5.7 三角函数的应用 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数应用，通过基础概念辨析、综合情境分析及实际问题建模的三层设计，实现从知识理解到数学建模的递进，培养用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|简谐运动、电流强度等单一概念应用|选择/填空题考查相位、初相、周期计算（如第1题相位判断）| |能力提升|图像分析与综合计算|多选/填空题结合图像辨析周期、振幅（如第8题简谐运动图像分析）| |综合应用|实际问题数学建模|解答题解决港口水深、昆虫种群等情境问题（如第14题港口安全停留时间计算）|

5.7 三角函数的应用 1. 简谐运动y＝4sin的相位与初相是(　B　) A. 5x－ B. 5x－，－ C. 4，－ D. 4， 【解析】相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－. 2. 电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　B　) A. 5 A B. 2.5 A C. 2 A D. －5 A 【解析】将t＝ s代入I＝5sin，得I＝2.5 A. 3. 某港口一天6时到18时的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)的变化近似满足函数y＝3sin＋k，其图象如图所示，则这段时间水深的最大值是(　C　) A. 5 m B. 6 m C. 8 m D. 10 m 【解析】根据图象得函数的最小值是2，∴－3＋k＝2，得k＝5，∴水深的最大值是3＋5＝8(m). 4. 在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos，则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　C　) A. s1＞s2 B. s1＜s2 C. s1＝s2 D. 不能确定 【解析】当t＝时，s1＝5sin＝－5，s2＝5cos＝－5，∴s1＝s2. 5. 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器，如图1所示，各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt(ω＞0).图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值是(　D　) 图1 图2 A. 200 B. 400 C. 200π D. 400π 【解析】由图象可得，T＝4×，即，则ω＝400π. 6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　C　) A. y＝sin，t∈[0，＋∞) B. y＝sin，t∈[0，＋∞) C. y＝sin，t∈[0，＋∞) D. y＝sin，t∈[0，＋∞) 【解析】由题意可得函数的初相为，排除B，D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，∴|ω|＝，即ω＝－. 7. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声，如图所示.已知噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线的解析式为(　D　) A. y＝sin x B. y＝cos x C. y＝－sin x D. y＝－cos x 【解析】已知噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，可得ω＝＝1，∴噪声的声波曲线为y＝sin＝cos x，∴通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线的解析式为y＝－cos x. 8. (多选)如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列结论中，正确的有(　ABD　) A. 该质点的运动周期为0.8 s B. 该质点的振幅为5 cm C. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 【解析】由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，∴T＝0.8 s；最小值为－5，∴振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，∴速度为0. 9. (多选)阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中离开平衡位置的位移为1 cm的相邻时间差为 s，则ω的可能取值是(　AC　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【解析】令2sin(ωt＋φ)＝1，得t＝，k∈Z，或t＝，k∈Z， ∴，或，解得ω＝2，或ω＝4. 10. 某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为　80　.  【解析】∵f(t)＝24sin 160πt＋110，∴T＝，f＝＝80，∴此人每分钟心跳的次数为80. 11. 一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ 　cm.  【解析】由已知得＝1，∴＝2π，＝4π2，l＝. 12. 如表所示为某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深y 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y(单位：m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A＞0，ω＞0，h＞0)近似描述，则该港口在11：00的水深为　4　m.  【解析】由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A＞0，ω＞0，h＞0)的周期为T＝12，解得∴ω＝，∴y＝2sin t＋5，∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4(m). 13. (2024·杭州八县市区高一期末)某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0). (1)根据图中数据求函数的解析式； (2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰? 解：(1)由题图可知解得 又由函数f(x)的最小正周期T＝12＝，可得ω＝. 将(7，900)代入y＝100sin＋800，得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，∴φ＝－，故所求函数的解析式为y＝100sin＋800. (2)由题图可知，每隔半个最小正周期种群数量就出现一个低谷或一个高峰，又 ＝6，∴从7月1日开始，每隔6天种群数量就出现一个低谷或一个高峰. 14. (2024·福州高一期中)某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜，0≤t≤24)，其中h为水深(单位：m)，t为时间(单位：h)，该函数部分图象如图所示.若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与水底的距离)，求该船一天之内能在该港口停留多久. 解：由图可知解得A＝3，B＝4.由＝11－5＝6，得T＝12， ∴ω＝. ∵3sin＋4＝7，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|＜，∴φ＝－，∴h＝3sin＋4(0≤t≤24). 由题意得h＝3sin＋4≥4＋1.5，得sin≥， 得＋2kπ≤t－≤＋2kπ(k∈Z)，即3＋12k≤t≤7＋12k(k∈Z)， 当k＝0时，3≤t≤7；当k＝1时，15≤t≤19， ∴该船一天之内能在该港口停留7－3＋19－15＝8h. 15. (2024·福建莆田高一期末)在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图所示，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足θ＝90°－|δ－φ|.某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，则第x天太阳直射点的纬度y近似满足y＝23.5°·sin ωx(ω＞0)，初始时间为x＝0，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归年以365天计算. (1)求ω的值； (2)已知某小区的纬度为25°，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设标准用楼间距保障采光权，其中，楼间距＝.已知A，B间的楼间距为1.34，求一个回归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数(参考数据：tan 53.25°≈1.34). 解：(1)由题意得，函数y＝23.5°sin ωx的最小正周期T＝365，又ω＞0， ∴ω＝. (2)如图所示，当正午太阳光恰好照射到B楼底层时，tan θ＝1.34，∴θ≈53.25°，要使得能被正午太阳光照射到，则太阳高度角θ≤53.25°.由90°－(25°－y)≤53.25°，解得y≤－11.75°，整理得sinx≤－，可得≤x≤， 即212≤x≤334，又x∈Z，∴213≤x≤334，又334－213＋1＝122， ∴共有122天. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 三角函数的应用 1. 简谐运动y＝4sin的相位与初相是(　 　) A. 5x－ B. 5x－，－ C. 4，－ D. 4， 2. 电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　 　) A. 5 A B. 2.5 A C. 2 A D. －5 A 3. 某港口一天6时到18时的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)的变化近似满足函数y＝3sin＋k，其图象如图所示，则这段时间水深的最大值是(　 　) A. 5 m B. 6 m C. 8 m D. 10 m 4. 在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos，则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　 　) A. s1＞s2 B. s1＜s2 C. s1＝s2 D. 不能确定 5. 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器，如图1所示，各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt(ω＞0).图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值是(　 　) 图1 图2 A. 200 B. 400 C. 200π D. 400π 6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　 　) A. y＝sin，t∈[0，＋∞) B. y＝sin，t∈[0，＋∞) C. y＝sin，t∈[0，＋∞) D. y＝sin，t∈[0，＋∞) 7. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声，如图所示.已知噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线的解析式为(　 　) A. y＝sin x B. y＝cos x C. y＝－sin x D. y＝－cos x 8. (多选)如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列结论中，正确的有(　 　) A. 该质点的运动周期为0.8 s B. 该质点的振幅为5 cm C. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 9. (多选)阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中离开平衡位置的位移为1 cm的相邻时间差为 s，则ω的可能取值是(　 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为　 　.  11. 一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ 　 cm.  12. 如表所示为某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深y 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y(单位：m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A＞0，ω＞0，h＞0)近似描述，则该港口在11：00的水深为　 　m.  13. (2024·杭州八县市区高一期末)某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0). (1)根据图中数据求函数的解析式； (2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰? 14. (2024·福州高一期中)某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜，0≤t≤24)，其中h为水深(单位：m)，t为时间(单位：h)，该函数部分图象如图所示.若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与水底的距离)，求该船一天之内能在该港口停留多久. 15. (2024·福建莆田高一期末)在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图所示，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足θ＝90°－|δ－φ|.某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，则第x天太阳直射点的纬度y近似满足y＝23.5°·sin ωx(ω＞0)，初始时间为x＝0，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归年以365天计算. (1)求ω的值； (2)已知某小区的纬度为25°，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设标准用楼间距保障采光权，其中，楼间距＝.已知A，B间的楼间距为1.34，求一个回归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数(参考数据：tan 53.25°≈1.34). 学科网（北京）股份有限公司 $