专题01 幂的运算（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级上册

**基本信息** 以幂的运算五大核心模块为框架，系统整合法则正逆用、简便计算、逆运算求值及新定义问题，形成“概念-方法-应用”递进式训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同底数幂的乘法|10题|法则正用（底数不变指数相加）、逆用（指数拆分）及推广（多底数）|从定义推导法则，通过符号变换、底数转化深化理解| |幂的乘方与积的乘方|10题|幂的乘方（指数相乘）、积的乘方（因式分别乘方）及混合运算|结合同底数幂乘法，构建幂运算综合应用逻辑链| |简便计算|10题|转化底数为同底数幂，逆用积的乘方简化运算|运用幂的运算法则将复杂计算转化为指数运算| |逆运算求值|10题|指数拆分、公式逆用、代入求值四步法|建立已知幂与所求式的指数关系，培养逆向思维| |新定义问题|10题|理解新运算规则，转化为幂的运算求解|通过新情境应用幂的性质，提升数学语言表达能力|

专题01 幂的运算五类训练（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 确定题目要求“不含”的项，找到其合并后的系数 先将整式中的同类项进行合并（同类项指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项） 方法指导 1．计算： （1）（﹣a）3•（﹣a）2•a4； （2）（﹣x）2•xn•x•（﹣x）5． 2．计算． （1）a•a2•a4+n•a4﹣n； （2）． 3．计算： （1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3） （2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5 4．计算下列整式： （1）； （2）y3•（﹣y）•（﹣y）5•（﹣y）2． 5．计算： （1）x2•x4﹣x•（﹣x）5+x2•x3•x； （2）（2m﹣n）3•（n﹣2m）4（2m﹣n）6•（2m﹣n）． 6．计算： （1）（a﹣b）4•（b﹣a）n•（a﹣b）5（n是正整数）； （2）4×8×16×2m（m是正整数）． 7．计算： （1）（a+3）2•（a+3）3•（a+3）5； （2）（x﹣2y）2•（2y﹣x）3． 8．计算： （1）（a﹣b）2（b﹣a）3﹣（a﹣b）5； （2）（x﹣y）2（y﹣x）2+（x﹣y）3（y﹣x）． 9．已知：x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，求﹣a100+2101的值． 10．已知（a+b）a•（b+a）b＝（a+b）7，且（a﹣b）a+4•（a﹣b）4﹣b＝（a﹣b）7，求ab2的值． 训练2 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 对于任意底数a与任意正整数m，n，． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 方法指导 1．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 2．计算： （1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2； （2）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3． 3．计算： （1）（a﹣b）3（b﹣a）3+[（b﹣a）3]2； （2）a+2a+3a+a•a2•a3+（﹣2a2）3． 4．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）﹣（﹣2x2y）4+x2•（﹣x2）3•（﹣y4）﹣（﹣3x4y2）2． 5．计算 （1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2． 6．计算： （1）（a2n﹣1）2•（an+1）3； （2）x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2． 7．已知n为正整数，且x2n＝3，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 8．计算：（xa+b）2•（﹣xa﹣b）3+x2a﹣b•（﹣x3）a． 9．计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2） 10．如果n是正整数，计算：[（）n]2+（）2n﹣1． 训练3 利用幂的运算进行简便计算 利用幂的运算进行简便计算，核心是运用幂的运算法则（同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方等），将复杂的计算转化为指数的加减或乘法运算，从而简化过程。 方法指导 1．用简便方法计算： （1）0.12517×（﹣8）17； （2）0.12517×（217）3． 2．计算：0.259×220×259×643． 3．用简便方法计算：（结果，可用幂的形式表示）． 4．计算：． 5．计算： （1）； （2）0.252027×42026﹣8100×0.5300． 6．计算： （1）（2×102）3×（﹣103）4； （2）． 7．用简便方法计算： （1）； （2）0.1252025×（﹣82026）． 8．计算： （1）（﹣5）2024×（）2025； （2）（﹣0.5）2024×41013﹣（﹣0.125）2024×82025． 9．计算：（）100×（1）100×（0.5×3）2025×（﹣2）2026． 10．计算：． 训练4 幂的逆运算求值 1. 观察：对比已知幂的指数和所求式子指数 2. 拆分：加法拆乘法、乘法拆幂的乘方 3. 逆用公式：转化为题目给出的已知条件 4. 代入数值：直接计算结果 方法指导 1．按要求完成下列计算： （1）已知3×9y×81＝321，求y的值； （2）已知27+27+27+27＝2x，求x的值． 2．（1）已知2a﹣3b﹣4＝0，求9a÷27b的值． （2）若3×92x×27x+1＝339，求x的值． 3．解决下列问题： （1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知3a＝2，9b＝4，求33a+2b的值． 4．已知n为正整数，且x2n＝3． （1）求xn﹣3•x3（n+1）的值； （2）求9•（x3n）2﹣13•（x2）2n的值． 5．（1）已知2x+3×3x+3＝36x+1，求x的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3+（﹣2x2n）3的值． 6．（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025． 7．已知：2a＝3，2b＝5，2c＝30． （1）求代数式8a•4b的值； （2）试求a、b、c所满足的数量关系式． 8．计算： （1）若a+3b＝4，求3a×27b的值； （2）若2x＝3，求（23x+2•22x）2的值． 9．（1）若32×92m+1÷27m+1＝81，求m的值． （2）若x2n＝2，求（﹣3x3n）2﹣4（﹣x2）2n． 10．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： （1）已知2a＝3，2b＝5，求2a+b的值； （2）已知2m×4÷8n＝32，求2m﹣6n的值； （3）已知27＝a，38＝b，528＝c，试将3056用含a、b、c的代数式表示出来． 训练5 幂的运算中的新定义问题 1．定义两个正数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，那么（a，b）＝m，例如23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，16）＝　 　 ，（5，125）＝　 　 ． （2）令（2，3）＝x，（2，15）＝y，（2，45）＝z．试说明x+y＝z成立． 2．对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求（﹣1）2◎32的值； （2）若2◎2x+1＝80，求x的值． 3．对于实数a，b定义一种幂的新运算：am★bn＝（ab）m+n，m，n是正整数．例如：2★52＝21★52＝（2×5）1+2＝1000．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）1★3的值为　 　 ； （2）若22★2t+1＝64，求t的值； （3）这种运算是否满足结合律，即（am★bn）★cp＝am★（bn★cp）成立吗？请说明理由． 4．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值． （2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p⊕2q的值． 5．对于整数a，b定义新运算；a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m，n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）当m＝1，n＝100时，2※1的值为 　 　 ； （2）若4m﹣n＝3，1※4＝7，求2※2的值． 6．【阅读材料】对于整数a，b定义运算：a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m，n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）若m＝1，n＝2025，则2※1＝ 　 　 ； （2）若1※4＝10，2※2＝15，求42m+n+1的值． 7．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如指数式24＝16可转化为4＝log216，对数式2＝log525互转化为52＝25． 我们根据对数的定义可得对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0） 解决以下问题： （1）将指数43＝64转化为对数式 　 　 ； （2）试说明（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝　 　 ． 8．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　 　 ，（﹣2，﹣128）＝　 　 ； （2）若（5，5）＝a，（5，8）＝b，（5，40）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若（n，6）+（n，3）＝（n，t），求t的值． 9．规定：如果两数a，b满足am＝b，则记为：（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以记为：（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立，理由如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　 　 ，（5，1）＝　 　 ，（3，）＝　 　 ； （2）计算（7，3）+（7，10）＝　 　 ； （3）如果（3，m+17）＝4，（9，m）＝n，那么（3，　 　 ）＝2n； （4）若（3n，2n）＝s，（3，2）＝t，请说明s与t的关系．（n为正整数） 10．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2． （1）（﹣3，81]＝　 　 ；若（2，y]＝6，则y＝　 　 ； （2）已知（3，60]＝a，（3，4]＝b，（3，m]＝c，若a﹣b＝c，则m＝　 　 ； （3）若（5，10]＝a，（2，10]＝b，令． ①求的值； ②求t的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算五类训练（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 确定题目要求“不含”的项，找到其合并后的系数 先将整式中的同类项进行合并（同类项指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项） 方法指导 1．计算： （1）（﹣a）3•（﹣a）2•a4； （2）（﹣x）2•xn•x•（﹣x）5． 【解答】解：（1）（﹣a）3•（﹣a）2•a4 ＝﹣a3+2+4 ＝﹣a9； （2）（﹣x）2•xn•x•（﹣x）5． ＝﹣x2+n+1+5 ＝﹣xn+8． 2．计算． （1）a•a2•a4+n•a4﹣n； （2）． 【解答】解：（1）原式＝a1+2+4+n+4﹣n ＝a11； （2）原式 ． 3．计算： （1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3） （2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5 【解答】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3） ＝b2×b2×b3 ＝b7； （2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5 ＝﹣（y﹣2）3（y﹣2）7 ＝﹣（y﹣2）10． 4．计算下列整式： （1）； （2）y3•（﹣y）•（﹣y）5•（﹣y）2． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝﹣（﹣y）3•（﹣y）•（﹣y）5•（﹣y）2 ＝﹣（﹣y）3+1+5+2 ＝﹣（﹣y）11 ＝y11． 5．计算： （1）x2•x4﹣x•（﹣x）5+x2•x3•x； （2）（2m﹣n）3•（n﹣2m）4（2m﹣n）6•（2m﹣n）． 【解答】解：（1）x2•x4﹣x•（﹣x）5+x2•x3•x ＝x6+x6+x6 ＝3x6； （2）（2m﹣n）3•（n﹣2m）4（2m﹣n）6•（2m﹣n） ＝（2m﹣n）3•（2m﹣n）4（2m﹣n）6•（2m﹣n） ＝（2m﹣n）3+4+6+1 ＝（2m﹣n）14． 6．计算： （1）（a﹣b）4•（b﹣a）n•（a﹣b）5（n是正整数）； （2）4×8×16×2m（m是正整数）． 【解答】解：（1）原式＝﹣（b﹣a）4•（b﹣a）n•（b﹣a）5 ＝﹣（b﹣a）9+n； （2）原式＝22×23×24×2m ＝29+m． 7．计算： （1）（a+3）2•（a+3）3•（a+3）5； （2）（x﹣2y）2•（2y﹣x）3． 【解答】解：（1）原式＝（a+3）10； （2）原式＝（2y﹣x）2（2y﹣x）3 ＝（2y﹣x）5． 8．计算： （1）（a﹣b）2（b﹣a）3﹣（a﹣b）5； （2）（x﹣y）2（y﹣x）2+（x﹣y）3（y﹣x）． 【解答】解：（1）原式＝﹣（a﹣b）5﹣（a﹣b）5 ＝﹣2（a﹣b）5； （2）原式＝（x﹣y）4﹣（x﹣y）4 ＝0． 9．已知：x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，求﹣a100+2101的值． 【解答】解：∵x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12， ∴2a+b+3a﹣b+a＝12， 解得：a＝2， 当a＝2时， ﹣a100+2101＝﹣2100+2101＝﹣1×2100+2100×2＝2100（﹣1+2）＝2100． 10．已知（a+b）a•（b+a）b＝（a+b）7，且（a﹣b）a+4•（a﹣b）4﹣b＝（a﹣b）7，求ab2的值． 【解答】解：已知等式整理得：（a+b）a+b＝（a+b）7，且（a﹣b）a﹣b+8＝（a﹣b）7， ∴， 解得， ∴ab2＝3×42＝3×16＝48． 训练2 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 对于任意底数a与任意正整数m，n，． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 方法指导 1．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【解答】解：（1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2 ＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2 ＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 2．计算： （1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2； （2）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3． 【解答】解：（1）原式＝x6+x6﹣2x6＝0； （2）原式＝9x6﹣（﹣x6）+4x2﹣（﹣x3） ＝9x6+x6+4x2+x3 ＝10x6+x3+4x2． 3．计算： （1）（a﹣b）3（b﹣a）3+[（b﹣a）3]2； （2）a+2a+3a+a•a2•a3+（﹣2a2）3． 【解答】解：（1）原式＝﹣（a﹣b）3（a﹣b）3+（b﹣a）6 ＝﹣（a﹣b）6+（a﹣b）6 ＝0； （2）原式＝6a+a6﹣8a6＝6a﹣7a6． 4．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）﹣（﹣2x2y）4+x2•（﹣x2）3•（﹣y4）﹣（﹣3x4y2）2． 【解答】解：（1）原式＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）原式＝﹣16x8y4+x2•（﹣x6）•（﹣y4）﹣9x8y4 ＝﹣16x8y4+x8y4﹣9x8y4 ＝﹣24x8y4． 5．计算 （1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2． 【解答】解：（1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3 ＝64m6﹣9m6+（﹣8m6） ＝47m6； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2 ＝（﹣a2）•（﹣a3）•a4•a2 ＝a11． 6．计算： （1）（a2n﹣1）2•（an+1）3； （2）x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2． 【解答】解：（1）（a2n﹣1）2•（an+1）3 ＝a4n﹣2•a3n+3 ＝a7n+1； （2）x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2． ＝x9•（﹣x7）+5x16﹣x16 ＝﹣x16+5x16﹣x16 ＝3x16． 7．已知n为正整数，且x2n＝3，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 【解答】解：∵x2n＝3， ∴（3x3n）2﹣4（x2）2n ＝9（x2n）3﹣4（x2n）2 ＝9×33﹣4×32 ＝9×27﹣4×9 ＝207． 8．计算：（xa+b）2•（﹣xa﹣b）3+x2a﹣b•（﹣x3）a． 【解答】解：当a是奇数时， （xa+b）2•（﹣xa﹣b）3+x2a﹣b•（﹣x3）a ＝x2a+2b•（﹣x3a﹣3b）+x2a﹣b•（﹣x3a） ＝﹣x5a﹣b﹣x5a﹣b ＝﹣2x5a﹣b； 当a为偶数时， （xa+b）2•（﹣xa﹣b）3+x2a﹣b•（﹣x3）a ＝x2a+2b•（﹣x3a﹣3b）+x2a﹣b•x3a ＝﹣x5a﹣b+x5a﹣b ＝0， 所以（xa+b）2•（﹣xa﹣b）3+x2a﹣b•（﹣x3）a的值是﹣2x5a﹣b（a为奇数）或0（a为偶数）． 9．计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2） 【解答】解：原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2）， ＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4）， ＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4， ＝0． 10．如果n是正整数，计算：[（）n]2+（）2n﹣1． 【解答】解：[（）n]2+（）2n﹣1 ＝0． 训练3 利用幂的运算进行简便计算 利用幂的运算进行简便计算，核心是运用幂的运算法则（同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方等），将复杂的计算转化为指数的加减或乘法运算，从而简化过程。 方法指导 1．用简便方法计算： （1）0.12517×（﹣8）17； （2）0.12517×（217）3． 【解答】解：（1）0.12517×（﹣8）17 ＝[0.125×（﹣8）]17 ＝（﹣1）17 ＝﹣1； （2）0.12517×（217）3 ＝0.12517×（23）17 ＝（0.125×8）17 ＝117 ＝1． 2．计算：0.259×220×259×643． 【解答】解：原式＝0.259×220×518×49 ＝（0.25×4）9×（2×5）18×22 ＝19×1018×22 ＝4×1018． 3．用简便方法计算：（结果，可用幂的形式表示）． 【解答】解： ＝[（﹣2）×5]5×5 ＝（﹣10）5×5 ＝﹣500000． 4．计算：． 【解答】解：原式 ． 5．计算： （1）； （2）0.252027×42026﹣8100×0.5300． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝4﹣1 ＝3． 6．计算： （1）（2×102）3×（﹣103）4； （2）． 【解答】解：（1）原式＝8×106×1012 ＝8×1018； （2）原式＝（）12×（）7×（﹣8）13×（）9 ＝（﹣8）×[（）×（﹣8）]12×（）2×[（）×（）]7 ＝（﹣8）×11 ． 7．用简便方法计算： （1）； （2）0.1252025×（﹣82026）． 【解答】解：（1）原式 ＝（﹣1）6×（﹣1）4 ＝1×1 ＝1； （2）原式＝0.1252025×82025×（﹣8） ＝（0.125×8）2025×（﹣8） ＝12025×（﹣8） ＝1×（﹣8） ＝﹣8． 8．计算： （1）（﹣5）2024×（）2025； （2）（﹣0.5）2024×41013﹣（﹣0.125）2024×82025． 【解答】解：（1）（﹣5）2024×（）2025； ＝1 ； （2）（﹣0.5）2024×41013﹣（﹣0.125）2024×82025． ＝[（﹣0.5）2]1012×41013﹣（﹣0.125）2024×82024×8 ＝（﹣0.25）1012×41012×4﹣（﹣0.125×8）2024×8 ＝（﹣0.25×4）1012×4﹣（﹣1）2024×8 ＝（﹣1）1012×4﹣1×8 ＝1×4﹣8 ＝﹣4． 9．计算：（）100×（1）100×（0.5×3）2025×（﹣2）2026． 【解答】解：原式 ． 10．计算：． 【解答】解：原式 ＝（﹣1）10 ＝1． 训练4 幂的逆运算求值 1. 观察：对比已知幂的指数和所求式子指数 2. 拆分：加法拆乘法、乘法拆幂的乘方 3. 逆用公式：转化为题目给出的已知条件 4. 代入数值：直接计算结果 方法指导 1．按要求完成下列计算： （1）已知3×9y×81＝321，求y的值； （2）已知27+27+27+27＝2x，求x的值． 【解答】解：（1）3×9y×81＝321， 3×（32）y×34＝321， 3×32y×34＝321， 31+2y+4＝321， 1+2y+4＝21， y＝8； （2）27+27+27+27＝2x， 4×27＝2x， 22×27＝2x， 29＝2x， x＝9． 2．（1）已知2a﹣3b﹣4＝0，求9a÷27b的值． （2）若3×92x×27x+1＝339，求x的值． 【解答】解：（1）∵2a﹣3b﹣4＝0，即2a﹣3b＝4， ∴9a÷27b＝（32）a÷（33）b＝32a÷33b＝32a﹣3b＝34＝81； （2）∵3×92x×27x+1＝339， ∴3×（32）2x×（33）x+1＝339， ∴3×34x×33x+3＝339， ∴31+4x+3x+3＝339， 即37x+4＝339， ∴7x+4＝39， 解得x＝5． 3．解决下列问题： （1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知3a＝2，9b＝4，求33a+2b的值． 【解答】解：（1）∵2x+3y﹣4＝0， ∴2x+3y＝4， ∴9x•27y＝（32）x•（33）y ＝32x•33y ＝32x+3y ＝34 ＝81； （2）∵3a＝2，9b＝4， ∴33a+2b ＝33a•32b ＝（3a）3•（32）b ＝23•9b ＝8×4 ＝32． 4．已知n为正整数，且x2n＝3． （1）求xn﹣3•x3（n+1）的值； （2）求9•（x3n）2﹣13•（x2）2n的值． 【解答】解：（1）由条件可得： xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝32＝9； （2）由条件可得： 9•（x3n）2﹣13•（x2）2n＝9•（x2n）3﹣13•（x2n）2＝9×33﹣13×32＝126． 5．（1）已知2x+3×3x+3＝36x+1，求x的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3+（﹣2x2n）3的值． 【解答】解：（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式变形可得： 2x+3×3x+3＝36x+1， ∴（2×3）x+3＝（62）x+1， ∴6x+3＝62x+2， ∴x+3＝2x+2， 解得x＝1； （2）（3x3n）3+（﹣2x2n）3＝（3x3n）3+（﹣2）3（x3n）2， ∵x3n＝2， ∴原式＝（3×2）3+（﹣2）3×22＝184． 6．（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025． 【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3， ∴原式＝a2m×an ＝（am）2×an ＝22×3 ＝4×3 ＝12； （2）∵16m＝4×22n﹣2， ∴24m＝22×22n﹣2＝22n， ∴n＝2m， ∵27n＝9×3m+3， ∴33n＝3m+5， ∴3n＝m+5， ∴6m＝m+5， ∴m＝1， ∴n＝2， ∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1． 7．已知：2a＝3，2b＝5，2c＝30． （1）求代数式8a•4b的值； （2）试求a、b、c所满足的数量关系式． 【解答】解：（1）由条件可知： 8a•4b＝（23）a•（22）b＝（2a）3•（2b）2＝33×52＝675； （2）由条件可知2•2a•2b＝2c， ∴2a+b+1＝2c， ∴a+b+1＝c． 8．计算： （1）若a+3b＝4，求3a×27b的值； （2）若2x＝3，求（23x+2•22x）2的值． 【解答】解：（1）3a×27b＝3a×（33）b＝3a×33b＝3a+3b， ∵a+3b＝4， ∴3a×27b＝34＝81； （2）方法一：∵2x＝3， ∴23x＝33，22x＝32， ∴（23x+2•22x）2 ＝（23x•22•22x）2 ＝（33•22•32）2 ＝（35•22）2 ＝16×310． 方法二：原式＝（25x+2）2＝210x+4＝（2x）10×24＝310×16＝16×310． 9．（1）若32×92m+1÷27m+1＝81，求m的值． （2）若x2n＝2，求（﹣3x3n）2﹣4（﹣x2）2n． 【解答】解：（1）∵32×92m+1÷27m+1＝81， ∴32×34m+2÷33m+3＝34， ∴32+4m+2﹣3m﹣3＝34， ∴3m+1＝34， ∴m+1＝4， ∴m＝3； （2）∵x2n＝2， ∴原式＝9x6n﹣4x4n ＝9（x2n）3﹣4（x2n）2 ＝9×23﹣4×22 ＝72﹣16 ＝56． 10．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： （1）已知2a＝3，2b＝5，求2a+b的值； （2）已知2m×4÷8n＝32，求2m﹣6n的值； （3）已知27＝a，38＝b，528＝c，试将3056用含a、b、c的代数式表示出来． 【解答】解：（1）∵2a＝3，2b＝5， ∴2a+b＝2a•2b＝3×5＝15； （2）∵2m×4÷8n＝ ＝2m×22÷（23）n ＝2m×22÷23n 2m+2﹣3n， 又32＝25，2m×4÷8n＝32， ∴m+2﹣3n＝5， ∴m﹣3n＝3， ∴2m﹣6n＝2（m﹣3n）＝2×3＝6； （3）∵27＝a，38＝b，528＝c， ∴3056＝（2×3×5）56 ＝256•356•556 ＝（27）8•（38）7•（528）2 ＝a8•b7•c2 ＝a8b7c2． 训练5 幂的运算中的新定义问题 1．定义两个正数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，那么（a，b）＝m，例如23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，16）＝　 　 ，（5，125）＝　 　 ． （2）令（2，3）＝x，（2，15）＝y，（2，45）＝z．试说明x+y＝z成立． 【解答】解：（1）∵42＝16，53＝125， ∴（4，16）＝2，（5，125）＝3； 故答案为：2；3； （2）∵（2，45）＝z，（2，3）＝x，（2，15）＝y， ∴2z＝45，2x＝3，2y＝15， ∵3×15＝45， ∴2x•2y＝2z， ∴2x+y＝2z， ∴x+y＝z． 2．对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求（﹣1）2◎32的值； （2）若2◎2x+1＝80，求x的值． 【解答】解：（1）（﹣1）2◎32 ＝（﹣1×3）2+2+（﹣1+3）2×2 ＝（﹣3）4+24 ＝81+16 ＝97； （2）2◎2x+1＝80， （2×2）1+x+1+（2+2）x+1＝80， 4x+2+4x+1＝80， 4x+1×（4+1）＝80， 4x+1＝16， x+1＝2， x＝1． 3．对于实数a，b定义一种幂的新运算：am★bn＝（ab）m+n，m，n是正整数．例如：2★52＝21★52＝（2×5）1+2＝1000．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）1★3的值为　 　 ； （2）若22★2t+1＝64，求t的值； （3）这种运算是否满足结合律，即（am★bn）★cp＝am★（bn★cp）成立吗？请说明理由． 【解答】解：（1）∵am★bn＝（ab）m+n， ∴1★3 ＝11★31 ＝（1×3）1+1 ＝32 ＝9， 故答案为：9； （2）∵22★2t+1＝64， ∴（2×2）2+t+1＝43， 43+t＝43， 3+t＝3， t＝0； （3）满足结合律，理由如下： ∵（am★bn）★cp ＝（ab）m+n★cp ＝（abc）m+n+p， am★（bn★cp） ＝am★（bc）n+p ＝（abc）m+n+p， ∴（am★bn）★cp＝am★（bn★cp）成立． 4．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值． （2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p⊕2q的值． 【解答】解：（1）∵xa⊕xb＝xab+xa+b， ∴22⊕23 ＝22×3+22+3 ＝26+25 ＝64+32 ＝96； （2）根据题意可知，2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝（2p）q+2p×2q ＝3q+3×4 ＝9+12 ＝21． 5．对于整数a，b定义新运算；a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m，n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）当m＝1，n＝100时，2※1的值为 　 　 ； （2）若4m﹣n＝3，1※4＝7，求2※2的值． 【解答】解：（1）根据运算法则，2※1＝（21）1+（12）100＝2+1＝3． （2）∵1※4＝7，4m﹣n＝4m÷4n＝3， ∴（14）m+（41）n＝7，即1+4n＝7， ∴4n＝6， ∴4m＝18， ∴2※2＝（22）m+（22）n ＝4m+4n ＝18+6 ＝24． 6．【阅读材料】对于整数a，b定义运算：a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m，n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）若m＝1，n＝2025，则2※1＝ 　 　 ； （2）若1※4＝10，2※2＝15，求42m+n+1的值． 【解答】解：（1）∵a※b＝（ab）m+（ba）n，m＝1，n＝2025， ∴2※1 ＝（21）1+（12）2025 ＝21+14050 ＝2+1 ＝3， 故答案为：3； （2）∵1※4＝10，2※2＝15，a※b＝（ab）m+（ba）n， ∴， ， 由①得：4n＝9③， 把③代入②得：4m＝6， ∴42m+n+1 ＝42m•4n•4 ＝（4m）2•4n×4 ＝62×9×4 ＝36×9×4 ＝1296． 7．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如指数式24＝16可转化为4＝log216，对数式2＝log525互转化为52＝25． 我们根据对数的定义可得对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0） 解决以下问题： （1）将指数43＝64转化为对数式 　 　 ； （2）试说明（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝　 　 ． 【解答】解：（1）指数43＝64转化为对数式3＝log464， 故答案为：3＝log464； （2）设logaM＝m，logaN＝n， 则M＝am，N＝an， ∴am÷an＝am﹣n， ∴m﹣n ∴logaM﹣logaN； （3）log32+log36﹣log34 ＝log32×6÷4 ＝log33 ＝1． 故答案为：1． 8．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　 　 ，（﹣2，﹣128）＝　 　 ； （2）若（5，5）＝a，（5，8）＝b，（5，40）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若（n，6）+（n，3）＝（n，t），求t的值． 【解答】解：（1）∵如果ac＝b，那么（a，b）＝c， ∴52＝25，（﹣2）7＝﹣128， ∴（5，25）＝2，（﹣2，﹣128）＝7． 故答案为：2；7； （2）∵（5，5）＝a，（5，8）＝b，（5，40）＝c， 5a＝5，5b＝8，5c＝40， ∵5×8＝40， ∴5a×5b＝5c， ∴5a+b＝5c， ∴a+b＝c； （3）设（n，6）＝x，（n，3）＝y，（n，t）＝z， ∴nx＝6，ny＝3，nz＝t， ∵（n，6）+（n，3）＝（n，t）， ∴x+y＝z， ∴nx•ny＝nx+y＝nz， ∴6×3＝t＝18． 9．规定：如果两数a，b满足am＝b，则记为：（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以记为：（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立，理由如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　 　 ，（5，1）＝　 　 ，（3，）＝　 　 ； （2）计算（7，3）+（7，10）＝　 　 ； （3）如果（3，m+17）＝4，（9，m）＝n，那么（3，　 　 ）＝2n； （4）若（3n，2n）＝s，（3，2）＝t，请说明s与t的关系．（n为正整数） 【解答】解：（1）设（5，25）＝m，则5m＝25， ∴m＝2， ∴（5，25）＝2； 设（5，1）＝m，则5m＝1， ∴m＝0， ∴（5，1）＝0； 设（3，）＝m，则3m ∴m＝﹣2， ∴（3，）＝﹣2； 故答案为：2，0，﹣2； （2）设（7，3）＝m，（7，10）＝n， ∴7m＝3，7n＝10， ∴7m•7n＝7m+n＝30， ∴（7，3）+（7，10）＝（7，30）， 故答案为：（7，30）； （3）∵（3，m+17）＝4， ∴34＝m+17， ∴m＝81﹣17＝64， ∵（9，m）＝n， ∴9n＝m＝64， ∴32n＝64， ∴（3，64）＝2n， 故答案为：64； （4）∵（3n，2n）＝s， ∴3sn＝2n， ∴3s＝2， ∵（3，2）＝t， ∴3t＝2， ∴s＝t． 10．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2． （1）（﹣3，81]＝　 　 ；若（2，y]＝6，则y＝　 　 ； （2）已知（3，60]＝a，（3，4]＝b，（3，m]＝c，若a﹣b＝c，则m＝　 　 ； （3）若（5，10]＝a，（2，10]＝b，令． ①求的值； ②求t的值． 【解答】解：（1）由条件可知（﹣3，81]＝4； ∵26＝64，（2，y]＝6， ∴y＝64； 故答案为：4，64； （2）∵（3，60]＝a，（3，4]＝b，（3，m]＝c， ∴3a＝60，3b＝4，3c＝m， ∴3a÷3b＝3a﹣b＝60÷4＝15， ∵a﹣b＝c， ∴3a﹣b＝3c， ∴m＝15； 故答案为：15； （3）由题意可知5a＝10，2b＝10， ①； ②∵5ab＝（5a）b＝10b，5a+b＝5a•5b＝10×5b， ∴， ∴5ab＝5a+b， ∴ab＝a+b， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $