小数部分b，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，即 ， ∴ ， ∴整数部分，小数部分 ， ∴ ． 故选：C． 题型十：实数概念理解 解题思路：①明确有理数、无理数共同构成实数；②辨析实数相关说法对错，举反例排除错误选项；③注意带根号不一定是无理数。 30．若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 【详解】解：∵， ， 将代入得． 31．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 32．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 33．若实数，同时满足，，则的值是_________． 【答案】 【分析】对分两种情况进行讨论，解方程组代入求值即可． 【详解】解：对于， 当时，， 解方程组，解得， ； 当时，， 解方程组，解得， ， 不存在这种情况， 故的值是2． 题型十一：实数的分类 解题思路：①先把所有数化简；②区分有理数（有限、无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）；③按定义归入对应集合。 34．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，是正整数，属于正有理数； 是正分数，属于正有理数； ，是正无限循环小数，属于正有理数； 既不是正数，也不是负数，不属于正有理数； 是负数，不属于正有理数； 是无理数，不属于正有理数； 综上，正有理数共有5个． 35．实数，，，，，，（相邻两个之间依次多一个），其中无理数有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再根据无理数的定义逐一判断各数． 【详解】解：是分数，、是整数，均为有理数， ，，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数， 故无理数共个． 36．下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ，，，（小数部分由相继的非负整数组成）都是无限不循环小数，属于无理数， 故无理数共个． 题型十二：实数的性质 解题思路：①实数范围内相反数、绝对值、倒数规则同有理数；②判断实数正负，再化简绝对值；③0没有倒数，注意特殊值。 37．实数的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为． 38．若实数x，y同时满足，则的值为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据绝对值的非负性可得，据此分和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴， 解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 39．已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 题型十三：实数与数轴 解题思路：①实数与数轴上的点一一对应；②读懂数轴判断数的正负、大小；③利用数轴位置化简绝对值式子。 40．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置确定，的取值范围，利用绝对值的性质即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知，，，且， 所以 ． 41．数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为，且， ∴， ∵点C在数轴正半轴上，到原点的距离等于的长度， ∴点C表示的数为. 42．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 43．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点应在点与点之间． 题型十四：实数的大小比较 解题思路：①数轴上右边的数大于左边；②正数大于0，负数小于0；③可平方、立方或者估算近似值比较。 44．比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正数的大小，可将两数平方后比较平方结果的大小，平方大的原数越大． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 两个正数，平方大的原数越大， ∴ ． 45．在实数，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于一切负数， ∴ 最小的数在和中，估算得，即， ∵，， ， ∴， 整理得，因此最小的数是． 46．比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 47．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 题型十五：程序设计与实数运算 解题思路：①读懂程序框图，列出运算式子；②按照实数运算法则分步计算；③满足循环条件就重复运算，不满足输出结果。 48．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是81，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】计算81的算术平方根，若为无理数，则输出，若为有理数则继续取算术平方根判断，据此求解即可． 【详解】解：是有理数， 是有理数， 不是有理数，故输出的y的值为． 49．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 50．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值是27，则输出y的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可． 【详解】解：若开始输入的的值是， 则其立方根为，是有理数， 则的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出． 题型十六：计算器 —— 平方根和立方根 解题思路：①熟悉计算器开平方、开立方按键；②按顺序输入被开方数；③按题目要求保留相应小数位数。 51．利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器—平方根和立方根，根据无理数运算中计算器的使用法则可知，是先是，再按8，是先按键，再按，再按6，即可作答． 【详解】解：利用计算器求的值，其按键顺序正确的是， 故选：A． 52．对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 【答案】0 【分析】本题考查的是计算器的使用，先根据题意列出算式，得出计算结果即可． 【详解】解：， 故答案为：． 53．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型十七：求一个数的近似数 解题思路：①找准要精确到的数位；②观察后一位数字进行四舍五入；③表示精确度的末尾0不能随意删去。 54．用四舍五入法按要求对1.06042取近似值，其中正确的是（   ） A．1.0（精确到0.1） B．1.061（精确到千分位） C．1.06（精确到0.01） D．1.0605（精确到万分位） 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的近似数，根据四舍五入法，对1.06042取近似值，需根据精确度看下一位数字，决定舍入，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、（精确到0.1）；原结论错误，不符合题意； B、（精确到千分位）；原结论错误，不符合题意； C、（精确到0.01）；原结论正确，符合题意； D、（精确到万分位）；原结论错误，不符合题意； 故选C． 55．用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 【答案】 【分析】先根据题意得出第二大的数，再将改写成亿，最后根据“四舍五入法”求近似数即可． 【详解】解：由题意得，第二大的数为， 亿，保留两位小数亿． 故答案为：，． 56．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似值不正确的是（    ） A．（精确到百分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．27289（精确到千位） 【答案】C 【分析】本题考查了四舍五入法取近似值． 根据四舍五入规则，精确到某一位时，需看下一位数字是否大于等于5，决定是否进位．逐项检查即可． 【详解】解：A． （精确到百分位），原说法正确； B． （精确到千分位），原说法正确； C． （精确到），原说法错误； D． 27289（精确到千位），原说法正确； 故选：C． 题型十八：求近似数的精确度 解题思路：①普通小数直接看末位数字数位；②科学记数法、带单位先还原原数；③看最后有效数字落在哪个数位。 57．关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 【答案】D 【分析】根据定义判断即可，四舍五入到哪一位，就说明近似数精确到哪一位，有效数字是从左边第一个不为0的数字起，到末位为止的所有数字． 【详解】解：∵近似数的末位数字在百分位，从左边第一个非零数字起共有，，三个数字， ∴精确到百分位，有位有效数字． 58．一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 59．下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，根据近似数最后一位数字所在的数位确定精确度. 【详解】解：∵ 近似数的最后一位在百分位，∴ 精确到百分位，不是个位，故①错误； ∵ 近似数精确到十分位，精确到百分位，∴ 精确度不同，故②错误； ∵ 近似数万中，最后一位对应万，即，∴ 精确到百位，故③正确； ∵ 近似数的最后一位在十分位，∴ 精确到十分位，故④正确； ∴ 正确的说法有种， 故答案选：C． 【点睛】判断近似数的精确度时，需注意单位转换和最后一位数字所在的数位. 题型十九：近似数推断取值范围 解题思路：①分清四舍、五入两种边界情况；②最小值是末位减1再进一，最大值不包含；③写成ax＜b的形式。 60．近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． 61．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 62．近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和准确数，掌握近似数和准确数的定义是解题关键．近似数可能是由原数“四舍”得到的，也可能是“五入”得到的，若是“四舍”得到的，则原数的十分位上是0，百分位上的数小于5，据此进行解答即可． 【详解】解：结合四舍五入法取近似值的方法可知：只有大于等于小于的数，经过四舍五入才能得，所以a的范围是：． 故选：C． 解答题 1．已知一个正数m的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得到，求得a的值，继而得到正数m，再计算立方根即可； 【详解】解：正数m的两个不同的平方根分别为和， ， 解得， ， ， ． 故的立方根是． 2．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 3．解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】（1）先化简方程，再开平方求解即可． （2）移项得到立方式，再开立方求解即可． （3）根据平方根和立方根的定义求出，，估算得到整数，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两边同除以得， 开平方得， 解得，． （2） 移项得 开立方得 解得． （3）解：由题意得，解得， ，解得． 因为，所以的整数部分． 代入得． 4．设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： (1)当时，是有理数； (2)当时，是无理数． 【答案】(1)解：有意义， ． 已知，分两种情况讨论： ① 当时， ． ， 分子， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． ② 当时， ， ， ， ， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． 综上所述，当时，是有理数． (2)解：假设是有理数， ，， ， 整理得， 均为有理数， 和都是有理数， 若， 则是有理数，与是无理数矛盾， ， ，即， ， ， ，与已知矛盾， 假设不成立，即当时，是无理数． 【分析】（1）把变形，再由，根据分式有意义的条件，分和两种情况进行讨论，从而得出y是有理数； （2）假设是有理数，把变形，再由，以及，，，都是有理数，推出x是有理数，与已知矛盾，进而得出y为无理数． 【详解】（1）略 （2）略 5．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【答案】 在数轴上表示各数如图： 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由数轴可知：． 6．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 7．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格， 理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1） 略 （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 8．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $