专题03 实数（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”专题，系统梳理无理数与实数的概念、分类，实数与数轴的一一对应关系，实数的性质及运算（含估算、大小比较、计算器操作），构建从有理数到无理数再到实数应用的完整学习支架。 资料通过分层题型（典例+变式+巩固+强化）设计，以无理数识别辨析培养抽象能力，以估算范围题发展几何直观，以实际应用题（如扇面包边）强化应用意识，助力教师授课与学生课后查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

专题03 实数 1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类、实数与数轴上的点一一对应。 2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立。 3、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小，培养估算意识；理解用“无限逼近或两端逼近”的思想确定无理数的取值范围。 4、会用计算器求平方根和立方根，熟练使用计算器进行实数运算。 5、运用有理数的相关性质和运算顺序，解决实数的相关运算，体会运算的一致性。 6、熟练运用实数的相关运算工具解决生活中的实际问题。 1、有理数与无理数 1） 有限 小数和 无限循环 小数都称为有理数。 2） 无限不循环 小数又叫无理数。 3）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….。 估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ 两边逼近法 ”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 2、实数： 有理数 和 无理数 统称为实数。 3、实数的分类 实数 实数 4、实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用 数轴 上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 实数 。故实数与数轴上的点 一 一 对应。 5、实数的性质：有理数的绝对值、倒数、相反数的意义、有理数的运算法则在 实数 范围内仍然使适用。 6、使用计算器进行实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）的基本操作步骤： 1）‌开机准备（按‌ON）；2）‌输入第一个数字；3）选择运算符；4）输入第二个数字；5）执行计算（即按“=”）并得出结果；6）计算完成后。 注意： 1）2ndF键相当于SHIFT键‌，用于激活按键的第二功能。如：使用立方根就需要先SHIFT键或2ndF键。 2）若需输入平方根，则需要先按根号键，再按具体数字；若需输入立方根，则需要先SHIFT键，再按根号键，最后按具体数字即可。 题型01 无理数的相关概念与识别 【典例】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①同位角相等；②的算术平方根是；③无限小数都是无理数；④带根号的数都是无理数；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）下列实数中，是无理数的是（    ） A．3 B． C． D．1.732 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在，，，（每个之间依次增加个），，中，无理数的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．所有的无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．是最小的无理数 D．有理数能用分数表示，而无理数不能 【变式4】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在实数，，，，…，，中，无理数有 个． 题型02 实数的概念及实数的分类 【典例】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中： ①  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦ 正实数集合{_____________________________________________…}； 无理数集合{_____________________________________________…}； 整数集合{_______________________________________________…}； 分数集合{_______________________________________________…}． 【变式2】（25-26七年级下·广东·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： 有理数集合：{____________……}； 无理数集合：{____________ ……}； 整数集合：{____________……}； 分数集合：{____________……}． 【变式3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列数中：①②，③，，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨（每两个2之间依次多一个0）（请填序号） 无理数是___________ 整数是___________ 分数是___________ 题型03 实数的性质 【典例】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式1】（24-25八年级上·成都·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ． 【变式2】（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【变式3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征： 学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边； 学生：它是一个无理数； 学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1． 老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（　） A． B． C． D． 题型04 实数的估算 【典例】（2026·江苏南京·三模）若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2026·江苏南京·二模）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【变式3】（2026·江苏盐城·一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式4】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式5】（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【变式6】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 题型05 实数的大小比较 【典例】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）比较大小：_____ （填空“”，“”，“”）． 【变式1】（25-26七年级下·天津·期中）比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）比较大小：_______（用“>”、“=”、“<”连接）． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______． 【变式4】（2025·安徽淮北·一模）据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，比较大小： 题型06 实数与数轴 【典例】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列命题：①数轴上的点与实数是一一对应关系；②数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数；③两个无理数的和一定是无理数；④有理数和无理数的和一定是无理数．其中对以上四个命题判断正确的是（   ） A．只有①②正确 B．只有③错误 C．①②③④都正确 D．只有②④正确 【变式2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题：①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 题型07 用计算器进行实数的相关运算 【典例】（25-26八年级上·江苏·期中）用计算器进行计算，依次按键 的结果是 ． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【变式2】（24-25八年级下·湖北·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值；(2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·校考期末）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（   ） A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8 【变式4】（2025·山东·校考一模）在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点可以是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型08 实数的混合运算 【典例】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)；(2)；(3)． 【变式1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期中） ． 【变式3】（24-25七年级下·广西南宁·期中）计算：． 【变式4】（24-25七年级下·天津南开·期中）计算：(1) (2) 题型09 程序设计与实数运算 【典例】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ． 题型10 实数运算的实际应用 【典例】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【巩固训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 3．（25-26七年级下·天津和平·期末）如图，一个面积为17的正方形，点落在数轴上对应实数2，将正方形绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，点对应的实数在哪两个整数之间（     ） A．4至5 B．5至6 C．6至7 D．7至8 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在，，，，，中，无理数有________个． 5．（25-26八年级下·四川广元·期中）若其中m是正整数，则m的值是_____． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ． 9．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……）(2)无理数集合：（        ……）(3)负实数集合：（        ……） 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：； （2）求下列等式中的值：． 11．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）计算： (1) (2) 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的立方根是，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【强化训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ． 5．（25-26七年级下·广东韶关·期中）解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 7．（2026·江苏常州·二模）【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小，∴将忽略不计，则．∴．∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 8．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 9．（24-25八年级上·江苏·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数．再设，其中m是整数，就有：，也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则， 两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________， 因为：______________，所以：是一个无理数． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题：(1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得，． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值；②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由。 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数 1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类、实数与数轴上的点一一对应。 2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立。 3、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小，培养估算意识；理解用“无限逼近或两端逼近”的思想确定无理数的取值范围。 4、会用计算器求平方根和立方根，熟练使用计算器进行实数运算。 5、运用有理数的相关性质和运算顺序，解决实数的相关运算，体会运算的一致性。 6、熟练运用实数的相关运算工具解决生活中的实际问题。 1、有理数与无理数 1） 有限 小数和 无限循环 小数都称为有理数。 2） 无限不循环 小数又叫无理数。 3）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….。 估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ 两边逼近法 ”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 2、实数： 有理数 和 无理数 统称为实数。 3、实数的分类 实数 实数 4、实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用 数轴 上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 实数 。故实数与数轴上的点 一 一 对应。 5、实数的性质：有理数的绝对值、倒数、相反数的意义、有理数的运算法则在 实数 范围内仍然使适用。 6、使用计算器进行实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）的基本操作步骤： 1）‌开机准备（按‌ON）；2）‌输入第一个数字；3）选择运算符；4）输入第二个数字；5）执行计算（即按“=”）并得出结果；6）计算完成后。 注意： 1）2ndF键相当于SHIFT键‌，用于激活按键的第二功能。如：使用立方根就需要先SHIFT键或2ndF键。 2）若需输入平方根，则需要先按根号键，再按具体数字；若需输入立方根，则需要先SHIFT键，再按根号键，最后按具体数字即可。 题型01 无理数的相关概念与识别 【典例】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①同位角相等；②的算术平方根是；③无限小数都是无理数；④带根号的数都是无理数；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①同位角相等需两直线平行，否则不一定，故错误；②的算术平方根是，故正确； ③无限不循环小数是无理数，故错误；④带根号的数不一定是无理数，故错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，故正确． ∴真命题为②和⑤，共2个．故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）下列实数中，是无理数的是（    ） A．3 B． C． D．1.732 【答案】C 【详解】解：3，，1.732，是有理数，是无理数．故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在，，，（每个之间依次增加个），，中，无理数的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：是有限小数，是有理数；是整数，是有理数； ，是无理数，故是无理数； （每个之间依次增加个）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数；中是无理数，故是无理数； 故无理数有、（每个之间依次增加个）、，共3个．故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．所有的无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．是最小的无理数 D．有理数能用分数表示，而无理数不能 【答案】D 【详解】解：A、所有的无限不循环小数都是无理数，本选项不符合题意； B、带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，本选项不符合题意； C、没有最小的无理数，本选项不符合题意； D、有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意；故选：D． 【变式4】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在实数，，，，…，，中，无理数有 个． 【答案】 【详解】解：，， 在实数，，，，…，，中，有理数有45个， 无理数有（个），故答案为：． 题型02 实数的概念及实数的分类 【典例】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数，即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中： ①  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦ 正实数集合{_____________________________________________…}； 无理数集合{_____________________________________________…}； 整数集合{_______________________________________________…}； 分数集合{_______________________________________________…}． 【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥ 【详解】解：②，，正实数集合{②，④，…}；无理数集合{③，④，…}； 整数集合{②，⑤，⑦，…}；分数集合{①，⑥，…}． 故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥． 【变式2】（25-26七年级下·广东·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： 有理数集合：{____________……}； 无理数集合：{____________ ……}； 整数集合：{____________……}； 分数集合：{____________……}． 【答案】见解析 【详解】解：有理数集合：； 无理数集合：；整数集合：； 分数集合：． 【变式3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列数中：①②，③，，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨（每两个2之间依次多一个0）（请填序号） 无理数是___________ 整数是___________ 分数是___________ 【答案】见解析 【详解】解：①是负整数；②是负分数，③是无理数，是无理数，⑤是正分数，⑥是正整数，⑦0是整数，⑧是负分数，⑨是无理数， 故无理数是③⑨；整数是①⑥⑦，分数是②⑤⑧，故答案为：③⑨；①⑥⑦，②⑤⑧． 题型03 实数的性质 【典例】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式1】（24-25八年级上·成都·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是，的绝对值是，的倒数是； 故答案为：，，． 【变式2】（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【详解】解：的绝对值是：， ∴的相反数是：，故答案为：，． 【变式3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征： 学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边； 学生：它是一个无理数； 学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1． 老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、在原点的右边，故A不符合题意；B、在数轴上表示这个数的点在原点的左边；它是一个无理数；它的绝对值小于2；它的平方大于1，故B符合题意； C、的绝对值大于2，故C不符合题意；D、是有理数，故D不符合题意；故选：B． 题型04 实数的估算 【典例】（2026·江苏南京·三模）若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】，， ，即 又为正整数 ；的最小值为． 【变式1】（2026·江苏南京·二模）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，∴，即介于和之间． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，，∵正整数a、b分别满足，， ∴，∴，故选：D． 【变式3】（2026·江苏盐城·一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解：∵溢出的水体积为∴该正方体铁块的体积为∴该正方体铁块的棱长为 ∵∴∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 【变式4】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【详解】解：∵的算术平方根是，∴，∴， ∵，∴，即，∵y是的整数部分，∴，∴． 【变式5】（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【答案】 【详解】解：，， 的整数部分为，小数部分． 【变式6】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【详解】解：，，， 的整数部分为4，的小数部分为，故答案为：． 题型05 实数的大小比较 【典例】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）比较大小：_____ （填空“”，“”，“”）． 【答案】 【详解】，， ，，故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·天津·期中）比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【详解】解：（1）比较与 两个分数分母相同，比较分子即可. ，，，， 不等式两边同时减得： ，； （2）比较与 ，， 即； （3）比较与， ，， ，即． 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）比较大小：_______（用“>”、“=”、“<”连接）． 【答案】< 【详解】解：∵，，，∴故．故答案为：<． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______． 【答案】 【详解】解：,，，，故答案为：． 【变式4】（2025·安徽淮北·一模）据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，比较大小： 【答案】 【详解】解：，∵，∴，即，∴， ∴，∴，故答案为：． 题型06 实数与数轴 【典例】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为，， ，，，点表示的数为，故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列命题：①数轴上的点与实数是一一对应关系；②数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数；③两个无理数的和一定是无理数；④有理数和无理数的和一定是无理数．其中对以上四个命题判断正确的是（   ） A．只有①②正确 B．只有③错误 C．①②③④都正确 D．只有②④正确 【答案】B 【详解】解：①：数轴上的点与实数一一对应．正确．每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然． ②：数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数，原说法正确． ③：两个无理数的和一定是无理数．错误．反例：与均为无理数，但它们的和为（有理数）． ④：有理数与无理数的和一定是无理数．正确．假设有理数与无理数的和为有理数，则必为有理数，矛盾．故选：B 【变式2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为，，即， 点在数轴上表示数，点在点的右侧，点表示的数为． 【变式3】（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题：①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：，， ∵是正方形的边长，∴，，答：内部正方形的边长为． ② 题型07 用计算器进行实数的相关运算 【典例】（25-26八年级上·江苏·期中）用计算器进行计算，依次按键 的结果是 ． 【答案】1 【详解】解： 原式．故答案为：1． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值；(2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【答案】(1)；(2)2；(3)0． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴，∴的算术平方根为2； （3）解：由题意得按键表示的是． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·校考期末）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（   ） A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8 【答案】B 【详解】解：∵， ∴最接近的一个是2.6．故选B． 【变式4】（2025·山东·校考一模）在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点可以是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由图知，计算器上计算的是的值，∵2＜＜3， 故选：A． 题型08 实数的混合运算 【典例】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)4 (2)3 (3) 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， ； （2） ． 【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期中） ． 【答案】 【详解】解；，故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式4】（24-25七年级下·天津南开·期中）计算：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 程序设计与实数运算 【典例】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：当时：输入8：，输入2：，输出；故；故选B． 【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数，所以输出的值是．故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ． 【答案】 【详解】解：，∵8不是无理数，∴，∵2不是无理数，∴2的算术平方根式， ∵是无理数，∴，故答案为：． 题型10 实数运算的实际应用 【典例】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)，(2)圆的周长较小 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，由题意得，，， ，，故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，，∴圆的周长较小． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【答案】6 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴，∴故答案为：6． 【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：，即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：，即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵，∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低，∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【巩固训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，故选：． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 【答案】D 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，则此项错误，不符合题意； B、含有根号的数不一定是无理数，如，则此项错误，不符合题意； C、任何实数都有相反数和绝对值，但实数没有倒数，则此项错误，不符合题意； D、任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点，则此项正确，符合题意；故选：D． 3．（25-26七年级下·天津和平·期末）如图，一个面积为17的正方形，点落在数轴上对应实数2，将正方形绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，点对应的实数在哪两个整数之间（     ） A．4至5 B．5至6 C．6至7 D．7至8 【答案】C 【详解】解：由题意得，则点对应的实数为， ，，，则点对应的实数在6至7之间． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【详解】解：∵是整数，属于有理数，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数，是整数，属于有理数，是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 5．（25-26八年级下·四川广元·期中）若其中m是正整数，则m的值是_____． 【答案】3 【详解】解：∵，∴ ， ∵，∴ ，又∵m是正整数，∴． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 【答案】1.5（答案不唯一） 【详解】解：∵a为有理数，∴为有理数， ，∴，∴可以为2.25，即， ∴，∴a的值可为1.5．故答案为：1.5（答案不唯一）． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 【答案】5 【详解】解：依题意得：，故答案为：5． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ． 【答案】 【详解】解：，，，．故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……）(2)无理数集合：（        ……）(3)负实数集合：（        ……） 【答案】(1)①③④⑤⑥(2)②⑦⑧⑨(3)②⑤⑦⑧ 【详解】（1）解：，，有理数集合：①③④⑤⑥，故答案为： ①③④⑤⑥； （2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨，故答案为：②⑦⑧⑨； （3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧，故答案为：②⑤⑦⑧． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：； （2）求下列等式中的值：． 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）解： ； （2）解：， 开平方得：， 解得：或． 11．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：． 【答案】 【详解】解原式 ． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的立方根是，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是4， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【强化训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵，∴；故选：B． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，∴， ∵，∴，∴，∴点C对应的实数是，故选：A． 3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第n（n是整数，且）行从左向右数第个数为，故选：A 4．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，∴， ∴m能取得的最大整数为，故答案为：． 5．（25-26七年级下·广东韶关·期中）解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)不能；理由见解析 【详解】（1）解：设边长为1的小正方形的对角线长为x，由图1得：，∴对角线为， ∴图2中A、B两点表示的数分别为和； （2）解：∵大正方形的面积为，两个小长方形的面积之和为 ∴小正方形的面积为，∴小正方形的边长为； （3）解：不能．理由如下：设长方形纸片的长为，宽为， 依题意，得，解得，此时． ∴不能裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，即，∴（负值舍去）， ∵，即，∴的整数部分是3，∴，∴． 7．（2026·江苏常州·二模）【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小，∴将忽略不计，则．∴．∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 【详解】（1）解：设，其中，则． ∵比较小，∴将忽略不计，则，∴，解得：． ∴．∴的近似值为4.2． (2)解：我认为用形式①得出的近似值误差更小，理由如下： 用形式①得到，则误差为． ∵，∴． 用形式②得到，则误差为． ∵，∴． ∵，∴用形式①得出的近似值误差更小， 即，且17距离16更近，所以更接近于，因此用形式①误差更小． （3）解： ∵，∴．∵79距离81更近，所以用形式②误差更小． 选择形式②，设，其中，则． ∵比较小，∴将忽略不计，则， ∴，解得：．∴．∴的近似值为8.89． 8．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【详解】（1）解：是有理数，是无理数，∴当输入x的值为9时，输出； (2)解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根，∴输入的数为负数，∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 9．（24-25八年级上·江苏·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：，也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则， 两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________， 因为：______________，所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【详解】假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且）， 则，两边同时平方得：， 所以：，可得：，所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴的整数部分为2，∴的小数部分为； （2）解：∵，∴，∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵，其中是整数，且，∴ （3）解：①∵，其中，∴，∴， ∵比较小，将忽略不计，∴，∴，∴，∴； ②小明的结果精确度更高，理由如下：小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又，，∴比更接近小明的结果精确度更高． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $