5.7三角函数的应用 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数应用，通过“例题-变式-练习”分层设计，实现从概念辨析到实际问题解决的知识进阶，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|参数物理意义与解析式求解|单选为主，直接考查振幅、周期等基础考点，如弹簧振子运动方程参数辨析| |变式应用|情境化问题迁移应用|结合单摆、水车等生活情境，强化模型应用，如沙漏摆动周期与线长计算| |综合拓展|复杂实际问题建模与综合分析|解答题需完整经历建模流程，如摩天轮座舱高度差计算，体现数学语言表达现实世界|

5.7三角函数的应用 【知识点归纳】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 A：振幅；T：周期即T＝；频率：f＝；相位：；初相： 如：物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 2.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．如物理方面的单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. 3.建立函数模型的一般步骤 审题--建立函数模型--求解模型--检验---回归实际问题 4.利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤: （1）求，； (2)求ω:根据图象得出最小正周期T,可得出 (3)求初相φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出φ的值. 【典型例题】 例1.（单选题）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再代入数据得到，从而求出，，即可得到关系式，最后代入计算可得. 【解析】依题意可得，所以， 又，即， 所以，即，则，， 所以， 则， 即当时，该振子的位移. 故选：D 【变式1】（单选题）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 【答案】B 【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解. 【解析】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取， 又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 即线长约为cm. 故选：B. 例2.（单选题）一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件.故选C 【变式2】（单选题）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件得的值，从而得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质逐一判断，即可得. 【解析】由题意，，，所以， 点代入，可得，解得， 又，所以，故①正确； 因为，当时，， 所以函数先增后减，故②错误； 当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故③正确； 当时，点到轴的距离的最大值为，故④错误；故选B 【练习】（1-7单选题） 1.已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【解析】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 2．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）.已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【解析】频率为，故选：C 3.近日某地气温波动较大,假设某天8-18时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),已知8时气温最低,为10 ℃,14时气温最高,为20 ℃,则f(x)的解析式可以是 (　　) A.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] B.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] C.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] D.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] 【答案】A 【解析】.依题意,解得,又=14-8=6,所以T=12=,所以ω=, 所以f(x)=5sin (x+φ)+15,又f(8)=5sin (×8+φ)+15=10, 所以sin (+φ)=-1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18].故选A 4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】故选C　由题意可知当sin(x+φ)取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5, ∴y=3sin(x+φ)+5,当sin(x+φ)取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.故选C 5.时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20 ℃,气温上升到约30 ℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温y(单位:℃)随时间x(单位:时)的变化趋势近似满足函数y=10sin(x-)+25,则在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为(　　) A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时 C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时 【答案】B 【解析】当x∈[6,16]时,x-∈[-],由y=10sin(x-)+25=20,得sin(x-)=-, 所以x-=-,x=≈8.7(时).由y=10sin(x-)+25=30,得sin(x-)=, 所以x-,x=≈11.3(时).故在6时~16时中,观花的最佳时段约为8.7时~11.3时.故选B. 6.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.曲线的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条葫芦曲线的方程为|y|=(2-])|sin ωx|,x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(),则该条葫芦曲线与直线x=交点的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.±1 【答案】C　 【解析】将点M()代入葫芦曲线的方程可得(2-])|sinω|=,即|sinω|=1,由ω∈(1,3),可得ω=2.因此曲线方程为|y|=(2-])|sin 2x|,当x=时,可得|y|=(2-])|sin 2×|=(2-])|sin|=|sin|=,所以所求交点的纵坐标为±.故选C. 7.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则　　 A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 【解析】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于，依题意，，解得，， 又因为每分钟转1.5圈，所以转1圈要分钟秒，所以， 则，故错误；对于，由时，得，即， 而，则，故错误；对于，因为， 令，得，解得， 则，解得，即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，错误； 对于，由，得，即， 则，，解得，， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，正确．故选：． 8.（多选题）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是 (　　) A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C.该函数的解析式是y=10sin(x+)+20(6≤x≤14) D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃ 【答案】ABD 【解析】选ABD.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以A=10,B=20. 因为=14-6,所以T=16,A正确; 因为T=,所以ω=,所以y=10sin(x+φ)+20, 因为图象经过点(14,30),所以30=10sin(×14+φ)+20, 所以sin(×14+φ)=1,所以φ可以取,所以y=10sin(x+)+20(0≤x≤24),B正确,C错误; 当x=12时,y=10sin(×12+)+20=10×+20≈27,故D正确. 故选,A,B,D正确. 9.（多选题）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（   ） A． B．过山车启动时距地面13m C． D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 【答案】BCD 【分析】利用最高点和最低点满足的方程可判断A；求出周期可判断C；利用最高点求出，然后把代入解析式可判断B；解三角函数不等式可判断D. 【解析】最高点满足 ，最低点满足 ，联立解得，故A错误； 第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ， 因此 ，故C正确； 将参数代入得，时为最高点，故 ， 即 ， 解得 ，结合得 ， 因此解析式为， 启动时，代入得，故B正确； 要求，代入得不等式， 解得一个周期内（）满足条件的范围是 ，区间长度为，故D正确.故选BCD 10.（填空题）若电流I(单位:A)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则函数的最小正周期为______,当t= s时的电流为　______　A.  　 【答案】 ，0 【解析】由题中图象,可知该函数的最小正周期是,设I=f(t),由函数的最小正周期是, 可知f()=f(+10×)=f()=0,故t= s时的电流是0 A. 11.（填空题）某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为______　.  【答案】80 【解析】∵f(t)＝24sin 160πt＋110，∴T＝=，，∴此人每分钟心跳的次数为80. 12.（解答题）欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要．若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，求甲、乙两人座舱高度差的最大值？ 【答案】米 【解析】解：解法一、设摩天轮的圆心为，半径为，甲、乙二人的座舱分别为、，则米，，设乙距地面的高度为，则甲距地面的高度为，所以甲乙二人的高度差为： △ 米． 解法二、设摩天轮圆心为，甲乙二人的座舱分别为、，则． 通过画图可知，甲乙两人座舱的高度差小于或等于弦的长度， 当所在直线与地面垂直时，高度差最大，为弦的长度． 在三角形中，，，米. 13.(解答题)某地农业检测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 6 7 6 5 养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π);②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请分别求出这两个函数模型解析式; 【解析】(1)对于模型①,由点(1,6)及(3,6)可得函数周期满足=3-1=2,即=4, 所以ω=,又函数最大值为A+B=7,最小值为-A+B=5,解得A=1,B=6, 所以y=sin(x+φ)+6,又+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z, 又-π<φ<π,所以φ=-,所以模型①y=sin(x-)+6; 对于模型②,y=log2(x+a)+b图象过点(1,3),(2,4), 所以,解得,所以模型②y=log2x+3; (2)由模型①来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由模型②来拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损? 【解析】(2)由(1)设y1=sin(x-)+6,y2=log2x+3, 若y1>y2,则盈利,若y1<y2,则亏损; 当x=5时,y1=6>y2=log25+3; 当x=6时,y1=7>y2=log26+3; 当x=7时,y1=6>y2=log27+3; 当x=8时,y1=5<y2=log28+3; 当x=9时,y1=6<y2=log29+3; 当x=10时,y1=7>y2=log210+3; 当x=11时,y1=6<y2=log211+3; 当x=12时,y1=5<y2=log212+3, 这说明8月份,9月份,11月份,12月份这四个月收购价格低于养殖成本,生猪养殖户出现亏损.所以今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7三角函数的应用 【知识点归纳】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 A：振幅；T：周期即T＝；频率：f＝；相位：；初相： 如：物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 2.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．如物理方面的单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. 3.建立函数模型的一般步骤 审题--建立函数模型--求解模型--检验---回归实际问题 4.利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤: （1）求，； (2)求ω:根据图象得出最小正周期T,可得出 (3)求初相φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出φ的值. 【典型例题】 例1.（单选题）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【变式1】（单选题）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 例2.（单选题）一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（单选题）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习】（1-7单选题） 1.已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 2．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）.已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为( ) A. B. C. D. 3.近日某地气温波动较大,假设某天8-18时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),已知8时气温最低,为10 ℃,14时气温最高,为20 ℃,则f(x)的解析式可以是 (　　) A.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] B.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] C.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] D.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] 4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 5.时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20 ℃,气温上升到约30 ℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温y(单位:℃)随时间x(单位:时)的变化趋势近似满足函数y=10sin(x-)+25,则在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为(　　) A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时 C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时 6.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.曲线的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条葫芦曲线的方程为|y|=(2-])|sin ωx|,x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(),则该条葫芦曲线与直线x=交点的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.±1 7.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则　　 A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 8.（多选题）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是 (　　) A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C.该函数的解析式是y=10sin(x+)+20(6≤x≤14) D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃ 9.（多选题）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（   ） A． B．过山车启动时距地面13m C． D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 10.（填空题）若电流I(单位:A)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则函数的最小正周期为______,当t= s时的电流为　______　A.  　 11.（填空题）某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为______　.  12.（解答题）欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要．若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，求甲、乙两人座舱高度差的最大值？ 13.(解答题)某地农业检测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 6 7 6 5 养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π);②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请分别求出这两个函数模型解析式; 学科网（北京）股份有限公司 $