第二十四章 一元二次方程（10考点+15易错+易错训练）（知识清单）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理“一元二次方程”内容，涵盖定义、解法、根与系数关系及应用等核心范畴，搭建从概念理解到解法技巧再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点”分类呈现知识体系，标注二次项系数不为0等重难点，分解配方法步骤等解题技巧，归纳数字、增长率等应用类型，培养运算能力和推理意识，发展模型意识，助力学生自主突破难点，教师可精准设计教学提升效率。

第二十四章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点八、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点九、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点十、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 易错点1 一元二次方程的定义及含参问题 易错提醒 判断一元二次方程时，易忽略二次项系数不能为零的核心条件，只关注未知数最高次数为二。解决含参问题时常遗漏参数取值限制，默认参数任意取值。容易混淆一元一次与一元二次方程的参数范围，分类讨论不全面，遗漏特殊情况，最终导致参数求解出错、答案不完整。 【对点训练】1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）一元二次方程的一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式的定义是解题的关键，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），其中叫做二次项，为二次项系数，叫做一次项，为一次项系数，是常数项．根据一元二次方程的一般形式的定义直接解答即可． 【详解】解：一元二次方程一般形式为． 故选：C． 【对点训练】2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1 【对点训练】3．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或3， 即， 故． 故选A． 易错点2 一元二次方程的解及其含参问题 易错提醒 求解一元二次方程含参问题时，常忽略二次项系数不为零的前提条件。已知方程的解求参数时，代入计算易出现运算失误，且不会检验参数是否符合方程定义。面对方程有实数解的题型，容易忘记判别式的取值范围，分类讨论不严谨，遗漏无解、一解、两解的不同情况。 【对点训练】4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 【对点训练】5．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 【对点训练】6．（25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 易错点3 一元二次方程的一般式 易错提醒 一元二次方程一般式易错点集中在形式化简与条件判断。做题时常未将方程整理成右边为零的标准形式，同时容易忽略二次项系数不为零的关键条件。部分学生混淆一次项、二次项与常数项，看错正负符号，整理式子时移项忘变号，导致后续求解、判定方程类型全部出错。 【对点训练】7．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式，进而解题． 【详解】解：∵ 原方程， 展开得， 移项得， 此时二次项系数为1，一次项系数为2， ∴ 一次项系数为2． 故选：B． 【对点训练】8．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 【对点训练】9．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是： （，，是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：设表示的数为， 化成一元二次方程一般形式是， ∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0， ∴， ∴表示的数为4， 故选：B． 易错点4 一元二次方程解的估算 易错提醒 估算一元二次方程的解时，学生常盲目取值估算，不会利用函数值正负判断解的取值区间。容易忽略解的整数、小数范围，取值跳跃导致估算偏差。部分学生不会逐步逼近精准估解，仅凭主观猜测，同时忽略估算结果需要检验，缺乏严谨逻辑，造成估算结果不准确、区间判断错误。 【对点训练】10．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 【对点训练】11．（24-25九年级下·广东佛山·阶段检测）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 【对点训练】12．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 易错点5 解一元二次方程 易错提醒 用指定方法解方程时，学生常不按题目要求，随意选用公式法、配方法等其他解法。使用配方法时常漏加常数、配方不等价；公式法易记错公式、代错系数符号。因式分解法容易分解不彻底，忽略移项化为标准形式，残留零解。步骤书写不规范，化简计算粗心，最终导致解题错误、步骤失分。 【对点训练】13．（25-26九年级上·河北张家口·期末）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是选择恰当的方法解方程； （1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可： （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得：， ， 解得：； （2）解：整理得：， 解得：． 【对点训练】14．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 【对点训练】15．（2026·河北保定·二模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2) 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 易错点6 配方法的应用 易错提醒 运用配方法解题时，常忘记先将二次项系数化为一，直接配方导致出错。移项时常出现符号错误，配方时只在一边加常数，未保持等式两边平衡。容易凑错一次项一半的平方，配方步骤不完整。应用配方求最值、取值范围时，忽略自变量取值限制，判断结果片面，造成解题失误。 【对点训练】16．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）把一元二次方程化成的形式时，的值为（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由，可得，从而可得，从而可得的值． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是配方法解一元二次方程以及代数式求值，掌握配方法是解题的关键． 【对点训练】17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则______； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 【对点训练】18．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试应用上述方法解决下列问题： (1)已知，则y的最小值是________． (2)已知，则y有最________值（填“大”或“小”），最值是________． (3)应用：若，，请比较P和Q的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)大，9 (3) 解：，理由如下 ，， ， 即，所以． 【分析】本题主要考查了用配方法解决问题，熟悉配方法是解题的关键． （1）根据题意配方求解即可； （2）根据题意配方求解即可； （3）作差，再配方比较即可． 【详解】（1）解：配方得， ∵，， ∴，即的最小值是3． 故答案为：3． （2）解：， ， ， 则y有最大值，最大值为9． 故答案为：大，9． （3）略 易错点7 换元法 易错提醒 使用换元法解一元二次方程时，易错设元不当，无法简化原式。整体换元后容易忘记还原原未知数，直接写出新元答案导致失分。计算中常混淆新元取值范围，忽略隐含限制条件。部分学生换元后整理式子出错，漏项、错号，且不检验结果，容易产生增根，造成解题错误。 【对点训练】19．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 【对点训练】20．（25-26九年级上·河北承德·期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 _______________ ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 _______________ ． 【答案】 【分析】先用换元法得到一元二次方程，注意，然后用因式分解法解一元二次方程，保留有意义的根，舍去不符合题意的根 【详解】∵， ∴令，则， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍）或， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，注意隐含条件的判断是解决问题的关键 【对点训练】21．（2025八年级下·江苏南京·竞赛）解方程： 【答案】，，， 【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想． 令，原方程可化为，利用因式分解法解得，，再分别解以及即可． 【详解】解：令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ∴原方程的根为，，，． 易错点8 根的判别式 易错提醒 运用根的判别式解题时，最易忽略二次项系数不为零的前提条件。学生常记错判别式的符号关系，混淆有实数根、两个相等实数根和两个不相等实数根的判定条件。含参题型中分类讨论不全面，审题不清，遗漏隐含条件，同时求解参数范围时常出现不等号方向判断错误。 【对点训练】22．（25-26九年级上·河北保定·期中）下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 通过计算每个二次方程的判别式（），若，则方程无实数根． 【详解】解：A、在中，， ∴ ， ∴方程无实数根，符合题意； B、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； C、在中，， ， ∴方程有实数根，不符合题意； D、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； 故选A． 【对点训练】23．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【对点训练】24．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 易错点9 根据一元二次方程根的情况求参数 易错提醒 根据方程根的情况求参数时，极易忘记保证二次项系数不为零，忽视一元二次方程的基本定义。常混淆判别式对应的根的三种情况，误用取值范围。题目限定整数根、正根或负根等条件时容易遗漏，分类讨论不完整，解出参数后不检验，导致出现不符合题意的错误答案。 【对点训练】25．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是______________． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 【对点训练】26．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个实数根，得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据为正整数，得到或，分别解一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∵该方程有两个实数根， ， 解得． （2）由（1）知：， ∵为正整数， ∴当时， 方程化为：， 解得，， ∵方程的根都为正整数， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，符合题意， ，此时方程的根为． 【对点训练】27．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，其中为正整数． (1)求出的最大值； (2)若原一元二次方程的两个根均为有理数，请求出符合要求的的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1) (2)的值为或；时，，；时，， 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）根据（）中的取值范围求出的值，进而逐个代入方程，求出方程的解，再根据解的情况确定出符合要求的值即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵原一元二次方程有实数根， ， 解得， 为正整数， 的最大值为； （2）解：由（）知， ∵为正整数， 的值为或或或， 当时，方程为， 解得，，是无理数，不合题意； 当时，方程为， 解得，，是有理数，符合题意； 当时，方程为， 解得，，是无理数，不合题意； 当时，方程为， 解得，，是有理数，符合题意； 综上，的值为或，时，，；时，，． 易错点10 一元二次方程根与系数的关系 易错提醒 运用根与系数的关系解题时，容易忽略方程必须是一元二次方程，遗漏二次项系数不为零和判别式非负的前提。常记错两根和、两根积的结论符号，代入数值计算出错。求解代数式、参数问题时，不验证根的存在性，随意套用公式，忽视隐含条件，最终出现增根或错解。 【对点训练】28．（2026·河北张家口·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 【对点训练】29．（25-26九年级·湖南株洲·自主招生）设是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2013 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后逐一代入，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2013． 【对点训练】30．（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 易错点11 构造一元二次方程问题 易错提醒 利用已知根构造一元二次方程时，容易颠倒两根和与两根积的对应关系，符号整理出错。常忽略构造后的方程需满足二次项系数不为零，未化为最简标准形式。根据条件构造方程时，遗漏根的正负、整数等限制条件，不检验方程根的正确性，随意套用规律，导致构造的方程不符合题意。 【对点训练】31．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】把看作一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 【对点训练】32．（2024·四川泸州·三模）已知，且有，则的值等于____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 可以看作是的两根， ， 故答案为：． 【对点训练】33．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）回归课本，定理证明及应用 我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦达定理． 具体为：如果一元二次方程（）有两个不相等的实数根，则 (1)请你证明韦达定理： 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程） (2)应用：已知a、b满足，且，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，分式的化简，完全平方公式，代数式求值，掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系解答即可； （2）先将a、b看作方程的两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数得到，继而进行分式的化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：， ∴， 则 ， ． 故答案为：． （2）∵a、b满足，且， ∴a、b看作方程的两个不相等的实数根， ∴， 则． 故答案为：． 易错点12 一元二次方程的应用之图形有关问题 【对点训练】34．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和（两边足够长），再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园（篱笆只围、两边），在P处有一棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求的长． 【答案】m 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，运算的结果要根据题意取舍是解题的关键． 根据题意，设的长为，根据矩形的面积为列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设的长为，则的长为， 依题意得， 解得，， 在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是和， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ． 【对点训练】35．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园ABCD．如图所示，墙长25m，另外三面用45m长的篱笆围成，其中CD边开有一扇1m宽的门（不含篱笆，其它材料制作），当矩形花园的BC边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为240m2． 【答案】矩形花园的BC边的长为16米时，围成的矩形花园的面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设BC边的长为x米 则AB的长为米， 由题意得： ∴ ∴． ∴， ∵墙长25米，∴． ∴米， 答：矩形花园的BC边的长为16米时，围成的矩形花园的面积为． 【对点训练】36．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： (1)的长为_____米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2) (3)不能 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出即可； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可求解； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：（米）， 得（米）， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则的值为． （3）解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 易错点13 一元二次方程的应用之营销问题 【对点训练】37．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元． (1)请用含的代数式表示每个头盔的利润； (2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式； (3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)元 (2) (3)40元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，熟练掌握利润、销量与售价之间的数量关系，以及根据题意列方程和函数表达式是解题的关键． （1）利润售价进价，已知原售价元，涨价元，进价元，用含的代数式表示利润． （2）销量随涨价而减少，原销量个，每涨元销量减个，据此列出销量与涨价的函数关系． （3）月销售利润单个利润销量，代入前两问的表达式，列方程求解，再根据让顾客得到实惠的条件选择较小的涨价幅度，计算实际售价． 【详解】（1）解：每个头盔的利润为（元）； （2）解：； （3）解：根据题意，得， ， ， ， ， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴取， 实际售价为（元）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为40元/个． 【对点训练】38．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）贵州是夜郎文化的发源地之一，拥有灿烂的夜郎文化，为弘扬贵州地方文化，让更多游客了解夜郎文化，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可售出件，调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)设该款吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是元； (3)该文旅公司每天的利润能达到元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)元 (3) 不能达到元，理由如下： 设吉祥物应降价元， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元． 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，再根据方程解的情况即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设该款吉祥物降价元， ∵售价每降价元，每天可多售出件， ∴每天售出的数量是件， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得， ∵要让利顾客， ， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； （3）略 【对点训练】39．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 (3) 不能，理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，设台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为，再代入点和，进行计算，即可作答． （2）因为实现平均每月10000元的销售利润，且结合进行列式计算，即可作答． （3）与（2）同理，得出，解得．因为每个台灯的利润率不得高于成本价的，所以，解得，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． （3）略 易错点14 一元二次方程的应用之动态几何问题 【对点训练】40．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． (3) 解：线段的长度能达到，理由如下： 当时， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴当时，线段的长度能达到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式和勾股定理，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，则，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答； （3）根据“线段的长度能达到”，结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； ∴当时，的面积是面积的． （2）略 （3）略 【对点训练】41．（25-26九年级上·吉林通化·阶段检测）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？ (2)如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)，2s (2) 解：线段不能将分成面积相等的两部分． 理由：设运动时间为， 则，， 依题意，得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根，即线段不能将分成面积相等的两部分． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和三角形面积的计算，主要运用了勾股定理和三角形面积公式． （1）在中，根据勾股定理，，其中，，代入计算即可； （2）要判断线段是否能将分成面积相等的两部分，即判断的面积是否等于面积的一半，先求出的面积，再设运动时间为x，表示出和，计算的面积，如果的面积等于面积的一半，则能分成面积相等的两部分，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， 当时， 在中， ∵， ∴， ， ， ，， ∴和时 ，的长度等于． （2）略 【对点训练】42．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)____________．（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，准确表示出，是解决此题的关键． （1）利用路程=速度×时间即可并结合几何关系即可得到答案； （2）求出五边形的面积等于时的面积，根据的面积公式即可列出方程进行求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向终点以的速度移动， ， ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ； 故答案为：，； （2）解：存在，时，能够使得五边形的面积等于，理由如下： 长方形的面积是：， 当五边形的面积等于时，的面积为， ∴， 解得． ∴不符合题意，舍去． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 易错点15 一元二次方程的应用之工程、行程问题 【对点训练】43．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【对点训练】44．（25-26九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【对点训练】45．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 易错点16 一元二次方程的新定义问题 【对点训练】46．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 【对点训练】47．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 【对点训练】48．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 2．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 3．（2026·河北沧州·三模）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 4．（26-27九年级·江苏·暑假作业）若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2027 C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ． 5．（2026·河北保定·一模）已知，为关于x的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断． 嘉嘉：当时，； 淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 【答案】A 【分析】1．分析嘉嘉的判断：利用根的判别式，将代入判别式，根据判别式与0的大小关系判断结论． 2．分析淇淇的判断：根据一元二次方程根与系数的关系、，联立求出、或直接求出的值，再判断是否成立． 【详解】解：根据题意得， 当时，，∴，故嘉嘉说法正确； 根据题意得，， ∵，∴，，∴，解得，故淇淇说法错误． 6．（25-26九年级上·河北唐山·期中）若把方程化成的形式，则______． 【答案】8 【分析】本题考查配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解： ， 得 ，， ∴ ． 故答案为：8． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是的2倍，是的2倍，两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ， ，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）， ∴，， 解：，， ∵是“倍根方程”， ∴当是的2倍时，即，则， ∴当是的2倍时，即， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边长为___________米； 【答案】15 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为为x米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故答案为：15． 9．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键， 先因式分解，，再求方程的解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 方程的解为：或或． 故答案为：或或． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案是：②③④ 11．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 13．（25-26九年级上·河北保定·期末）下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程． 小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理，得；…… 请根据以上信息，完成下列问题． (1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号） (2)请写出正确且完整的推导过程． 【答案】(1)③； (2) 解：由，移项得， 两边同时除以，得， 配方时，在等式两边同时加上，得， 整理，得． 当时， ， 即． 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法的步骤，尤其是配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方． （1）检查每一步推导，发现第③步在配方时，等式两边应同时加上，而不是同时加上，故导致错误； （2）从原方程出发，通过移项、化二次项系数为1、正确配方、开方等步骤，完整推导出求根公式． 【详解】（1）解：在第③步中，配方时应在等式两边同时加上，而不是同时加上，故从第③步开始出现错误．但步骤④本身也存在由步骤③推导至此的逻辑错误，但根源在步骤③． 故答案为：③． （2）略 14．（2026九年级上·河北·学业考试）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 【答案】(1) 这两个方程是“同根方程”， 理由：解，得，， 解，得，， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”； (2)的值为1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得；结合题意，将分别代入，从而计算得的值；再经检验符合的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）略 （2）解：解，得，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 综上，的值为1或4． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方，一元二次方程的应用、勾股定理的应用； （1）根据题意直接列出代数式； （2）根据梯形的面积为，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （3）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为，，； （2）解：∵， ∴， 依题意，， 素 解得： （3）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或． 16．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1) 证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其大于零即可； （2）由根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 17．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某水果店销售一种成本价是5元/千克的水果，若以7元/千克售出时，每天可以卖出160千克，经过几次调整价格，老板发现，销售价格影响了当天的销售量，设销售单价为x元/千克．下表是近三天的销售单价与销售量： 销售单价（元） 8 9 10 销售数量（千克） 140 120 100 (1)关于销售单价与销售量之间有下面两种观点： 观点一；每天的销售量与销售单价之间符合一次函数关系； 观点二：每天的销售单价每涨1元，销售量就会减少10千克； 以上观点正确的是 ； (2)请用含x的代数式表示每天的销售量 ； (3)物价局规定：这种水果的每千克售价不得超过进价的，若该水果店每天销售这种水果获利420元，则这种水果的单价应定为多少元． 【答案】(1)观点一 (2) (3)这种水果的单价应定为8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． （1）观点二：由表格即可分析；观点一：设设销售量为y，销售单价为x，销售量与销售单价的函数关系为，代入、可得函数关系式，再将代入即可验证； （2）由（1）即可解答； （3）由题意可得售价上限为，由利润（单价成本）销售量即可列方程进而求解． 【详解】（1）解：观点二：从表格可得，销售单价从8元涨至9元（涨1元），销售量从140千克减至120千克（减少20千克）； 从9元涨至10元（涨1元），销售量从120千克减至100千克（减少20千克）． ∴观点二错误， 观点一：设销售量为y，销售单价为x， 设销售量与销售单价的函数关系为， 代入、得：， 解得， ∴函数关系为， 将代入得：， ∴符合一次函数关系， ∴正确的是观点一， 故答案为：观点一； （2）解：由（1）的一次函数关系，每天的销售量为：， 故答案为：； （3）解：由题意得，进价的为元， ∴， 由题意可得， ， 解得或． ∵售价， ∴舍去， ∴单价定为8元． 18．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，三角形的三边关系的应用； （1）设，原方程可变形为进而解一元二次方程，注意最后要检验； （2）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据三角形的三边关系，取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为， 解得， 当时，，解得； 当时，，移项，得， ∵， ∴原方程没有实数根， 综上，原方程有两个根：； （2）设， ∵， ∴ 即， 解得 ∵斜边， ∴，则， ∴的周长为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点八、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点九、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点十、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 易错点1 一元二次方程的定义及含参问题 易错提醒 判断一元二次方程时，易忽略二次项系数不能为零的核心条件，只关注未知数最高次数为二。解决含参问题时常遗漏参数取值限制，默认参数任意取值。容易混淆一元一次与一元二次方程的参数范围，分类讨论不全面，遗漏特殊情况，最终导致参数求解出错、答案不完整。 【对点训练】1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）一元二次方程的一般形式是（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【对点训练】3．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 易错点2 一元二次方程的解及其含参问题 易错提醒 求解一元二次方程含参问题时，常忽略二次项系数不为零的前提条件。已知方程的解求参数时，代入计算易出现运算失误，且不会检验参数是否符合方程定义。面对方程有实数解的题型，容易忘记判别式的取值范围，分类讨论不严谨，遗漏无解、一解、两解的不同情况。 【对点训练】4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【对点训练】5．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【对点训练】6．（25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 易错点3 一元二次方程的一般式 易错提醒 一元二次方程一般式易错点集中在形式化简与条件判断。做题时常未将方程整理成右边为零的标准形式，同时容易忽略二次项系数不为零的关键条件。部分学生混淆一次项、二次项与常数项，看错正负符号，整理式子时移项忘变号，导致后续求解、判定方程类型全部出错。 【对点训练】7．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 【对点训练】8．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【对点训练】9．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 易错点4 一元二次方程解的估算 易错提醒 估算一元二次方程的解时，学生常盲目取值估算，不会利用函数值正负判断解的取值区间。容易忽略解的整数、小数范围，取值跳跃导致估算偏差。部分学生不会逐步逼近精准估解，仅凭主观猜测，同时忽略估算结果需要检验，缺乏严谨逻辑，造成估算结果不准确、区间判断错误。 【对点训练】10．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 【对点训练】11．（24-25九年级下·广东佛山·阶段检测）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【对点训练】12．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 易错点5 解一元二次方程 易错提醒 用指定方法解方程时，学生常不按题目要求，随意选用公式法、配方法等其他解法。使用配方法时常漏加常数、配方不等价；公式法易记错公式、代错系数符号。因式分解法容易分解不彻底，忽略移项化为标准形式，残留零解。步骤书写不规范，化简计算粗心，最终导致解题错误、步骤失分。 【对点训练】13．（25-26九年级上·河北张家口·期末）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【对点训练】14．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【对点训练】15．（2026·河北保定·二模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 易错点6 配方法的应用 易错提醒 运用配方法解题时，常忘记先将二次项系数化为一，直接配方导致出错。移项时常出现符号错误，配方时只在一边加常数，未保持等式两边平衡。容易凑错一次项一半的平方，配方步骤不完整。应用配方求最值、取值范围时，忽略自变量取值限制，判断结果片面，造成解题失误。 【对点训练】16．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）把一元二次方程化成的形式时，的值为（    ） A．8 B． C． D．2 【对点训练】17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则______； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________． 【对点训练】18．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试应用上述方法解决下列问题： (1)已知，则y的最小值是________． (2)已知，则y有最________值（填“大”或“小”），最值是________． (3)应用：若，，请比较P和Q的大小，并说明理由． 易错点7 换元法 易错提醒 使用换元法解一元二次方程时，易错设元不当，无法简化原式。整体换元后容易忘记还原原未知数，直接写出新元答案导致失分。计算中常混淆新元取值范围，忽略隐含限制条件。部分学生换元后整理式子出错，漏项、错号，且不检验结果，容易产生增根，造成解题错误。 【对点训练】19．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【对点训练】20．（25-26九年级上·河北承德·期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 _______________ ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 _______________ ． 【对点训练】21．（2025八年级下·江苏南京·竞赛）解方程： 易错点8 根的判别式 易错提醒 运用根的判别式解题时，最易忽略二次项系数不为零的前提条件。学生常记错判别式的符号关系，混淆有实数根、两个相等实数根和两个不相等实数根的判定条件。含参题型中分类讨论不全面，审题不清，遗漏隐含条件，同时求解参数范围时常出现不等号方向判断错误。 【对点训练】22．（25-26九年级上·河北保定·期中）下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【对点训练】23．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 【对点训练】24．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是______．（填序号） 易错点9 根据一元二次方程根的情况求参数 易错提醒 根据方程根的情况求参数时，极易忘记保证二次项系数不为零，忽视一元二次方程的基本定义。常混淆判别式对应的根的三种情况，误用取值范围。题目限定整数根、正根或负根等条件时容易遗漏，分类讨论不完整，解出参数后不检验，导致出现不符合题意的错误答案。 【对点训练】25．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是______________． 【对点训练】26．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【对点训练】27．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，其中为正整数． (1)求出的最大值； (2)若原一元二次方程的两个根均为有理数，请求出符合要求的的值，并求出此时方程的根． 易错点10 一元二次方程根与系数的关系 易错提醒 运用根与系数的关系解题时，容易忽略方程必须是一元二次方程，遗漏二次项系数不为零和判别式非负的前提。常记错两根和、两根积的结论符号，代入数值计算出错。求解代数式、参数问题时，不验证根的存在性，随意套用公式，忽视隐含条件，最终出现增根或错解。 【对点训练】28．（2026·河北张家口·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】29．（25-26九年级·湖南株洲·自主招生）设是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【对点训练】30．（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 易错点11 构造一元二次方程问题 易错提醒 利用已知根构造一元二次方程时，容易颠倒两根和与两根积的对应关系，符号整理出错。常忽略构造后的方程需满足二次项系数不为零，未化为最简标准形式。根据条件构造方程时，遗漏根的正负、整数等限制条件，不检验方程根的正确性，随意套用规律，导致构造的方程不符合题意。 【对点训练】31．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【对点训练】32．（2024·四川泸州·三模）已知，且有，则的值等于____________． 【对点训练】33．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）回归课本，定理证明及应用 我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦达定理． 具体为：如果一元二次方程（）有两个不相等的实数根，则 (1)请你证明韦达定理： 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程） (2)应用：已知a、b满足，且，则______． 易错点12 一元二次方程的应用之图形有关问题 【对点训练】34．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和（两边足够长），再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园（篱笆只围、两边），在P处有一棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求的长． 【对点训练】35．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园ABCD．如图所示，墙长25m，另外三面用45m长的篱笆围成，其中CD边开有一扇1m宽的门（不含篱笆，其它材料制作），当矩形花园的BC边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为240m2． 【对点训练】36．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： (1)的长为_____米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 易错点13 一元二次方程的应用之营销问题 【对点训练】37．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元． (1)请用含的代数式表示每个头盔的利润； (2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式； (3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【对点训练】38．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）贵州是夜郎文化的发源地之一，拥有灿烂的夜郎文化，为弘扬贵州地方文化，让更多游客了解夜郎文化，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可售出件，调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)设该款吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是元； (3)该文旅公司每天的利润能达到元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【对点训练】39．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 易错点14 一元二次方程的应用之动态几何问题 【对点训练】40．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 【对点训练】41．（25-26九年级上·吉林通化·阶段检测）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？ (2)如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【对点训练】42．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)____________．（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 易错点15 一元二次方程的应用之工程、行程问题 【对点训练】43．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【对点训练】44．（25-26九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【对点训练】45．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 易错点16 一元二次方程的新定义问题 【对点训练】46．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【对点训练】47．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【对点训练】48．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 3．（2026·河北沧州·三模）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级·江苏·暑假作业）若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2027 C．2026 D． 5．（2026·河北保定·一模）已知，为关于x的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断． 嘉嘉：当时，； 淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 6．（25-26九年级上·河北唐山·期中）若把方程化成的形式，则______． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 8．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边长为___________米； 9．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是______． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 11．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 13．（25-26九年级上·河北保定·期末）下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程． 小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理，得；…… 请根据以上信息，完成下列问题． (1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号） (2)请写出正确且完整的推导过程． 14．（2026九年级上·河北·学业考试）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 16．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 17．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某水果店销售一种成本价是5元/千克的水果，若以7元/千克售出时，每天可以卖出160千克，经过几次调整价格，老板发现，销售价格影响了当天的销售量，设销售单价为x元/千克．下表是近三天的销售单价与销售量： 销售单价（元） 8 9 10 销售数量（千克） 140 120 100 (1)关于销售单价与销售量之间有下面两种观点： 观点一；每天的销售量与销售单价之间符合一次函数关系； 观点二：每天的销售单价每涨1元，销售量就会减少10千克； 以上观点正确的是 ； (2)请用含x的代数式表示每天的销售量 ； (3)物价局规定：这种水果的每千克售价不得超过进价的，若该水果店每天销售这种水果获利420元，则这种水果的单价应定为多少元． 18．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $