第06讲 立方根、实数、近似数、实数混合运算（核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦立方根、实数、近似数及实数混合运算核心知识点，系统梳理立方根的定义与性质，实数的分类及与数轴的一一对应关系，近似值的精确度判断，以及实数混合运算的顺序与规则，构建从概念到运算的完整知识支架。 资料通过6个易错辨析（如平方根与立方根混淆）和11个典例精讲（如立方根规律探索、正方体体积应用），培养学生的抽象能力与推理意识，结合数轴直观理解实数，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第06讲 立方根、实数、近似数、实数混合运算 （核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】立方根 1. 定义 若，则叫做的立方根，记作，读作“三次根号”。 开立方：求一个数立方根的运算，立方与开立方互为逆运算。 2. 性质 1. 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；的立方根是； 2. ，立方根符号可以直接移负号； 3. ，； 4. 任意实数都有且只有唯一一个立方根。 3. 常用简单立方数 【知识点02】实数 1. 实数分类 常见无理数四类 ①含型：； ②开方开不尽：； ③构造无限不循环：（相邻两个1之间依次多1个0）； ④部分三角函数（本册暂不重点）。 2. 实数与数轴 实数和数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总大于左边的数。 3. 实数的相反数、绝对值、倒数 设实数： 1. 相反数：；互为相反数； 2. 绝对值： 几何意义：数轴上表示的点到原点的距离； 3. 倒数：时，倒数为，互为倒数。 4. 实数运算律 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在实数范围内全部适用。 【知识点03】近似值 1. 基本概念 准确数：与实际完全相符的数； 近似值：通过四舍五入、测量估算得到与实际接近的数； 精确度：表示近似数近似的程度。 2. 两种精确度表述 1. 精确到某一位：如精确到个位、十分位、百分位、千分位； 2. 保留几个有效数字：从左边第一个非0数字起，到末尾数字为止，所有数字都是有效数字。 例：有效数字：，共3个。 3. 四舍五入取近似值步骤 定精度→看后一位数字→≥5进1，＜5舍去。 【知识点04】实数混合运算 1. 运算顺序 1. 先乘方、开方； 2. 再乘除； 3. 最后加减； 4. 同级运算从左往右；有括号先算括号内（小→中→大）。 2. 常用化简规则 1. ，； 2. 同类二次根式可以合并； 3. 绝对值化简：先判断绝对值内式子正负，再去绝对值符号。 3. 实数大小比较常用方法 ①数轴法；②作差法；③平方/立方比较法（正数）；④估算无理数近似值。 易错点1 平方根与立方根混淆 1. 正数有两个平方根，只有一个立方根；负数没有平方根，但有立方根； 错例：认为有意义，正确：无意义，； 2. （算术平方根非负），可正可负可为0； 3. 易写错符号：，不要写成。 易错点2 无理数判断误区 1. 带根号不一定是无理数：是有理数； 2. 无限小数≠无理数：无限循环小数是有理数，只有无限不循环才是无理数； 3. 不是分数：分数属于有理数，是无理数，故仍是无理数。 易错点3 绝对值化简出错 例：化简 ，内部为负，去绝对值：； 常见错误：直接写成。 易错点4 近似值精确度判断 1. 精确到十分位；精确到百分位，二者精确度不同，末尾的0不能随意去掉； 2. 大数近似数：精确到千位，不是十分位； 3. 有效数字：有效数字是3、6，前面的0不算有效数字。 易错点5 实数运算顺序与符号错误 1. 开方加减不能直接拆分：； 2. 负号与乘方、开方结合：，区分； 3. 去括号符号出错：，容易漏变号。 易错点6 实数分类漏判 把归为无理数、把无限循环小数当成无理数；是有理数中的整数。 【题型一】立方根概念及求值 【例1】．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 【例2】．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）8的立方根是________． 【答案】2 【知识点】求一个数的立方根 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 【变式1】．（2024·江苏苏州·模拟预测）若，则x的值为_________． 【答案】， 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根，熟悉掌握立方根等于本身的数有0，是解题的关键． 根据立方根等于本身的数有0，，依此即可求解． 【详解】解： x的值为0，． 故答案为：0，． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）已知，求的值． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根解方程． 将原式化为，进而开立方即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握立方根及平方根是解题的关键； （1）先移项，然后根据平方根可求解方程； （2）根据立方根可求解方程． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 解得：或； （2）解： ， ∵， ∴． 【题型二】与立方根有关的规律探索 【例3】．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式1】．（25-26八年级上·南京·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 【变式2】．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 【题型三】立方根的实际应用 【例4】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 【变式3】．已知一个正方体的体积为． (1)求正方体的棱长． (2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1) (2)棱长变为原来的2倍 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的实际应用． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可； （2）设棱长变为原来的y倍，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体的棱长为， ， 解得：， ∴正方体的棱长； （2）解：设棱长变为原来的y倍， ， ， 解得：， ∴棱长变为原来的2倍． 【题型四】算术平方根和立方根的综合应用 【例5】．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则______． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵的算术平方根是2，27的立方根是， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，以及代数式求值．熟练掌握算术平方根和立方根的定义，是解题的关键． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 【变式3】．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 【题型五】无理数概念与实数分类 【例6】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，需依据无理数（无限不循环小数）的概念，逐一判断所给数的类型，统计无理数的个数，即可作答． 【详解】解：−3是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， ，是有限小数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， ∴无理数共有2个． 故选：A． 【例7】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有______个． 【答案】3 【知识点】实数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：根据有理数的定义， ，3.14，是有理数，共3个， 故答案为：3． 【例8】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）把下列各数进行分类：0，π，，，，，． 负实数：_______________； 正有理数：_______________； 无理数：_______________． 【答案】，；，；π， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类． 根据负实数的定义、正有理数的定义、无理数的定义作答即可 【详解】解： 负实数：，； 正有理数，； 无理数：π，． 故答案为：，；，；π，． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查无理数的定义，注意区分有限小数、循环小数与无限不循环小数；根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个实数是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数有和，共个． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在实数，，，，中，无理数有__ 个． 【答案】2 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查无理数定义和实数分类，熟记实数分类及无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，对每个实数进行判断． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，共2个， 故答案为：2． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 【题型六】无理数大小估算与整数部分的有关计算 【例9】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下面无理数大于，并且小于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，关键是正确的估值进行比较； 通过比较各选项的平方与和的平方的大小关系，判断其值是否在和之间。 【详解】解：∵ ， ∴ 无理数在和之间等价于其平方在和之间； 对于A： ∵， ∴ ， ∴此选项不符合； 对于B：∵， ∴ ， ∴此选项不符合； 对于C： ∵， ∴， ∴此选项符合； 对于D： ∵， ∴， ∴此选项不符合. 故答案为：C. 【例10】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知的小数部分为m，的小数部分为n，则的值是_______． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握求一个无理数的整数部分和小数部分是解题的关键．先估算，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴； 故答案为1． 【例11】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 【变式1】．（2024·江苏苏州·二模）＋2的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】先判断的整数部分即可． 【详解】解：∵1＜2＜4， ∴1＜＜2， ∴的整数部分是1， 所以的整数部分是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是正确确定的整数部分． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的值，利用夹逼法确定的范围，从而求出整数即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即介于整数和之间， ∴； 故答案为：2 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，利用算术平方根正确的估算无理数在哪两个连续整数之间，进而确定整数部分和小数部分是解题的关键． （1）先根据的整数部分为的整数部分为，求出，，然后求出，最后求出结果即可； （2）根据整数部分是3，得出，再根据，是整数，且，求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ∴整数部分是3，即， 同理的整数部分是6，， ， 的立方根为． （2）解：∵整数部分是3， ，是整数，且， ，， ∴． 【题型七】实数的性质 【例12】．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的性质 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵的相反数是， 故选C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 【变式1】．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）的相反数是______，的倒数是______，______． 【答案】 / 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴． 故答案为：，，． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值． 【答案】2或 【知识点】实数的性质、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，实数的性质，根据题意可得或，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2或． 【变式3】．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的平方根、求一个数的立方根、实数与数轴 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 【题型八】实数与数轴 【例13】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 【例14】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、实数与数轴 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 【变式1】．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为______． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了算术平方根、实数与数轴等知识，确定正方形的边长是解题关键．首先根据题意确定正方形的边长，然后结合点的位置即可获得答案． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为3， 则该正方形的边长为，即， ∴， ∵点表示的数为2，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)， (2) (3) 如图，点P即为所求； (4)或 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用． （1）大正方形的面积求出边长即可即可； （2）利用割补法求出正方形的面积即可； （3）以原点为圆心，为半径画弧，交正半轴于点P，点P即为所求； （4）分两种情形画出图形，求出，可得结论． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边长，面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线， ∴点A表示的数为， 故答案为：，； （2）解：图3中，正方形的面积为， ∴正方形的边长， 故答案为：； （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， 当点N在点M的右侧时，N表示的数为， 当点N在点M的左侧时，表示的数为． 综上所述，点N表示的数为或． 【题型九】实数的大小比较 【例15】．比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）______，比较大小：______． 【答案】 / 【知识点】求一个数的立方根、实数的大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查实数大小的比较、立方根和绝对值，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据立方根以及实数的大小比较的方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：；． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1） （2） 【知识点】求一个数的立方根、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法得出，，即可求解； （2）根据无理数得估算得出，即可求解； （3）根据无理数得估算得出，，即可求解； （4）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； ∵，即， ∴和之间的整数有； （2）∵， ∴， ∴小于的正整数有； （3）∵，即， ∴； ∵，即， ∴满足的x的整数值有：； （4）∵， ∴大于2且小于3的一个无理数为：（答案不唯一）． 【题型十】程序设计与实数运算 【例16】．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换． 本题根据程序输入，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，直至算到结果是无理数，即可． 【详解】解：∵输入，16的算术平方根是4，4是有理数， ∴还需再求4的算术平方根， ∵4的算术平方根是2，2是有理数， ∴还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是．是无理数， ∴输出的值是， 故选：B． 【变式1】．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【知识点】无理数、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 【变式2】．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得：64的算术平方根为8，8的立方根为2，2的算术平方根是，是无理数，输出； 则输出的的值为． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 【题型十一】近似值 【例17】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于近似值，下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到个位 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了科学记数法与近似数的精确度判断，熟练掌握将科学记数法还原为原数并确定有效数字所在数位的方法是解题的关键．先将科学记数法表示的数还原为原数，再确定最后一位有效数字在原数中的数位，从而判断其精确度． 【详解】解：∵， ∴3.06中最后一位有效数字6，在30600中位于百位， ∴精确到百位， 故选：B． 【例18】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】根据四舍五入法，向十位进1，十位数字4加1变为5，个位及后续数字舍去，得到近似数即可． 【详解】解∶精确到得到的近似数为． 【例19】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【知识点】求一个数的近似数、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查求近似数． 依据四舍五入规则，将数精确到（即十分位），通过观察百分位数字进行取舍即可． 【详解】解：∵的百分位数字为2，且， ∴根据四舍五入规则，舍去百分位及后续数位的数字，得到结果为． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，设该数为，则这个数的取值范围______． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数，根据“四舍五入”法推导出一个三位小数不能大于，不能小于，这样的数精确到百分位可得到，即可求解． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，这个数最大是，最小是． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 解：设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 由图形可得：， ∵， ∴， 当时，假设忽略不计，得， 解得：， ∴． 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）估算出即可得解； （2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为； 1. 知识主线梳理 立方根（开立方运算）实数完整分类+实数数轴对应关系实数三要素（相反数、绝对值、倒数）近似数精确度与有效数字实数范围内四则、开方混合运算。 2. 核心思想 1. 扩充思想：数系从有理数扩充到实数，开方运算在实数内完善，负数可以开立方； 2. 转化思想：无理数运算转化为根式化简、去绝对值，估算无理数大小转化为有理数比较； 3. 数形结合：借助数轴理解实数大小、绝对值几何意义； 4. 严谨思想：区分平方根与立方根、近似数末尾0的意义，运算严格遵循运算顺序。 3. 本节课必掌握过关要求 1. 熟练求解任意实数的立方根，牢记立方根符号性质； 2. 精准区分有理数与无理数； 3. 熟练化简含无理数的绝对值； 4. 会判定近似数精确度、数有效数字； 5. 规范完成包含开方、绝对值、括号的实数综合计算。 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】科学记数法 的精确度由系数 的小数位数决定， 有 位小数，则数字精确到 位． 本题考查了科学记数法的精确度判断，熟练掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：∵ 的系数 有两位小数， ∴ 精确到 位， 即十位． 故选 C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】实数与数轴、估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根的实际应用，正方体的体积；设原正方体的棱长为，变化后的棱长为，得到原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为，根据题意得到，即可得出结论． 【详解】解：设原正方体的棱长为，变化后的棱长为， ∴原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为， ∵正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴，即， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 【答案】C 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念． 根据定义, 正数的平方根有两个, 算术平方根是非负的；任何实数都有唯一的立方根． 【详解】选项A：的平方根是，故A错误，不符合题意； 选项B：的算术平方根是，故B错误，不符合题意； 选项C：的立方根是，故C正确，符合题意； 选项D：的立方根是，故D错误，不符合题意； 故选C． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 6．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， 可以取到的值为. 故选：B． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义及实数的性质，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵负数的立方根是负数，∴①错误； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴②正确； ∵，∴③错误； ∵正数的两个平方根互为相反数，∴④正确； ∵负数没有平方根，∴⑤错误； ∵算术平方根等于本身的数有0和1，∴⑥错误； ∴正确的说法是②和④， 故选C． 9．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 二、填空题 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）化简：______，______． 【答案】 5 4 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根、立方根，根据算术平方根和立方根的定义直接计算，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：，， 故答案为：；． 11．一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径） 【答案】3 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据V球＝ πR3公式列等式，再开立方即可求解． 【详解】解：∵V球＝πR3， ∴πR3＝36π， 解得R＝3； 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了开立方运算，根据V球＝ πR3公式列等式是解题的关键． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知数轴上的点、、、分别表示数、、、，则表示的点应落在线段________上． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，直接根据题意得出，进而得出答案，正确得出的范围是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点应落在线段． 故答案为：． 13．在实数，，，，中有理数的个数是______． 【答案】6 【知识点】求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类；先利用立方根的性质化简，再根据实数的概念进行判断． 【详解】解：因为， 所以有理数为，，，，，，有6个， 故答案为：6． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小数部分是______． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算的值，确定其整数部分为3，则小数部分为． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 故答案为∶. 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握作差法是解题的关键．利用作差法求得两数之差，再根据无理数的估算，判断两数之差比0小还是比0大，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 16．已知的平方根是，的立方根为，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的性质．根据平方根和立方根的性质可求出，，再代入，即可求解． 【详解】解：的平方根是，的立方根为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数的分类、实数的分类 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟知：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数．判断一个数是有理数还是无理数，关键看它能否化为有限小数或无限循环小数，能则为有理数，不能则为无理数． 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数， 即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 18．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）求下列的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数、立方根的实际应用 【分析】本题考查利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）先整理，再利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； ∴ 或 （2）解：∵， ∴， ∴ 19．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 20．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）小雅在手工课上制作了一块面积为的正方形刺绣杯垫．她准备了一个面积为的长方形礼品袋进行包装，礼品袋的长与宽之比为． (1)请问这个礼品袋的长和宽分别是多少厘米（结果保留根号）？ (2)小雅能否不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中？请说明理由． 【答案】(1)礼品袋的长为，宽为 (2)能，理由如下： ∵正方形刺绣杯垫的面积为， ∴设正方形刺绣杯垫的边长为， 即， ∴解得：，（舍去）， ∴正方形刺绣杯垫的边长为， ∵， ∴， ∴， 即礼品袋的宽大于正方形刺绣杯垫的边长， ∴小雅能不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中． 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形刺绣杯垫的边长． （1）设这个礼品袋的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形刺绣杯垫的边长，然后与礼品袋的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵礼品袋的长与宽之比为， ∴设这个礼品袋的长为，宽为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴礼品袋的长为，宽为； 21．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键． （1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c； （2）将（1）求出的值代入计算即可． 【详解】（1）解：因为的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， 所以，解得； ，解得； ，； ； （2）解：， 所以的平方根为． 22．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 23．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【知识点】实数与数轴、算术平方根的实际应用、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，实数与数轴，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，且，故，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分． （3）解：由（2）得， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 24．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的x为81时．输出的y值是_________； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值； (3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值． 【答案】(1)； (2)，1； (3)，（答案不唯一） 【知识点】程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 立方根、实数、近似数、实数混合运算 （核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】立方根 1. 定义 若，则叫做的立方根，记作，读作“三次根号”。 开立方：求一个数立方根的运算，立方与开立方互为逆运算。 2. 性质 1. 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；的立方根是； 2. ，立方根符号可以直接移负号； 3. ，； 4. 任意实数都有且只有唯一一个立方根。 3. 常用简单立方数 【知识点02】实数 1. 实数分类 常见无理数四类 ①含型：； ②开方开不尽：； ③构造无限不循环：（相邻两个1之间依次多1个0）； ④部分三角函数（本册暂不重点）。 2. 实数与数轴 实数和数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总大于左边的数。 3. 实数的相反数、绝对值、倒数 设实数： 1. 相反数：；互为相反数； 2. 绝对值： 几何意义：数轴上表示的点到原点的距离； 3. 倒数：时，倒数为，互为倒数。 4. 实数运算律 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在实数范围内全部适用。 【知识点03】近似值 1. 基本概念 准确数：与实际完全相符的数； 近似值：通过四舍五入、测量估算得到与实际接近的数； 精确度：表示近似数近似的程度。 2. 两种精确度表述 1. 精确到某一位：如精确到个位、十分位、百分位、千分位； 2. 保留几个有效数字：从左边第一个非0数字起，到末尾数字为止，所有数字都是有效数字。 例：有效数字：，共3个。 3. 四舍五入取近似值步骤 定精度→看后一位数字→≥5进1，＜5舍去。 【知识点04】实数混合运算 1. 运算顺序 1. 先乘方、开方； 2. 再乘除； 3. 最后加减； 4. 同级运算从左往右；有括号先算括号内（小→中→大）。 2. 常用化简规则 1. ，； 2. 同类二次根式可以合并； 3. 绝对值化简：先判断绝对值内式子正负，再去绝对值符号。 3. 实数大小比较常用方法 ①数轴法；②作差法；③平方/立方比较法（正数）；④估算无理数近似值。 易错点1 平方根与立方根混淆 1. 正数有两个平方根，只有一个立方根；负数没有平方根，但有立方根； 错例：认为有意义，正确：无意义，； 2. （算术平方根非负），可正可负可为0； 3. 易写错符号：，不要写成。 易错点2 无理数判断误区 1. 带根号不一定是无理数：是有理数； 2. 无限小数≠无理数：无限循环小数是有理数，只有无限不循环才是无理数； 3. 不是分数：分数属于有理数，是无理数，故仍是无理数。 易错点3 绝对值化简出错 例：化简 ，内部为负，去绝对值：； 常见错误：直接写成。 易错点4 近似值精确度判断 1. 精确到十分位；精确到百分位，二者精确度不同，末尾的0不能随意去掉； 2. 大数近似数：精确到千位，不是十分位； 3. 有效数字：有效数字是3、6，前面的0不算有效数字。 易错点5 实数运算顺序与符号错误 1. 开方加减不能直接拆分：； 2. 负号与乘方、开方结合：，区分； 3. 去括号符号出错：，容易漏变号。 易错点6 实数分类漏判 把归为无理数、把无限循环小数当成无理数；是有理数中的整数。 【题型一】立方根概念及求值 【例1】．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【例2】．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）8的立方根是________． 【变式1】．（2024·江苏苏州·模拟预测）若，则x的值为_________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）已知，求的值． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【题型二】与立方根有关的规律探索 【例3】．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·南京·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【变式2】．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【变式3】．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【题型三】立方根的实际应用 【例4】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【变式3】．已知一个正方体的体积为． (1)求正方体的棱长． (2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【题型四】算术平方根和立方根的综合应用 【例5】．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则______． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【变式3】．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【题型五】无理数概念与实数分类 【例6】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例7】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有______个． 【例8】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）把下列各数进行分类：0，π，，，，，． 负实数：_______________； 正有理数：_______________； 无理数：_______________． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在实数，，，，中，无理数有__ 个． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【题型六】无理数大小估算与整数部分的有关计算 【例9】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下面无理数大于，并且小于的是（   ） A． B． C． D． 【例10】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知的小数部分为m，的小数部分为n，则的值是_______． 【例11】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式1】．（2024·江苏苏州·二模）＋2的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【题型七】实数的性质 【例12】．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）的相反数是______，的倒数是______，______． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值． 【变式3】．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【题型八】实数与数轴 【例13】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例14】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【变式1】．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为______． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 【题型九】实数的大小比较 【例15】．比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）______，比较大小：______． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 【题型十】程序设计与实数运算 【例16】．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【变式1】．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【变式2】．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【题型十一】近似值 【例17】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于近似值，下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到个位 【例18】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【例19】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，设该数为，则这个数的取值范围______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 1. 知识主线梳理 立方根（开立方运算）实数完整分类+实数数轴对应关系实数三要素（相反数、绝对值、倒数）近似数精确度与有效数字实数范围内四则、开方混合运算。 2. 核心思想 1. 扩充思想：数系从有理数扩充到实数，开方运算在实数内完善，负数可以开立方； 2. 转化思想：无理数运算转化为根式化简、去绝对值，估算无理数大小转化为有理数比较； 3. 数形结合：借助数轴理解实数大小、绝对值几何意义； 4. 严谨思想：区分平方根与立方根、近似数末尾0的意义，运算严格遵循运算顺序。 3. 本节课必掌握过关要求 1. 熟练求解任意实数的立方根，牢记立方根符号性质； 2. 精准区分有理数与无理数； 3. 熟练化简含无理数的绝对值； 4. 会判定近似数精确度、数有效数字； 5. 规范完成包含开方、绝对值、括号的实数综合计算。 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 9．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）化简：______，______． 11．一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径） 12．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知数轴上的点、、、分别表示数、、、，则表示的点应落在线段________上． 13．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是______． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小数部分是______． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 16．（23-24八年级上·江苏·期末）已知的平方根是，的立方根为，则代数式的值为______． 三、解答题 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 18．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）求下列的值： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 20．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）小雅在手工课上制作了一块面积为的正方形刺绣杯垫．她准备了一个面积为的长方形礼品袋进行包装，礼品袋的长与宽之比为． (1)请问这个礼品袋的长和宽分别是多少厘米（结果保留根号）？ (2)小雅能否不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中？请说明理由． 21．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 22．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 23．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 24．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的x为81时．输出的y值是_________； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值； (3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $