2. 简谐运动的描述（举一反三讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

2. 简谐运动的描述 目录 【学习目标】 1 【知识梳理】 2 一、振幅、周期、频率 2 二、简谐运动的相位、表达式 5 三、简谐运动的周期性与对称性 7 【巩固训练】 10 【学习目标】 1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义 2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义 3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义（重难点） 4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式（重难点） 【知识梳理】 一、振幅、周期、频率 振幅 1．概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。 2．意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 周期和频率 1．全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的 对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A (2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同 2．周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s) 3．频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz 4．周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 路程与振幅的关系 完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。 振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。 但是：振动物体在（）个周期内的路程不一定等于一（三）个振幅。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，（）个周期内的路程才等于一（三）个振幅。 5．圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝，ω＝2πf 弹簧振子的振动分析 (1)位移及其变化 位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向小球所在的位置．当小球从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；反之，位移减小 (2)速度及其变化 小球在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零．小球由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；反之，速度增大 (3)涉及加速度变化的图像问题 不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大 【典例1】（多选）如图所示，一弹簧振子在、间做简谐运动，为平衡位置，间距离为，从到运动一次的时间为，则（ ） A．从到振子作了一次全振动 B．振动周期为，振幅为 C．经过两次全振动，振子通过的路程是 D．振子从点开始，经位移是 【答案】BC 【详解】A．从到振子作了半个全振动，选项A错误； B．从B到C为半个周期，时间为1s，则振动周期为，因BC=10cm，则振幅为，选项B正确； C．一次全振动振子的路程为4A，经过两次全振动，振子通过的路程是，选项C正确； D．振子从点开始，经到达C点，则位移是10cm，选项D错误。 故选BC。 【变式1】一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为(　　) A.4 cm,10 cm B.4 cm,100 cm C.0,24 cm D.0,100 cm 【答案】B 【详解】 质点的振动周期T==0.4 s,故时间t=T=T,所以2.5 s末质点在最大位移处,位移大小为4 cm,质点通过的路程为s=4A·=4×4× cm=100 cm,B正确。 【变式2】有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　) A.1∶1　1∶1 B.1∶1　1∶2 C.1∶4　1∶4 D.1∶2　1∶2 【答案】B 【详解】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2,而对同一振动系统,其周期与振幅无关,振动周期由振动系统的性质决定,则周期之比为1∶1,B项正确。 【变式3】关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是(　　) A．运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍 B．运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍 C．运动个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍 D．运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍 【答案】A 【解析】运动一个周期，小球完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅的4倍，故A正确； 假设小球从一端开始运动，经过半个周期，则小球恰好到达另一端点，位置变化，故B错误； 若从最大位移处与平衡位置之间的某点开始运动，运动周期时由于速度不是均匀变化的，路程并不等于振幅的3倍，故C错误； 只有小球振动一个周期时，路程才等于振幅的4倍，若小球回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振幅的4倍，故D错误 二、简谐运动的相位、表达式 1．相位 相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 2．相位差 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 3．简谐运动的表达式x＝Asin(t＋φ) (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 【典例1】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m，以下说法正确的是(　　) A．物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m B．物体A、B的周期相等，为100 s C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB D．物体A的相位始终超前物体B的相位 【答案】CD 【解析】物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误。物体A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s，B错误。因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确。Δφ＝φA0－φB0＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D正确。 【变式1】物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos (m)，物体B做简谐运动的振动位移为xB=5cos (m)。比较A、B的运动（ ） A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B.周期是标量，A、B周期相等为100 s C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB 【答案】C 【详解】振幅是标量,A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 m,A项错误; 周期是标量，A、B的周期T= 6.28×10-2 s,B项错误；因为TA=TB,故fA=fB,C项正确，D项错误。 【变式2】(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt (m),时间t的单位为s。下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零 D.质点在0.1 s末与0.3 s末的位移相同 【答案】CD 【详解】由振动方程为y=0.1sin2.5πt(m),可读出振幅A=0.1m,圆频率ω=2.5πrad/s,故周期T=s=0.8s,故A、B错误;在t=0.2s时,振子的位移最大,故速度最小,为零,故C正确;表达式对应的振动图像如图所示。根据图像的对称性,质点在0.1s末与0.3s末的位移相等,故D正确。 【变式3】(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列叙述正确的是(　　) A.质点的振动频率为4 Hz B.在10 s内质点经过的路程为20 cm C.在5 s末,质点做简谐运动的相位为π D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 cm 【答案】BD 【详解】由题图振动图像可直接得到周期T=4s,频率f==0.25Hz,故A错误;做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A=8cm,10s为2.5个周期,故质点经过的路程为20cm,故B正确;由图像知位移与时间的关系为x=2sint(cm),当t=5s时,其相位为×5=π,故C错误;在1.5s和4.5s两时刻,质点位移相同,x'=2sincm=cm,故D正确。 三、简谐运动的周期性与对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中， (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 【典例1】(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　) A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s 【答案】AC 【解析】假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝×4 s＝ s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s．如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T＝4×(0.3＋) s＝1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。 【变式1】弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.4s，第一次到达点M，再经过0.2s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A． B．1s C． D．2.4s 【答案】A 【详解】作出示意图如图所示， 若从O点开始向右振子按下面路线振动，则振子的振动周期为 如下图 若从O点开始向左振子按下面路线振动，M1为M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为 故选A。 【变式2】弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 【答案】D 【详解】由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。 故选D。 【变式3】弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.6s B．0.8s C．1.2s D．1.8s 【答案】B 【详解】如图甲所示 若振子从O点开始向右振动，则振子的振动周期为 如图乙所示 若振子从O点开始向左振动，令从O到M的时间为t，则有 则可解得；振子的振动周期为 故选B。 【巩固训练】 1．（多选）有两个简谐运动，其表达式分别是x1=4sin（） cm，x2=5sin（） cm，下列说法正确的是（　　） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 【多选】BC 【详解】A．由表达式可知它们的振幅分别是4 cm、5 cm，故不同，A错误； B．由表达式可知它们的，根据；它们的周期相同，故B正确； C．根据；它们的相位差恒定，故C正确； D．由C可知，，即振动步调不一致，故D错误。 故选BC。 2．（多选）图1中弹簧振子的平衡位置为O，在A、B两点间做简谐振动，图2是它的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．小球的振动频率为0.8Hz B．s时，小球加速度正向最大 C．s时，小球的位移为4cm D．s时和s时，小球的位移、速度相同 【多选】BC 【详解】A．由图2可知，振动周期为T=0.8s，则小球的振动频率为；故A错误； B．s时，小球处于负向最大位移处，此时小球加速度正向最大，故B正确； C．s时，小球振动时间有；则此时，小球在正向最大位移处，故小球的位移为4cm，故C正确； D．s时和s时，小球的位移相同，速度大小相同，方向不同，s时小球速度负向，s时小球速度正向，故D错误。 故选BC。 3．有一个弹簧振子，振幅为，周期为，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，可得 初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移，初相位，得弹簧振子的振动方程为 故选A。 4．如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距20cm的A、B两点，历时1.0s，过B点后再经过t=0.5s质点第二次通过B点，则质点振动的周期是（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 【答案】C 【详解】简谐运动的质点，先后以同样的速度通过A、B两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到平衡位置O时间与由平衡位置O到B的时间相等，即平衡位置O到B点的时间 因过B点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位置的时间；因此，质点振动的周期是 故选C。 5．如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（　　） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子位于O点 D．时，振子具有最大加速度 【答案】B 【详解】A．由函数关系式可知，振幅为5cm，即OM间的距离是5cm，MN间的距离是10cm，故A错误； B．由函数式可知ω=10π，故周期；故B正确； C．t=0时，代入表达式可知x=5cm；即振子处于N位置，故C错误； D．把t=0.05s代入得x=0；即处于平衡位置，振子的加速度为0，速度最大，故D错误； 故选B。 6．（多选）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．振动图象的频率是0.5Hz B．2s末速度为负方向，加速度为零 C．3s末，质点速度为零，加速度为正向最大值 D．5s末速度为零，位移为反向最大值 【答案】BC 【详解】A．振动图象的周期为4s，则频率是0.25Hz，选项A错误； B．图像的切线的斜率等于速度，可知2s末速度为负方向，加速度为零，选项B正确； C．3s末，质点速度为零，位移为负向最大，则加速度为正向最大值，选项C正确； D．5s末速度为零，位移为正向最大值，选项D错误。 故选BC。 7．（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系式为x=Asinωt，图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．弹簧在第ls末与第5s末的长度相同 B．简谐运动的圆频率ω=rad/s C．第3s末弹簧振子的位移大小为A D．第3s末至第5s末弹簧振子的速度方向都相同 【答案】BCD 【详解】A．由振动图象可知，振子在第1s末和第5s末的位移大小相等、方向相反，说明弹簧分别处于伸长状态和压缩两个不同状态，所以弹簧的长度不同，故A错误； B．由图可知简谐振动的周期为T=8s，则圆频率；故B正确； C．第3s末弹簧振子的位移大小为；故C正确； D．由图可知弹簧振子在第3s末和第5s末的位移大小相等、方向相反，两位置关于平衡位置对称，则速度大小相等，而且两个时刻振子均沿x轴负方向运动，即速度方向也相同，故D正确。 故选BCD。 8．（多选）某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．该简谐运动的表达式为y=2cos（0.5πt+0.5π）（cm） B．1s～3s内，质点的速度方向与加速度方向始终相同 C．t=s时，质点的位移为1cm D．t=1s和t=3s时，质点的速度大小相等方向相反 【答案】CD 【详解】 A．振幅为2cm，周期为4s，则角速度为 故简谐振动的表达式为 在图中选取一点带入表达式中求出 故简谐振动的表达式为；故A错误； B．1s到2s时间内，质点做减速运动，故速度与加速度反向，故B错误； C．将t=s带入表达式可得；故C正确； D．y-t图像中斜率表示速度，1s和3s时刻速度大小相等，方向相反，故D正确。 故选CD。 9．（多选）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是（　　） A．质点的振动频率为4Hz B．在10s内质点经过的路程为20cm C．在5s末，质点做简谐运动的位移为2cm D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等且为cm 【答案】BCD 【详解】A．由题目中的振动图像可直接得到周期为4s，则频率为；A错误； B．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程为；10s为2.5个周期，故质点经过的路程为20cm，B正确； C．由题图可知5s末质点的位移为2cm，C正确； D．质点的位移与时间的关系为；把1.5s和4.5s分别代入方程可得位移大小都是，D正确。 故选BCD。 10．（多选）如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示，由振动图像可知（　　） A．从到，振子正从点向点运动 B．在时刻，振子的位置在点 C．在时刻，振子的加速度为零 D．振子的振动周期为 【答案】CD 【详解】A．由图像可知，从t1到t2，振子从平衡位置向x轴正向运动，即振子正从O点向b点运动，故A错误； B．在t=t2时刻，振子的位移最大振子的位置在点，故B错误； C．在t=t1时刻，振子振子在平衡位置，此时速度最大，振子的加速度为零，故C正确； D．弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从振动图象可以看出振子的振动周期为2t1，故D正确。 故选CD。 11．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列叙述正确的是(　　) A.质点的振动频率为4 Hz B.在10 s内质点经过的路程为20 cm C.在5 s末,质点做简谐运动的相位为π D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 cm 【答案】BD 【详解】由题图振动图像可直接得到周期T=4s,频率f==0.25Hz,故A错误;做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A=8cm,10s为2.5个周期,故质点经过的路程为20cm,故B正确;由图像知位移与时间的关系为x=2sint(cm),当t=5s时,其相位为×5=π,故C错误;在1.5s和4.5s两时刻,质点位移相同,x'=2sincm=cm,故D正确。 12．(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt (m),时间t的单位为s。下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零 D.质点在0.1 s末与0.3 s末的位移相同 【答案】CD 【详解】由振动方程为y=0.1sin2.5πt(m),可读出振幅A=0.1m,圆频率ω=2.5πrad/s,故周期T=s=0.8s,故A、B错误;在t=0.2s时,振子的位移最大,故速度最小,为零,故C正确;表达式对应的振动图像如图所示。根据图像的对称性,质点在0.1s末与0.3s末的位移相等,故D正确。 13．(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin 2.5πt(m)。t=0时刻,一小球从距物块平衡位置h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　) A.h=1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反 【答案】AB 【详解】t=0.6s时,物块的位移为x=0.1sin(2.5π×0.6)m=-0.1m,则对小球h+|x|=gt2,解得h=1.7m,选项A正确;简谐运动的周期是T=s=0.8s,选项B正确;0.6s内物块运动的路程是3A=0.3m,选项C错误;t=0.4s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。 14．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船。在一个周期内,游客能舒服登船的时间是(　　) A.0.5 s B.0.75 s C.1.0 s D.1.5 s 【答案】C 【详解】设振动图像的表达式为y=Asinωt, 由题意可知ωt1=,ωt2=π, 其中ω=πrad/s, 解得t1=0.25s,t2=1.25s, 则游客舒服登船时间Δt=t2-t1=1.0s。 15．（2024·浙江·高考真题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　） A．时刻小球向上运动 B．时刻光源的加速度向上 C．时刻小球与影子相位差为 D．时刻影子的位移为 【答案】D 【详解】A．以竖直向上为正方向，根据图2可知，时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，时刻小球向下运动，故A错误； B．以竖直向上为正方向，时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据；可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误； C．根据图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即时刻小球与影子相位差为0，故C错误； D．根据图2可知，时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有；解得 即时刻影子的位移为5A，故D正确。 故选D。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2. 简谐运动的描述 目录 【学习目标】 1 【知识梳理】 2 一、振幅、周期、频率 2 二、简谐运动的相位、表达式 4 三、简谐运动的周期性与对称性 6 【巩固训练】 7 【学习目标】 1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义 2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义 3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义（重难点） 4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式（重难点） 【知识梳理】 一、振幅、周期、频率 振幅 1．概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。 2．意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 周期和频率 1．全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的 对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A (2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同 2．周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s) 3．频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz 4．周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 路程与振幅的关系 完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。 振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。 但是：振动物体在（）个周期内的路程不一定等于一（三）个振幅。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，（）个周期内的路程才等于一（三）个振幅。 5．圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝，ω＝2πf 弹簧振子的振动分析 (1)位移及其变化 位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向小球所在的位置．当小球从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；反之，位移减小 (2)速度及其变化 小球在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零．小球由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；反之，速度增大 (3)涉及加速度变化的图像问题 不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大 【典例1】（多选）如图所示，一弹簧振子在、间做简谐运动，为平衡位置，间距离为，从到运动一次的时间为，则（ ） A．从到振子作了一次全振动 B．振动周期为，振幅为 C．经过两次全振动，振子通过的路程是 D．振子从点开始，经位移是 【变式1】一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为(　　) A.4 cm,10 cm B.4 cm,100 cm C.0,24 cm D.0,100 cm 【变式2】有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　) A.1∶1　1∶1 B.1∶1　1∶2 C.1∶4　1∶4 D.1∶2　1∶2 【变式3】关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是(　　) A．运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍 B．运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍 C．运动个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍 D．运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍 二、简谐运动的相位、表达式 1．相位 相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 2．相位差 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 3．简谐运动的表达式x＝Asin(t＋φ) (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 【典例1】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m，以下说法正确的是(　　) A．物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m B．物体A、B的周期相等，为100 s C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB D．物体A的相位始终超前物体B的相位 【变式1】物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos (m)，物体B做简谐运动的振动位移为xB=5cos (m)。比较A、B的运动（ ） A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B.周期是标量，A、B周期相等为100 s C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB 【变式2】(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt (m),时间t的单位为s。下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零 D.质点在0.1 s末与0.3 s末的位移相同 【变式3】(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列叙述正确的是(　　) A.质点的振动频率为4 Hz B.在10 s内质点经过的路程为20 cm C.在5 s末,质点做简谐运动的相位为π D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 cm 三、简谐运动的周期性与对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中， (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 【典例1】(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　) A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s 【变式1】弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.4s，第一次到达点M，再经过0.2s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A． B．1s C． D．2.4s 【变式2】弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 【变式3】弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.6s B．0.8s C．1.2s D．1.8s 【巩固训练】 1．（多选）有两个简谐运动，其表达式分别是x1=4sin（） cm，x2=5sin（） cm，下列说法正确的是（　　） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 2．（多选）图1中弹簧振子的平衡位置为O，在A、B两点间做简谐振动，图2是它的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．小球的振动频率为0.8Hz B．s时，小球加速度正向最大 C．s时，小球的位移为4cm D．s时和s时，小球的位移、速度相同 3．有一个弹簧振子，振幅为，周期为，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距20cm的A、B两点，历时1.0s，过B点后再经过t=0.5s质点第二次通过B点，则质点振动的周期是（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 5．如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（　　） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子位于O点 D．时，振子具有最大加速度 6．（多选）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．振动图象的频率是0.5Hz B．2s末速度为负方向，加速度为零 C．3s末，质点速度为零，加速度为正向最大值 D．5s末速度为零，位移为反向最大值 7．（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系式为x=Asinωt，图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．弹簧在第ls末与第5s末的长度相同 B．简谐运动的圆频率ω=rad/s C．第3s末弹簧振子的位移大小为A D．第3s末至第5s末弹簧振子的速度方向都相同 8．（多选）某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．该简谐运动的表达式为y=2cos（0.5πt+0.5π）（cm） B．1s～3s内，质点的速度方向与加速度方向始终相同 C．t=s时，质点的位移为1cm D．t=1s和t=3s时，质点的速度大小相等方向相反 9．（多选）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是（　　） A．质点的振动频率为4Hz B．在10s内质点经过的路程为20cm C．在5s末，质点做简谐运动的位移为2cm D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等且为cm 10．（多选）如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示，由振动图像可知（　　） A．从到，振子正从点向点运动 B．在时刻，振子的位置在点 C．在时刻，振子的加速度为零 D．振子的振动周期为 11．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列叙述正确的是(　　) A.质点的振动频率为4 Hz B.在10 s内质点经过的路程为20 cm C.在5 s末,质点做简谐运动的相位为π D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 cm 12．(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt (m),时间t的单位为s。下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零 D.质点在0.1 s末与0.3 s末的位移相同 13．(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin 2.5πt(m)。t=0时刻,一小球从距物块平衡位置h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　) A.h=1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反 14．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船。在一个周期内,游客能舒服登船的时间是(　　) A.0.5 s B.0.75 s C.1.0 s D.1.5 s 15．（2024·浙江·高考真题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　） A．时刻小球向上运动 B．时刻光源的加速度向上 C．时刻小球与影子相位差为 D．时刻影子的位移为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $