第三十一课时-三角函数的应用-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学三角函数应用同步练，以选择、填空、解答分层设计，覆盖简谐运动等模型，从参数计算到实际建模，强化知识巩固与数学应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一参数（A、ω、φ）计算|选择1-8直接考查振幅、周期等核心参数| |巩固|参数综合应用|填空9-12强化周期、频率等关联计算| |综合|实际问题建模|解答14题船舶进港时间问题，体现数学建模与逻辑推理|

高一数学必修第一册 · 课时同步训练 第三十一课时 三角函数的应用 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 简谐运动模型 简谐运动的位移y与时间t的关系为y ＝ Asin(ωt ＋ φ)，其中A为振幅（最大位移），T ＝ 2π/ω为周期（往返一次所需时间），f ＝ 1/T为频率，ωt ＋ φ为相位，φ为初相。利用此模型可以描述弹簧振子、单摆等周期性运动。 考点二 潮汐模型 潮汐变化中水深h与时间t的关系可表示为h ＝ Asin(ωt ＋ φ) ＋ b，其中A ＝ (hmax － hmin)/2为振幅，b ＝ (hmax ＋ hmin)/2为平均水深，hmax和hmin分别为最高和最低水位。利用此模型可以解决船舶安全进出港的时间问题。 考点三 交流电模型 交流电的电流i与时间t的关系为i ＝ Asin(ωt ＋ φ)，其中A为最大电流（峰值），ω为角频率，有效值 ＝ A/。利用此模型可以计算电流的峰值、有效值、周期等。 考点四 解题步骤 三角函数应用问题的解题步骤：①审题，理解实际背景和已知条件；②建模，设变量并列出三角函数关系式；③求解，利用三角函数的性质（周期、最值、单调性等）求解；④还原，将数学结果还原为实际问题的答案，注意检验。 考点五 求参数方法 由实际数据确定三角函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ) ＋ b的参数：①由最大值和最小值求A和b，A ＝ (ymax － ymin)/2，b ＝ (ymax ＋ ymin)/2；②由周期求ω，ω ＝ 2π/T；③由特殊点（如初始值或最值点）求φ。注意求出参数后代入验证。 知识结构思维导图 图1 三角函数的应用知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．简谐运动y ＝ 3sin(2t ＋ π/6)的振幅和周期分别为（ ） A．3，π B．3，2π C．2，π D．2，2π 2．某潮汐模型h ＝ 2sin(πt/6 ＋ π/3) ＋ 5，则最高水位为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．交流电i ＝ 5sin(100πt ＋ π/4)的频率为（ ） A．50Hz B．100Hz C．25Hz D．200Hz 4．简谐运动y ＝ 4sin(3t ＋ φ)的初相为π/3，则t ＝ 0时的位移为（ ） A．2 B．2 C．4 D． 5．某弹簧振子做简谐运动，振幅为2cm，周期为4π秒，则其运动方程可能为（ ） A．y ＝ 2sin(t/2) B．y ＝ 2sin(2t) C．y ＝ 2sin(t ＋ π/3) D．y ＝ 2sin(t/2 ＋ π/3) 6．潮汐模型h ＝ 3sin(πt/12) ＋ 6中，一天内（24小时）出现最高水位的时刻为（ ） A．t ＝ 6 B．t ＝ 12 C．t ＝ 18 D．t ＝ 0 7．交流电i ＝ 10sin(50πt)的有效值为（ ） A．10 B．5 C．5 D．10 8．简谐运动y ＝ Asin(ωt ＋ φ)中，已知A ＝ 2，T ＝ π，φ ＝ π/6，则当t ＝ π/6时y的值为（ ） A．1 B． C．2 D．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．简谐运动y ＝ 5sin(4t ＋ π/3)的振幅为____________，周期为____________。 10．潮汐模型h ＝ 2sin(πt/6) ＋ 4中，最低水位为____________。 11．交流电i ＝ 8sin(100πt ＋ π/6)的周期为____________秒，频率为____________Hz。 12．弹簧振子做简谐运动，振幅3cm，周期2π秒，初相π/4，则运动方程为y ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知弹簧振子做简谐运动，位移y（cm）与时间t（s）的关系为y ＝ 4sin(2t ＋ π/3)。 （1）求该运动的振幅、周期和初相； （2）求t ＝ 0时的位移； （3）求t ＝ π/3时的位移。 14．（14分）某港口的水深h（米）与时间t（小时）的关系近似为h ＝ 3sin(πt/6 ＋ π/3) ＋ 5。 （1）求该港口的最高水位和最低水位； （2）求一天中水位达到最高时的时刻（0 ≤ t ≤ 24）； （3）若船舶需要水深至少6米才能进港，求一天中船舶可以进港的时间段。 15．（14分）某交流电的电流i（安培）与时间t（秒）的关系为i ＝ 10sin(100πt ＋ π/6)。 （1）求该交流电的峰值、周期和频率； （2）求t ＝ 0时的电流值； （3）求该交流电的有效值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． A 2． C 3． A 4． B 5． D 6． A 7． B 8． C 9． 5；π/2 10． 2 11． 1/50；50 12． 3sin(t ＋ π/4) ■ 详细解析 1．【答案】A 【解析】y ＝ 3sin(2t ＋ π/6)中A ＝ 3，ω ＝ 2，周期T ＝ 2π/2 ＝ π，振幅3，周期π，选A。 2．【答案】C 【解析】h ＝ 2sin(πt/6 ＋ π/3) ＋ 5，sin最大值为1，故hmax ＝ 2×1 ＋ 5 ＝ 7，选C。 3．【答案】A 【解析】i ＝ 5sin(100πt ＋ π/4)中ω ＝ 100π，T ＝ 2π/(100π) ＝ 1/50秒，频率f ＝ 1/T ＝ 50Hz，选A。 4．【答案】B 【解析】t ＝ 0时y ＝ 4sin(φ) ＝ 4sin(π/3) ＝ 4×(/2) ＝ 2，选B。 5．【答案】D 【解析】振幅A ＝ 2，周期T ＝ 4π ＝ 2π/ω，故ω ＝ 1/2。运动方程为y ＝ 2sin(t/2 ＋ φ)，选项D中y ＝ 2sin(t/2 ＋ π/3)符合，选D。 6．【答案】A 【解析】h ＝ 3sin(πt/12) ＋ 6，最高水位时sin(πt/12) ＝ 1，即πt/12 ＝ π/2 ＋ 2kπ，t ＝ 6 ＋ 24k。在0~24小时内t ＝ 6，选A。 7．【答案】B 【解析】有效值 ＝ A/ ＝ 10/ ＝ 5，选B。 8．【答案】C 【解析】A ＝ 2，T ＝ π，故ω ＝ 2π/π ＝ 2，φ ＝ π/6。t ＝ π/6时，y ＝ 2sin(2×π/6 ＋ π/6) ＝ 2sin(π/2) ＝ 2，选C。 ■ 填空题解析 9．【答案】5；π/2 【解析】y ＝ 5sin(4t ＋ π/3)中A ＝ 5，ω ＝ 4，T ＝ 2π/4 ＝ π/2。 10．【答案】2 【解析】h ＝ 2sin(πt/6) ＋ 4，sin最小值为－1，故hmin ＝ 2×(－1) ＋ 4 ＝ 2。 11．【答案】1/50；50 【解析】i ＝ 8sin(100πt ＋ π/6)中ω ＝ 100π，T ＝ 2π/(100π) ＝ 1/50秒，f ＝ 1/T ＝ 50Hz。 12．【答案】3sin(t ＋ π/4) 【解析】A ＝ 3，T ＝ 2π故ω ＝ 1，φ ＝ π/4，y ＝ 3sin(t ＋ π/4)。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）振幅4，周期π，初相π/3；（2）y ＝ 2；（3）y ＝ 0 【解析】y ＝ 4sin(2t ＋ π/3)。 （1）振幅A ＝ 4，ω ＝ 2，周期T ＝ 2π/2 ＝ π，初相φ ＝ π/3。 （2）t ＝ 0时y ＝ 4sin(π/3) ＝ 4×(/2) ＝ 2。 （3）t ＝ π/3时y ＝ 4sin(2×π/3 ＋ π/3) ＝ 4sin(π) ＝ 0。 本题关键：直接代入t值计算，注意特殊角三角函数值。 14．【答案】（1）最高8米，最低2米；（2）t ＝ 1和t ＝ 13；（3）[0.65, 3.35]和[12.65, 15.35]（单位：小时） 【解析】h ＝ 3sin(πt/6 ＋ π/3) ＋ 5。 （1）sin最大值为1，最小值为－1。 hmax ＝ 3×1 ＋ 5 ＝ 8（米），hmin ＝ 3×(－1) ＋ 5 ＝ 2（米）。 （2）最高水位时sin(πt/6 ＋ π/3) ＝ 1，即πt/6 ＋ π/3 ＝ π/2 ＋ 2kπ。 πt/6 ＝ π/6 ＋ 2kπ，t ＝ 1 ＋ 12k。 在0 ≤ t ≤ 24内，t ＝ 1和t ＝ 13。 （3）需h ≥ 6，即3sin(πt/6 ＋ π/3) ＋ 5 ≥ 6，sin(πt/6 ＋ π/3) ≥ 1/3。 令θ ＝ πt/6 ＋ π/3，需求sinθ ≥ 1/3。 由arcsin(1/3) ≈ 0.3398，在一个周期[0, 2π]内，sinθ ≥ 1/3的解为θ ∈ [0.3398, 2.8018] ＋ 2kπ。 代入θ ＝ πt/6 ＋ π/3： 当k ＝ 0时：0.3398 ≤ πt/6 ＋ π/3 ≤ 2.8018，解得0.65 ≤ t ≤ 3.35。 当k ＝ 1时：0.3398 ＋ 2π ≤ πt/6 ＋ π/3 ≤ 2.8018 ＋ 2π，解得12.65 ≤ t ≤ 15.35。 当k ＝ 2时：区间超出24小时。 故一天中船舶可以进港的时间段为[0.65, 3.35]和[12.65, 15.35]（单位：小时）。 由sin(πt/6 ＋ π/3) ≥ 1/3，利用计算器或查表求解。 本题关键：将实际问题转化为三角不等式，利用arcsin求解，注意时间范围限制和周期的重复。 15．【答案】（1）峰值10A，周期1/50秒，频率50Hz；（2）i ＝ 5A；（3）5 A 【解析】i ＝ 10sin(100πt ＋ π/6)。 （1）峰值A ＝ 10（安培），ω ＝ 100π，T ＝ 2π/(100π) ＝ 1/50（秒），f ＝ 1/T ＝ 50（Hz）。 （2）t ＝ 0时i ＝ 10sin(π/6) ＝ 10×(1/2) ＝ 5（安培）。 （3）有效值 ＝ A/ ＝ 10/ ＝ 5（安培）。 本题关键：交流电的峰值、周期、频率和有效值的计算。 高一数学必修第一册 · 第三十一课时 三角函数的应用 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $