单元复习讲义：专题08 图形的奥秘（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学四年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理“图形的奥秘”单元内容，以切开立体图形、还原立体图、正方体翻滚为核心考点，每个考点从核心概念、解题技巧到易错警示层层递进，用具体操作方法（如动手切割模型、画图辅助）和规律总结（如截面边数与相交面关系）呈现知识脉络，突出空间观念和几何直观的培养。 讲义亮点在于“考点解析-例题示范-分层练习”的一体化设计，如正方体翻滚问题通过实物模拟法和周期规律法（翻滚4次为一循环）引导学生理解，还原立体图用“定基准、标数字、对视图”步骤培养推理意识。典型题与变式训练结合，提升练习涵盖选择、填空、操作题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

专题08 图形的奥秘 内容导航 考点梳理 1 考点一、切开立体图形 1 考点二、通过数字还原立体图 2 考点三、正方体翻滚问题 2 例题讲解 3 题型一、切开立体图形 3 题型二、通过数字还原立体图 5 题型三、正方体翻滚问题 8 提升练习 10 考点梳理 考点一、切开立体图形 1. 核心概念 理解立体图形（如正方体、长方体）被平面切割后，截面形状的变化规律。重点在于想象切割面与立体图形各个面的相交情况。 2. 常见截面形状 (1) 正方体切割： 1　 平行于面切：截面为正方形。 2　 沿对角线切（过相对棱）：截面为长方形。 3　 切去一个角（过三个相邻顶点附近）：截面为三角形。 4　 特殊角度切割：可能得到梯形或五边形、六边形（较少见，视切割深度而定，四年级主要掌握前三者）。 (2) 圆柱体切割： 1　 横切（平行于底面）：截面为圆。 2　 竖切（过圆心垂直于底面）：截面为长方形（或正方形）。 3. 解题技巧 (1) 动手操作法：利用萝卜、橡皮泥制作模型，实际切割观察。 (2) 画图辅助法：在立体图上画出切割线，连接交点确定截面形状。 (3) 关键点：截面是一个平面图形，其边数取决于切割面与立体图形几个面相交。 4. 易错警示 (1) 误认为截面只能是规则图形（如只记得正方形），忽略斜切产生的三角形或长方形。 (2) 混淆“视图”与“截面”，截面是内部切开的面，视图是从外部看到的投影。 考点二、通过数字还原立体图 1. 核心概念 根据从不同方向（正面、上面、左/右面）观察到的形状及对应的数字标记，推断立体图形的排列方式或小正方体的数量。 2. 解题步骤 (1) 定基准：通常以“从上面看”的形状为地基，确定底层小正方体的位置和数量。 (2) 标数字：在俯视图的每个位置上，标注该位置叠放的小正方体层数。 (3) 对视图： 1　 结合“从正面看”：确定每一列的最大层数。 2　 结合“从左/右面看”：确定每一行的最大层数。 (4) 验算：将推导出的层数代入三个视角验证，确保一致。 3. 典型题型示例 (1) 题型：给出俯视图及各位置数字，求总块数或画出主视图。 (2) 方法：直接将俯视图上的数字相加即为总块数；主视图每列的高度等于该列中数字的最大值。 4. 易错警示 (1) 忽视“隐藏”的小正方体，即某位置虽有上层方块，但下层必须有支撑。 (2) 混淆左右方向，观察左视图时，要注意是从左侧向右看，对应的列序可能与直观感觉相反。 考点三、正方体翻滚问题 1. 核心概念 研究正方体在平面上按特定方向（前、后、左、右）翻滚后，朝上、朝下或朝前/后的面分别是哪个数字或图案。考察空间旋转想象力。 2. 关键性质：对面不相邻 (1) 正方体有6个面，相对的两个面永远不可能同时出现在视野中（如同时看到上面和下面是不可能的）。 (2) 找对面技巧： 1　 相间法：在展开图中，中间隔一个面的两个面是相对面。 2　 Z字法：呈Z字形两端的面是相对面。 3. 解题策略 (1) 实物模拟法：制作一个标有数字的正方体纸盒，实际翻滚记录变化。 (2) 固定参照法： 1　 确定初始状态（上、下、前、后、左、右分别是什么）。 2　 向前翻滚：原来的“后”变“上”，“上”变“前”，“前”变“下”，“下”变“后”；左、右面不变。 3　 向右翻滚：原来的“左”变“上”，“上”变“右”，“右”变“下”，“下”变“左”；前、后面不变。 (3) 周期规律法：若向同一方向连续翻滚4次，正方体回到初始上下状态（但前后可能改变，需具体分析）。通常翻滚4次为一个循环周期。 4. 易错警示 (1) 翻滚时搞混旋转轴，例如向右翻滚时，前后两面是不动的，只有上、下、左、右四个面在轮换。 (2) 未先确定“相对面”就直接翻滚，导致逻辑混乱。务必先找出哪两个数字是相对的。 例题讲解 题型一、切开立体图形 【典型例题】把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．选项是平行于圆锥底面切圆锥，切面是圆。 B．选项的切面是斜着竖切圆柱，这样切出来的图形是椭圆，不可能得到圆形。 C．选项是切球体，不管怎么切球，切面都是圆。 D．选项是平行于圆柱上下底面切圆柱，切面是圆。 【详解】由分析可知，切开后得到的切面不是圆。 举一反三 【变式训练1】下面图形中，（    ）图形的切面是等腰三角形。 A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．无法确定 【答案】C 【详解】图一的切面是圆形；图二的切面是长方形或正方形；图三的切面是长方形；图四的切面是等腰三角形。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，掌握每种立体图形的切面是解答题目的关键。 【变式训练2】下列长方体、圆柱形和圆锥形木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，长方体无论是横切，还是竖切，切面都是长方形；圆柱沿底面直径切开，切面是长方形；圆锥从顶点到底面直径切开，切面是三角形。据此解答。 【详解】 A． 切开后截面是长方形； B．切开后截面是长方形； C． 切开后截面是长方形； D． 切开后截面是三角形。 所以，长方体、圆柱形和圆锥形木料，切开后截面形状与其他三个不同的是圆锥。 故答案为：D 【变式训练3】圆柱横着（平行于底面）切开，切面是( )形，且所有横切面的大小( )；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是( )形。 【答案】 圆 相等 长方/正方 【分析】圆柱上下两个底面是完全相同的圆形，平行于底面横切圆柱，切面和底面形状相同，是圆；同一个圆柱所有平行底面的横切面直径相等，大小相等；竖着切、垂直底面：沿过圆柱轴线的平面，切面上下两条边平行且等于圆柱的高，左右两条边等于底面直径，切面是长方形；特殊情况：当圆柱底面直径＝圆柱的高时，切面为正方形。 【详解】由分析可知，圆柱横着（平行于底面）切开，切面是圆形，且所有横切面的大小相等；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是长方形或正方形。 题型二、通过数字还原立体图 【典型例题】下面是一个立体大楼的图纸，请看图回答问题。 (1)这个立体大楼最高有( )层。 (2)这个立体大楼的第一层有( )个小正方体，第二层有( )个小正方体，第三层有( )个小正方体。 (3)下图中，( )是按图纸搭成的立体大楼。 ①        ② 【答案】(1)三/3 (2) 6 3 1 (3)① 【分析】（1）方格数字代表对应位置正方体数量，最大数字就是最高层数； （2）第一层把所有位置≥1相加，第二层统计数字≥2的位置数量，第三层统计数字≥3的位置数量； （3）第二行第一个位置有3个小正方体。 【详解】（1）最大数字是3，最高3层。 （2）第一层：位置数字≥1：一共6个 第二层：位置数字≥2：3、2、2，一共3个 第三层：位置数字≥3：3，一共1个 （3）第二行第一个位置有3个小正方体，对应图形①。 举一反三 【变式训练1】一个由小正方体搭建的几何体，从上面看到的图形是（正方形里的数字表示从这个方向看，数字所在位置的所有小正方体的个数）。这个几何体从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题图，从左面看这些小正方体有两列，左边一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体。据此逐一分析各个选项即可解答。 【详解】 A． 左面看这些小正方体有两列，左边一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体，符合题意； B．左面看这些小正方体有两列，左边一列看到2个小正方体，右边一列看到3个小正方体，不符合题意； C．左面看这些小正方体有三列，左边一列看到1个小正方体，中间一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体，不符合题意； D． 左面看这些小正方体有三列，左边一列看到2个小正方体，中边一列看到3个小正方体，右边一列看到1个小正方体，不符合题意。 所以这个几何体从左面看到的图形是。 【变式训练2】一个两层的立体大楼，第一层图纸是，第二层图纸是，说明第一层有( )个正方体，第二层有( )个正方体，总共有( )个正方体。 【答案】 3 2 5 【分析】这种标数字的平面图里，格子上的数字就代表这个位置对应的本层正方体的数量。第一层的图纸三个格子都标1，把数字相加1＋1＋1＝3，所以第一层有3个正方体；第二层的图纸三个格子数字是1、0、1，相加1＋0＋1＝2，所以第二层有2个正方体；把两层的数量加起来3＋2＝5，就是总共的正方体数量。据此解答。 【详解】1＋1＋1＝3 1＋0＋1＝2 3＋2＝5 即第一层有3个正方体，第二层有2个正方体，总共有5个正方体。 【变式训练3】一个由同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形如下图（数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。在方格图中画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】先确定几何体的行列分布：从上面看的图形中，横向为行，纵向为列，每个位置的数字代表对应位置小正方体的层数。从前面看：因为从前面看时，每一列的高度由该列所有位置的最大层数决定，所以先找到每一列的最大层数，再按列数对应画出每列的高度。从左面看：因为从左面看时，每一行的高度由该行所有位置的最大层数决定，所以先找到每一行的最大层数，再按行数对应画出每行的高度。 【详解】从前面看到的图形：一共分3列，从左到右每列的小正方形数量依次是1个、3个、1个，也就是左列竖排1个正方形，中列竖排3个正方形，右列1个正方形，所有正方形都对齐在底部。 从左面看到的图形：一共分2列，从左到右每列的小正方形数量依次是3个、2个，也就是左列竖排3个正方形，右列竖排2个正方形，所有正方形都对齐在底部。 题型三、正方体翻滚问题 【典型例题】 (1)图中的正方体向右倒下，会占( )个正方形格子；再向右翻滚一次，会占( )个正方形格子 (2)标有月亮图的正方体会占哪些格子？圈一圈。 【答案】(1) 2 1 (2) 【分析】（1）单个正方体底面永远是 1 个正方形，但这是两个叠放的正方体整体向右倾倒，是以右侧棱为轴旋转90度，倒下后横向平铺占连续 2 格；再向右翻滚一次，再以右侧棱为轴旋转90度，两个正方体会以堆叠的方式立起来，单个正方体底面占一个格子； （2）第一次向右倒下：标有月亮图的正方体落在第 1 个地面方格； 再向右翻滚一次：标有月亮图的正方体位于标爱心正方体的上方；再向右翻滚一次，标有月亮图的正方体落在第5个地面方格；继续向右翻滚一次，标有月亮图的正方体落在第6个地面方格；再继续向右翻滚一次，标有月亮图的正方体落在第7个地面方格；易发现，叠放在一起的两个正方体继续向右翻滚时，标有月亮图的正方体会有下面规律：每隔三个地面方格就会出现标有月亮图的正方体占三个连续的地面方格。据此圈一圈。 【详解】（1）图中的正方体向右倒下，会占2个正方形格子；再向右翻滚一次，会占1个正方形格子。 （2）标有月亮图的正方体落在第 1 个、第5个、第6个和第7个地面方格。 举一反三 【变式训练1】正方体向前滚动，每滚动( )格会回到原来的面，周期是( )。 【答案】 4 4 【分析】正方体有上下底面和4个相同的侧面，正方体放在平面上时，只有和滚动方向平行的4个侧面会轮流接触地面，正方体向前滚动时，每滚动1格绕棱旋转1次，旋转4次后所有面朝向恢复初始状态。 【详解】每向前滚1格，就会换一个侧面贴在格子上，4个侧面各接触一次后，正好完成一轮循环，所以每滚动4格，就会回到最开始那个面接触地面的状态，周期就是4。 【变式训练2】一个正方体蓝色面朝右（起点位置正方体没有压在数字上）沿数字带1→2→3……的方向从起点滚到16，蓝色面经过的数依次是：( )、( )、( )、( )。 【答案】 1 5 9 13 【分析】起始蓝色面朝右，正方体没有压在数字上。 第一次滚动后，正方体压在数字1的格子上，蓝色面朝下，和数字1接触，蓝色面经过的第一个数； 第二次滚动后，正方体压在数字2的格子上，蓝色面朝左，不和数字2接触； 第三次滚动后，正方体压在数字3的格子上，蓝色面朝上，不和数字3接触； 第四次滚动后，正方体压在数字4的格子上，蓝色面朝右，不和数字4接触； 第五次滚动后，正方体压在数字5的格子上，蓝色面朝下，和数字5接触，蓝色面经过的第二个数； 第六次滚动后，正方体压在数字6的格子上，蓝色面朝左，不和数字6接触； …… 蓝色面相邻两次经过的数，后面的数比前面的数大4，据此填写依次经过的数即可。 【详解】根据分析可知，第一次蓝色面经过的数是1，后面依次经过的数为1＋4＝5，5＋4＝9，9＋4＝13。 【变式训练3】下图是由三个正方体组成的机器人，向右依次滚动。 (1)机器人第一次向右倒下后，会占( )个正方形格子。 (2)标有♥的正方体会占哪些格子？请圈一圈。 (3)你发现了什么规律？ 【答案】(1)3 (2) (3)每相邻的两个标有♥的正方体所占的格子中间相隔3个格子。 【分析】（1）机器人的右面由3个小正方形组成，每个小正方形对应一个正方形格子，所以向右倒下后，会占3个正方形格子。 （2）第一次向右倒下后占3个格子，标有♥的正方体占第2个格子，第二次滚动后只是标有★的正方体占一个格子，第三次滚动后占3个格子，其中标有♥的正方体占第6个格子，第四次滚动后只是标有的正方体占一个格子，第五次滚动后占3个格子，其中标有♥的正方体占第10个格子，据此圈出格子。 （3）第2个格子与第6个格子中间相隔3个格子，第6个格子与第10个格子中间相隔3个格子。 【详解】（1）机器人第一次向右倒下后，会占3个正方形格子。 （2）略 （3）略 提升练习 1．把圆柱斜着切（不平行也不垂直于底面），切面的形状是（    ）。 A．圆形 B．椭圆形 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据圆柱不同切割方式对应的切面形状判断即可。 【详解】A．只有切面完全平行于圆柱底面的时候，切出来才是圆形，不符合题目里“不平行于底面”的要求。 B．当切割面既不平行也不垂直于底面斜切时，切面形状是椭圆形。 C．只有切面垂直于圆柱底面、沿着圆柱的竖直方向切的时候，才可能切出长方形或正方形，不符合“不垂直于底面”的要求。 D．只有切面垂直于圆柱底面、沿着圆柱的竖直方向切的时候，才可能切出长方形或正方形，不符合“不垂直于底面”的要求。 2．正方体从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动到第8格，经过的颜色周期是4，第8格朝上的颜色和第（    ）格相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题属于周期问题，颜色周期为4，每4格朝上的颜色就会循环一次，整除时对应周期最后一格的颜色。 【详解】（组） 计算结果没有余数，说明第8格是2个完整周期的最后一格，和每个周期的最后一格也就是第4格朝上的颜色相同。 3．把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【答案】B 【分析】长方体的面均由线段围成，切面不可能出现曲线图形；普通长方体无特殊说明时长宽高不全相等，沿长竖直切得到的四边形邻边不等。 【详解】圆形、椭圆形由曲线围成，长方体的切面都由线段组成，没有特殊说明时，默认是普通长方体，长宽高不完全相等，沿长的方向竖直切得到的四边形邻边长度不等，为长方形。 4．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形是（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知，这个几何体有前、后两排，前排有两列，后排一列，并且前后两排右侧对齐。前排左边有1个小正方体，前排右边有3个小正方体；后排有2个小正方体，和前排最右侧对齐。 【详解】由分析可知：这个几何体从前面看，有两列，左列1个小正方形，右列3个小正方形，即。 5．立体大楼第一层图纸，第二层，总共有（    ）个正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】图纸中的数字表示此位置的方块数量，把两层图纸中所有的数字加起来就是总的正方体数量。 【详解】第一层：1＋1＋1＝3（个） 第二层：1＋1＝2（个） 3＋2＝5（个） 6．“设计图”是根据“立体图形”从上面看到的形状绘制而成，图中数字表示该位置上共有几个同样大小的正方体。如图，根据“设计图①”可搭建出右边的“立体图形”。那么，根据设计图②搭出的“立体图形”，从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从上面看，可知，这个组合体下面有4个小正方体，前面有一个小正方体，外层有3个小正方体，三个小正方体最右侧的上面有一个小正方体，由此可知从左面看：有2层，上层1个小正方形，下层2个小正方形，左齐，据此解答。 【详解】 根据分析可知，根据设计图②搭出的“立体图形”，从左面看到的形状是。 7．把圆柱形火腿肠平行于两端切一刀，切面是( )；斜着切一刀，切面是( )形。 【答案】 圆 椭圆 【分析】圆柱的两个底面是完全相同的圆，当切面和底面平行时，切面会和底面的形状、大小一致，所以切面是圆。 斜着切当切面和底面不平行时，圆柱的侧面被斜向切割，形成的封闭曲线是椭圆，所以切面是椭圆。 【详解】把圆柱形火腿肠平行于两端切一刀，切面是圆；斜着切一刀，切面是椭圆形。 8．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 【答案】 ③ ② 【分析】俯视图数字含义：方格数字代表该位置堆叠小正方体的层数； 主视图（从前面看）：按列取每一列最大层数； 左视图（从左面看）：按列取每一列最大层数。 梳理俯视图布局 俯视图两行：后排1格，数字3；前排3格从左到右数字：2、1、1； 列划分（从左往右看共3列）：第1列最高2层，第2列最高3层，第3列最高1层。 【详解】1.判断从前面看（主视图） 从正面看分为3列，各列最大高度：2、3、1； 图形特征：共三列方格，第二列最高三层，左侧有2层方格，右侧有1层方格，对应③。 2.判断从左面看（左视图） 从左面看分为左右2列：左列最高3层，右列最高2层； 图形特征：左侧一竖列三层，右侧对齐下方两层，对应②。 由此可得，这个几何体从前面看是（③），从左面看是（②）。 9．按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 【答案】（√）（    ）（    ） 【分析】观察第一层表格：第一行（后排），4个位置都有正方体；第二行（中排），只有第2个位置有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明底层的形状是后排4个连在一起，中排和前排各有一个，且都在第2列的位置。 观察第二层表格：第一行（后排），第2个和第4个位置有正方体；第二行（中排），没有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明上层有3个正方体，分别叠在底层对应的位置。 【详解】 10．正方体沿直线型平放的带子每次向前翻滚90°，每( )次为一个循环周期，同一种颜色的面每隔( )个数会重复出现。 【答案】 4 4 【分析】正方体沿着直线带子向前滚动，连续滚动4次，朝向下方的面完成一轮循环，周期长度为4；周期是4，同一种颜色的面每隔4个数重复出现。 【详解】正方体在带子上滚动，每（4）次为一个循环周期，同一种颜色的面每隔（4）个数会重复出现。 11．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，盲盒作为一种潮流玩具，其精准切入年轻消费者市场，广受欢迎。售货员阿姨将一些正方体盲盒摆了一个造型。左图是从上面看到的图形，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的正方体盲盒的个数，一共摆了( )个正方体盲盒，这组盲盒从左面看是( )（填序号）。 【答案】 8 ② 【分析】根据题中描述，数字即代表正方体个数，一共摆多少就是把数字全部加起来。 从左边看，有3层，最上层有1个小正方形，中间层有2个小正方形，最小层有3个小正方形，全部左对齐，据此选择。 【详解】3＋2＋1＋1＋1＝8（个） 从左面看到的图形是，即②。 因此，一共摆了8个正方体盲盒，这组盲盒从左面看是②。 12．如下图，有一个物体从上面看到的是这样的形状，上面的数字表示这个位置上所用的小正方体的个数，想象这个物体原来的形状，并画出从前面和左面看到的形状。 【答案】 【分析】从上面看，底层小正方体分布有三列两排：第一列前排1个（数字1），第二列前排2个（数字2）、后排3个（数字3），第三列后排1个（数字1）。 【详解】从前面看，有3列，从左往右，第1列最高1层，第2列最高3层，第3列最高1层； 从左面看，有2列，从左往右，第1列（后行）最高3层，第2列（前行）最高2层；画图略。 13．用同样大小的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。 (1)( )号几何体符合上图的要求。 (2)在方格图中画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）画出①②③号几何体从上面看到的图形即可确定。 （2）从前面看到的图形有3行3列。下面一行有3个小正方形并排摆放在一起；中间一行有2个，分别在下面一行左列和右列小正方形的正上方；上面一行只有1个，在右列的最上方。从左面看到的图形有3行2列。下面和中间一行各有2个并排摆放在一起，且中间这行的2个在下面这行2个的正上方，上面一行只有1个，在左列的最上方。 【详解】（1） ①号从上面看到的图形是，②号从上面看到的图形是，③号从上面看到的图形是。②号几何体符合要求。 （2）略 14．一个几何体从上面看到的图形如下面左图，每个数字都表示这个位置上的小正方体个数。 (1)请在上面右边方格图中分别画出这个几何体从左面和前面看到的图形。 (2)若原小正方体的数量不变（位置可移动）要搭成一个大正方体，至少还需要( )个小正方体。 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）从上面看时，看到的是这个立体图形的底层形状；从左面看时，可以观察到俯视图的行（从左往右对应从后往前），每一列的高度取决于该行中数字的最大值；从前面看时，可以观察到俯视图的列数，每一列的高度取决于该列中数字的最大值。据此画图。 （2）根据俯视图给出的每个位置的小正方体个数，求和得到现有总数，确定能搭成的最小大正方体并计算总个数，最后用总个数减去现有的个数，得到还需要的数量。 【详解】（1）从左面看，几何体一共分为3列：左列（最后排）有3个小正方体，中间列有1个小正方体，右列（最前排）有3个小正方体。 从前面看，几何体一共分为3列：左列有3个小正方体，中间列有1个小正方体，右列有3个小正方体。 画图略。 （2）现有小正方体的数量：3＋2＋1＋1＋3＝10（个） 观察该几何体，俯视图在长、宽方向最多都有3个位置，高度方向最多有3个小正方体，因此最小可以搭成边长为3的大正方体，总小正方体个数是：3×3×3＝27（个） 还需要的小正方体个数为：27－10＝17（个） 15．正方体按图中的方向从起点开始翻滚。 (1)灰色面第1次经过的数是多少？ (2)灰色面第4次经过的数是多少？ (3)当正方体滚到数18时，灰色面会落在这个数上吗？请说明理由。 【答案】(1)1 (2)13 (3)13＋4＝17，灰色面落在17上，不会落在18上，落在数18上的是白色面。（理由合理即可） 【分析】（1）正方体每滚动1圈共有4个面，灰色面是第1个，正方体朝一个方向连续滚动4次就会回到初始的面状态，也就是滚动一圈，这一圈里灰色面会出现1次，灰色面第1次经过的数是1。 （2）正方体翻滚，灰色的面接触地面的位置呈现周期性规律，每翻滚4次为1个周期，所以第2个周期的灰色面经过1＋4＝5，以此类推，第3个周期的灰色面经过的数是5＋4＝9，第4个周期的灰色面经过9＋4＝13。 （3）方法一：用18除以4，求出商就是周期数，余数就是1个周期的第几个面；方法二：13＋4＝17，灰色面会落在17上。以此答题即可。 【详解】（1）答：灰色面第1次经过的数是1。 （2）1＋4＋4＋4 ＝5＋4＋4 ＝9＋4 ＝13 答：灰色面第4次经过的数是13。 （3）方法一： 18÷4＝42 1个周期的第2个面是白色。 方法二： 13＋4＝17，灰色面会落在17上。 答：13＋4＝17，灰色面落在17上，不会落在18上，落在数18上的是白色面。（理由合理即可） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的奥秘 内容导航 考点梳理 1 考点一、切开立体图形 1 考点二、通过数字还原立体图 2 考点三、正方体翻滚问题 2 例题讲解 3 题型一、切开立体图形 3 题型二、通过数字还原立体图 4 题型三、正方体翻滚问题 5 提升练习 6 考点梳理 考点一、切开立体图形 1. 核心概念 理解立体图形（如正方体、长方体）被平面切割后，截面形状的变化规律。重点在于想象切割面与立体图形各个面的相交情况。 2. 常见截面形状 (1) 正方体切割： 1　 平行于面切：截面为正方形。 2　 沿对角线切（过相对棱）：截面为长方形。 3　 切去一个角（过三个相邻顶点附近）：截面为三角形。 4　 特殊角度切割：可能得到梯形或五边形、六边形（较少见，视切割深度而定，四年级主要掌握前三者）。 (2) 圆柱体切割： 1　 横切（平行于底面）：截面为圆。 2　 竖切（过圆心垂直于底面）：截面为长方形（或正方形）。 3. 解题技巧 (1) 动手操作法：利用萝卜、橡皮泥制作模型，实际切割观察。 (2) 画图辅助法：在立体图上画出切割线，连接交点确定截面形状。 (3) 关键点：截面是一个平面图形，其边数取决于切割面与立体图形几个面相交。 4. 易错警示 (1) 误认为截面只能是规则图形（如只记得正方形），忽略斜切产生的三角形或长方形。 (2) 混淆“视图”与“截面”，截面是内部切开的面，视图是从外部看到的投影。 考点二、通过数字还原立体图 1. 核心概念 根据从不同方向（正面、上面、左/右面）观察到的形状及对应的数字标记，推断立体图形的排列方式或小正方体的数量。 2. 解题步骤 (1) 定基准：通常以“从上面看”的形状为地基，确定底层小正方体的位置和数量。 (2) 标数字：在俯视图的每个位置上，标注该位置叠放的小正方体层数。 (3) 对视图： 1　 结合“从正面看”：确定每一列的最大层数。 2　 结合“从左/右面看”：确定每一行的最大层数。 (4) 验算：将推导出的层数代入三个视角验证，确保一致。 3. 典型题型示例 (1) 题型：给出俯视图及各位置数字，求总块数或画出主视图。 (2) 方法：直接将俯视图上的数字相加即为总块数；主视图每列的高度等于该列中数字的最大值。 4. 易错警示 (1) 忽视“隐藏”的小正方体，即某位置虽有上层方块，但下层必须有支撑。 (2) 混淆左右方向，观察左视图时，要注意是从左侧向右看，对应的列序可能与直观感觉相反。 考点三、正方体翻滚问题 1. 核心概念 研究正方体在平面上按特定方向（前、后、左、右）翻滚后，朝上、朝下或朝前/后的面分别是哪个数字或图案。考察空间旋转想象力。 2. 关键性质：对面不相邻 (1) 正方体有6个面，相对的两个面永远不可能同时出现在视野中（如同时看到上面和下面是不可能的）。 (2) 找对面技巧： 1　 相间法：在展开图中，中间隔一个面的两个面是相对面。 2　 Z字法：呈Z字形两端的面是相对面。 3. 解题策略 (1) 实物模拟法：制作一个标有数字的正方体纸盒，实际翻滚记录变化。 (2) 固定参照法： 1　 确定初始状态（上、下、前、后、左、右分别是什么）。 2　 向前翻滚：原来的“后”变“上”，“上”变“前”，“前”变“下”，“下”变“后”；左、右面不变。 3　 向右翻滚：原来的“左”变“上”，“上”变“右”，“右”变“下”，“下”变“左”；前、后面不变。 (3) 周期规律法：若向同一方向连续翻滚4次，正方体回到初始上下状态（但前后可能改变，需具体分析）。通常翻滚4次为一个循环周期。 4. 易错警示 (1) 翻滚时搞混旋转轴，例如向右翻滚时，前后两面是不动的，只有上、下、左、右四个面在轮换。 (2) 未先确定“相对面”就直接翻滚，导致逻辑混乱。务必先找出哪两个数字是相对的。 例题讲解 题型一、切开立体图形 【典型例题】把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 举一反三 【变式训练1】下面图形中，（    ）图形的切面是等腰三角形。 A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．无法确定 【变式训练2】下列长方体、圆柱形和圆锥形木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练3】圆柱横着（平行于底面）切开，切面是( )形，且所有横切面的大小( )；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是( )形。 题型二、通过数字还原立体图 【典型例题】下面是一个立体大楼的图纸，请看图回答问题。 (1)这个立体大楼最高有( )层。 (2)这个立体大楼的第一层有( )个小正方体，第二层有( )个小正方体，第三层有( )个小正方体。 (3)下图中，( )是按图纸搭成的立体大楼。 ①        ② 举一反三 【变式训练1】一个由小正方体搭建的几何体，从上面看到的图形是（正方形里的数字表示从这个方向看，数字所在位置的所有小正方体的个数）。这个几何体从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】一个两层的立体大楼，第一层图纸是，第二层图纸是，说明第一层有( )个正方体，第二层有( )个正方体，总共有( )个正方体。 【变式训练3】一个由同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形如下图（数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。在方格图中画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 题型三、正方体翻滚问题 【典型例题】 (1)图中的正方体向右倒下，会占( )个正方形格子；再向右翻滚一次，会占( )个正方形格子 (2)标有月亮图的正方体会占哪些格子？圈一圈。 举一反三 【变式训练1】正方体向前滚动，每滚动( )格会回到原来的面，周期是( )。 【变式训练2】一个正方体蓝色面朝右（起点位置正方体没有压在数字上）沿数字带1→2→3……的方向从起点滚到16，蓝色面经过的数依次是：( )、( )、( )、( )。 【变式训练3】下图是由三个正方体组成的机器人，向右依次滚动。 (1)机器人第一次向右倒下后，会占( )个正方形格子。 (2)标有♥的正方体会占哪些格子？请圈一圈。 (3)你发现了什么规律？ 提升练习 1．把圆柱斜着切（不平行也不垂直于底面），切面的形状是（    ）。 A．圆形 B．椭圆形 C．长方形 D．正方形 2．正方体从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动到第8格，经过的颜色周期是4，第8格朝上的颜色和第（    ）格相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 4．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形是（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 5．立体大楼第一层图纸，第二层，总共有（    ）个正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 6．“设计图”是根据“立体图形”从上面看到的形状绘制而成，图中数字表示该位置上共有几个同样大小的正方体。如图，根据“设计图①”可搭建出右边的“立体图形”。那么，根据设计图②搭出的“立体图形”，从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 7．把圆柱形火腿肠平行于两端切一刀，切面是( )；斜着切一刀，切面是( )形。 8．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 9．按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 10．正方体沿直线型平放的带子每次向前翻滚90°，每( )次为一个循环周期，同一种颜色的面每隔( )个数会重复出现。 11．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，盲盒作为一种潮流玩具，其精准切入年轻消费者市场，广受欢迎。售货员阿姨将一些正方体盲盒摆了一个造型。左图是从上面看到的图形，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的正方体盲盒的个数，一共摆了( )个正方体盲盒，这组盲盒从左面看是( )（填序号）。 12．如下图，有一个物体从上面看到的是这样的形状，上面的数字表示这个位置上所用的小正方体的个数，想象这个物体原来的形状，并画出从前面和左面看到的形状。 13．用同样大小的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。 (1)( )号几何体符合上图的要求。 (2)在方格图中画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 14．一个几何体从上面看到的图形如下面左图，每个数字都表示这个位置上的小正方体个数。 (1)请在上面右边方格图中分别画出这个几何体从左面和前面看到的图形。 (2)若原小正方体的数量不变（位置可移动）要搭成一个大正方体，至少还需要( )个小正方体。 15．正方体按图中的方向从起点开始翻滚。 (1)灰色面第1次经过的数是多少？ (2)灰色面第4次经过的数是多少？ (3)当正方体滚到数18时，灰色面会落在这个数上吗？请说明理由。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $