28.1 图形的旋转 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形的旋转”核心知识点，从定义（明确旋转中心、方向、角度三要素）到性质（对应点到旋转中心距离相等、对应点与中心连线夹角为旋转角、图形全等），再到简单作图及与平移的异同对比，构建完整学习支架。 资料通过例题与试题专炼突出特色，如旋转作图（例题2）培养几何直观（数学眼光），角度推导（例题1）发展推理能力（数学思维），证明题（第5题）强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

28.1 图形的旋转 课节学习目标 1. 掌握旋转的有关概念及基本性质。 2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题。 3. 能够根据旋转的基本性质进行简单作图。 课节知识点解读 知识点1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 转动的方向分为顺时针与逆时针。 注意：确定一次图形的旋转时,必须明确 （1）旋转中心；（2）旋转角；（3）旋转方向。 温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换. 知识点2. 旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前后的图形全等。 知识点3. 简单的旋转作图 示例：如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形． 注意：平移和旋转的异同 ①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小. ②不同 课节知识点例题讲析 【例题1】如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【例题2】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　) A．30° B．45° C．90° D．135° 2. 如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( ) A. 25π+24 B. 5π+24 C. 25π D. 5π 3.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　 　°． 4.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　 　． 5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，边AB与相交于点E．求证：． 28.1 图形的旋转 课节学习目标 1. 掌握旋转的有关概念及基本性质。 2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题。 3. 能够根据旋转的基本性质进行简单作图。 课节知识点解读 知识点1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 转动的方向分为顺时针与逆时针。 注意：确定一次图形的旋转时,必须明确 （1）旋转中心；（2）旋转角；（3）旋转方向。 温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换. 知识点2. 旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前后的图形全等。 知识点3. 简单的旋转作图 示例：如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形． 【答案】见解析。 【解析】(1)连接OA、OB、OC、OD、OE； (2)分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF， ∠COG， ∠DOH，使∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE； (3)分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD； (4)连接EF，FG，GH，HE， 四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形． 注意：平移和旋转的异同 ①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小. ②不同 课节知识点例题讲析 【例题1】如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案． ∵将绕点顺时针旋转得到，且 ∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E， ∴∠B=∠BDC， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 【例题2】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 【答案】见解析。 【解析】作图关键－关键是确定点E的对应点E′ ∵点A是旋转中心，∴它的对应点是点A. 正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90 °，所以旋转后重合. 设点E的对应点为E′. ∵△ADE≌△ABE′ ∴∠ABE′＝90 °＝∠ADE， BE′＝DE， 因此 在CB的延长线上截取点E′,使BE ′=DE. 则△ABE′为旋转后的图形。 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　) A．30° B．45° C．90° D．135° 【答案】C 【解析】对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C. 2. 如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( ) A. 25π+24 B. 5π+24 C. 25π D. 5π 【答案】A 【解析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解． ∵，，， ∴， ∴所扫过的面积为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键． 3.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　 　°． 【答案】70． 【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°， ∴△OAB≌△OA1B1， ∴∠A1OB=∠AOB=30°． ∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°． 4.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　 　． 【答案】1.6． 【解析】由旋转的性质可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.6， ∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6． 5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，边AB与相交于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°，即． 由旋转，得， ∴． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $