专题02 立方根（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学立方根核心知识点，系统梳理概念、表示方法、与立方的逆运算关系，明确正负数及零的立方根性质，归纳小数点移动规律，构建从基础到综合运用的学习支架。 资料通过8类分层题型（含典例、变式及巩固强化训练），结合实际应用（如正方体体积计算）和新定义问题，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

专题02 立方根 1、了解立方根的概念，会用根号的表示一个数的立方根。 2、了解立方根与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根。 3、理解掌握立方根的性质，并能解决相关问题。 4、能用立方根解决一些实际问题，培养学生的运算能力和应用意识。 5、掌握立方根小数点的移动规律；掌握与立方根相关的新定义（或阅读材料）问题。 1、立方根的定义:如果，那么 x 叫作 的立方根，也称为 三次方根 。的立方根记作 ，读作“三次根号”。 2、求一个数的立方根的运算叫作 开立方 。开立方是立方运算的逆运算。 3、正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是 负数 ；零的立方根是 零 。 4、立方根的性质： ； ； 。 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。 5、立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位。例如，，，，. 题型01 立方根的概念理解 【典例】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①64的平方根是，立方根是4，因此①不正确； ②负数有立方根，因此②不正确；③16的算术平方根是4，因此③正确； ④表示的算术平方根，表示的立方根，因此④不正确； ⑤不一定是负数，当时，；当时，，因此⑤不正确． 综上所述，正确的只有③，共1个，故选：． 【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 【答案】D 【详解】解：A、0有立方根，错误；B、负数有立方根，错误； C、一个数的立方根只有一个，且一个数的立方根与这个数同号，错误； D、一个正数只有一个立方根，正确．故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，负数没有算术平方根，没有意义，符合题意； B、表示的算术平方根，有意义，不符合题意； C、表示的立平方根，有意义，不符合题意； D、表示的立平方根，有意义，不符合题意；故选：A． 【变式3】（25-26七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为，∴，∴， ∴的立方根是，故选：C． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数 D．一个数的立方根与这个数同号 【答案】D 【详解】A、一个数的立方根只有一个，错误；B、负数有立方根，错误； C、一个数有立方根，那么它的立方根不一定为正数，错误； D、一个数的立方根与这个数同号，正确．故选：D． 题型02 求一个数的立方根 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）64的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 4 【详解】解：64的平方根为：；的立方根是：，故答案为：4；． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、，的立方根是．原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意；故选：． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）立方根和平方根都等于本身的数是 ． 【答案】0 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，，平方根等于它本身的数是0， 所以立方根和平方根都等于本身的数是0．故答案为：0． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）的立方根的平方根是 ． 【答案】 【详解】解：∵，8的立方根是2∴的立方根是2， ∴的立方根的平方根是故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 题型03 利用开立方解方程 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值： (1)；(2)．(3)． (1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）， ， ， ； （3）解：， 整理得， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）求下列各式中x的值： （1）；(2)；(3) 【答案】（1）(2)(3) 【详解】解：（1）      ∴． （2）解：， ∴， ∴， 解得：． （3）解：， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解： 即 （2）解： 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 【变式4】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴ （2）解：， ， 解得． 题型04 立方根的性质 【典例】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． ，，． ，，． ，，．， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【详解】（1）解：，，； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·泸州·期中）已知为实数，且，则的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，解得， ∴，∴的算术平方根为2，故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【详解】解：∵，∴， ∴或，∴或或；故答案为：或2或3． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】发现：（答案不唯一）归纳：；应用： 【详解】解：发现：根据题意；如（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一） 归纳：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立；故答案为：； 应用：与的值互为相反数； ， 解得，则． 题型05 立方根小数点位数移动规律 【典例】（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4(2)，(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵，∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得：∵，∴又，∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．∵∴，∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空：①已知，则 ；②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵，∴； ②∵∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则，， （平方米），答：需要大约平方米的铁皮． 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ． 【答案】 1.285 2.342 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 【变式3】（25-26七年级下·广西崇左·阶段练习）【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】（2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，故答案为：2，1；3，1； （2）①∵，∴，，故答案为：17.32，0.1442； ②∵，，∴，， ∴，，故答案为：200，0.8879； （3）∵，∴，，∴不能求出的值． 题型06 立方根的实际应用 【典例】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得，解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 【变式1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：，故选：A 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴cm，故选：A 【变式3】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小美正方体棱长为，，得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：，其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：，则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：；故选：B． 【变式4】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长；(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米(2)17厘米 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米），∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 题型07 算术平方根与立方根的综合运用 【典例】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是1． (1)求和的值．(2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是1． ∴，，解得； （2）解：∵，∴， ∵的平方根是，∴的平方根是． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值；(2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，，∴，，解得，． （2）解：由（1）得，，则．故的平方根为． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知的立方根为2，的平方根为． (1)求，的值；(2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵的立方根为2，的平方根为， ∴，解得：， （2）解：由（1）得：，∴，∴的平方根为． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值；(2)求的平方根． 【答案】(1)a的值为5，b的值为(2) 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，，解得：，，故a的值为5，b的值为． （2）解：由题知，，∵，∴的平方根是． 题型08 阅读材料与新定义问题考法 【典例】（24-25八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根． 例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数；0的次方根是 ；负数 ． 【答案】四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数 【详解】解∶，2是16的四次方根； 如果一个数x的n(n是大于|的整数)次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的n次方根，求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；正数的n次方根是正的；0的n次方根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数， 故答案为：四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 【答案】 【详解】解：，，是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是，的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是，的立方根是，故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立，故C正确，ABD错误．故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）已知变换：例如则的变换结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，，，故选：C． 【巩固训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示25的算术平方根，即，∴A不符合题意， ∵，∴B不符合题意，∵，，两边相等，∴C符合题意， ∵负数没有算术平方根，无意义，∴D不符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A． B．8的立方根是 C． D．4的平方根是 【答案】D 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、8的立方根是2，原说法错误，不符合题意；C、，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意；故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确；B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确．故选C． 4．（2026·江苏南京·一模）6的平方根是________，6的立方根是________． 【答案】 【详解】解：的平方根是，的立方根是． 5.（24-25八年级上·江苏常州·期中）-的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【详解】解：的平方根是=； ∵，∴的立方根为=；故答案为：；． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． (1)求出图1中的值；(2)求出图2中的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵的立方根是，的立方根是， ∴，∴； （2）解：∵的平方根是和， ∴，∴，∴． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）求式子中的x的值： (1) (2) 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和． (1)求x和a的值；(2)求的立方根． 【答案】(1)，(2)4 【详解】（1）解：由题意得， 则 （2）解：由（1）得， 则． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： 解得 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） ；（2） 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， （2） ． 【强化训练】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得，3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出的值是． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知实数，满足，则代数式的立方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴， ∴的立方根为2. 3．（2024·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 与 是相反数，∴== ∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故选A． 4．（25-26八年级上·山西长治·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每个方块的边长为，∴，∴，∴，故选C 5．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，∴负数a没有偶数次方根，∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根，∴B选项的结论不符合题意； ∵，∴∴C选项的结论不符合题意； ∵，∴∴D选项的结论符合题意，故选：D． 6．（24-25八年级上·广东·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【详解】解：∵根据题意可知为两位数，∴的个位上的数是9， ∵，，∴的十位上的数是7，∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16．故选：B． 7．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】D 【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确；②实数都有一个立方根，说法正确； ③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误；④，3的算术平方根为，故原说法错误； ⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确；故选D． 8．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根，∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4，∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0，∴选项C不符合题意； ∴，∴选项D符合题意，故选：D． 9．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 10．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1)(2)为任意实数(3)或 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方，，， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方，∴为任意实数．故答案为：为任意实数； （3）解：，，， ，或，或． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立方根 1、了解立方根的概念，会用根号的表示一个数的立方根。 2、了解立方根与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根。 3、理解掌握立方根的性质，并能解决相关问题。 4、能用立方根解决一些实际问题，培养学生的运算能力和应用意识。 5、掌握立方根小数点的移动规律；掌握与立方根相关的新定义（或阅读材料）问题。 1、立方根的定义:如果，那么 x 叫作 的立方根，也称为 三次方根 。的立方根记作 ，读作“三次根号”。 2、求一个数的立方根的运算叫作 开立方 。开立方是立方运算的逆运算。 3、正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是 负数 ；零的立方根是 零 。 4、立方根的性质： ； ； 。 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。 5、立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位。例如，，，，. 题型01 立方根的概念理解 【典例】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数 D．一个数的立方根与这个数同号 题型02 求一个数的立方根 【典例】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）64的立方根是 ，的立方根是 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数是和 D． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）立方根和平方根都等于本身的数是 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）的立方根的平方根是 ． 【变式4】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 题型03 利用开立方解方程 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值： (1)；(2)．(3)． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）求下列各式中x的值： （1）；(2)；(3) 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【变式4】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)；(2)． 【变式5】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求x的值： (1)； (2)． 题型04 立方根的性质 【典例】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． ，，． ，，． ，，．， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【变式1】（24-25七年级下·泸州·期中）已知为实数，且，则的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值． 题型05 立方根小数点位数移动规律 【典例】（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空：①已知，则 ；②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ． 【变式3】（25-26七年级下·广西崇左·阶段练习）【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】（2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 题型06 立方根的实际应用 【典例】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【变式1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长；(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型07 算术平方根与立方根的综合运用 【典例】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是1． (1)求和的值．(2)求的平方根． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值；(2)求的平方根． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知的立方根为2，的平方根为． (1)求，的值；(2)求的平方根． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值；(2)求的平方根． 题型08 阅读材料与新定义问题考法 【典例】（24-25八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根． 例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数；0的次方根是 ；负数 ． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）已知变换：例如则的变换结果是（  ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A． B．8的立方根是 C． D．4的平方根是 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 4．（2026·江苏南京·一模）6的平方根是________，6的立方根是________． 5.（24-25八年级上·江苏常州·期中）-的立方根是 ，的立方根是 ． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． (1)求出图1中的值；(2)求出图2中的值． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）解方程：(1)；(2)． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）求式子中的x的值： (1) (2) 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和． (1)求x和a的值；(2)求的立方根． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1) (2) 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 【强化训练】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知实数，满足，则代数式的立方根是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西长治·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 6．（24-25八年级上·广东·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 7．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 8．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 9．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3) 10．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $