第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中两条直线平行和垂直的判定核心知识点，从平面几何平行垂直性质（如同位角相等、同旁内角互补）过渡到解析几何中斜率关系（平行时k1=k2，垂直时k1k2=-1），并强调斜率不存在的特殊情况，通过问题引导、知识梳理、例题解析构建完整学习支架。 该资料以过山车情境引入培养数学眼光，通过问题链设计（从几何性质到代数刻画）发展数学思维，分层例题（基础判断到四边形形状分析）提升数学语言表达。课中助力教师引导学生抽象数学关系，课后练习帮助学生巩固方法，弥补斜率应用易错点。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点)2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点) 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下. 一、两条直线平行的判定 问题1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补. 问题2　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示　两直线平行，倾斜角相等. 知识梳理 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1=k2. 注意点： (1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线. (2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 例1　(课本例2)　已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解　如图，由已知可得直线BA的斜率kBA== 直线PQ的斜率kPQ==. 因为kBA=kPQ， 所以直线AB∥PQ. 例1　(课本例3)　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 解　如图，由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=- CD边所在直线的斜率kCD=- BC边所在直线的斜率kBC= DA边所在直线的斜率kDA=. 因为kAB=kCD，kBC=kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 例1　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5). 解　(1)k1==1，k2== k1≠k2，l1与l2不平行. (2)k1=1，k2==1，k1=k2， 故l1∥l2或l1与l2重合. (3)k1==-1，k2==-1， 则有k1=k2.又kAM==-2≠-1， 则A，B，M三点不共线.故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 延伸探究　已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　　.   答案　0或1 解析　当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在， 而直线AB的斜率存在， MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠-2，且m≠-1时， kAB==kMN==. 因为AB∥MN，所以kAB=kMN， 即=解得m=0或m=1. 当m=0或1时，经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 反思感悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法 二、两条直线垂直的判定 问题3　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示　k1·k2=-1. 知识梳理 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-. 例2　(课本例4)　已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系. 解　直线AB的斜率kAB= 直线PQ的斜率kPQ=-. 因为kABkPQ=×=-1， 所以直线AB⊥PQ. 例2　(课本例5)　已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状. 解　边AB所在直线的斜率kAB=- 边BC所在直线的斜率kBC=2. 由kABkBC=-1，得AB⊥BC， 即∠ABC=90°. 所以△ABC是直角三角形. 例2　已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB=-1， 即·=-1，解得m=-7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC=-1， 即·=-1，解得m=3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC=-1， 即·=-1，解得m=±2. 综上所述，m=-7或m=3或m=±2. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 答案　ABD 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行， 故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q kPQ=故两条直线垂直. C中，kPQ=故l1不与l2垂直. D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=- ， l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)， kPQ=故两条直线垂直. 三、平行与垂直的综合应用 例3　已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB==kCD==kAD==-3， kBC==-∴kAB=kCD， 由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC， ∴AD与BC不平行. 又kAB·kAD=×(-3)=-1， ∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形. 反思感悟　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练2　已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 解　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， 由于kAB=3，kBC=0， ∴kAB·kBC=0≠-1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在， 从而有x=3. 又kAD=kBC，∴=0，即y=3， 此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3). (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD=kCD= ∴解得x=y= ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3，3)或. 1.知识清单： (1)两直线平行的判定. (2)两直线垂直的判定. (3)两直线平行、垂直的应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 答案　B 解析　由题意知，直线PQ的斜率存在， 由kPQ=kMN，即= 得m=-.经检验知，m=-符合题意. 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=- 当a=0时，l2的斜率不存在. 3.已知两点M(2，2)和N(5，-2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为(　　) A.(1，0) B.(6，0) C.(1，0)或(6，0) D.不存在 答案　C 解析　设P点坐标为(x0，0)， 则kPM=kPN= 由于∠MPN=90°，故kPM·kPN=-1， 即·=-1， 解得x0=1或x0=6， 故P点坐标为(1，0)或(6，0). 4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，则直线l1与l2的位置关系是　　　.  答案　平行或重合 解析　直线l1的倾斜角为135°， 故斜率=tan 135°=-1. 由l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)， 得==-1，所以= 所以直线l1与l2平行或重合. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 答案　B 解析　因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确. 2.直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　如图，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°+90°=120°， ∴l2的斜率为tan 120°=-tan 60°=-. 3.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心.则点C的坐标为(　　) A.(6，2) B.(-2，2) C.(-4，-2) D.(6，-2) 答案　D 解析　设C点坐标为(x，y)，直线AH的斜率kAH==0， ∵BC⊥AH，而点B的横坐标为6，则x=6，直线BH的斜率kBH==2， ∴直线AC的斜率kAC==-∴y=-2， ∴点C的坐标为(6，-2). 4.(多选)已知经过点A(3，n)，B(5，m)的直线l1与经过点P(-m，0)，Q(0，n2)(mn≠0)的直线l2平行，则m，n的关系为(　　) A.m=-n B.m=n C.m=2n D.m=-2n 答案　AC 解析　由题意得==因为l1∥l2，所以=即=化简得m2-mn-2n2=0，所以m=-n或m=2n. 5.(多选)以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 答案　AC 解析　对于A，因为A(-1，1)，B(2，-1)，所以kAB==-所以A正确； 对于B，因为B(2，-1)，C(1，4)，所以kBC==-5≠-所以B错误； 对于C，因为kAB=-kAC==所以kAB·kAC=-×=-1， 所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确； 对于D，因为kAB=-kBC=-5，所以kAB·kBC≠-1，所以D错误. 6.(多选)设平面内四点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是(　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 答案　ABD 解析　由斜率公式知， kPQ==-kSR==- kPS==kQS==-4， kPR== ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS. 而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确. 7.(5分)小明研究一张坐标纸中A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)四点的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn=　　　　.  答案　-5 解析　由题意可知直线AB与CD的斜率存在， 因为直线AB与CD的方向向量互相垂直， 所以直线AB与CD的斜率之积为-1， 又A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)， 所以·=-1， 整理得mn=-5. 8.(5分)若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=　　　　；若l1∥l2，则b=　　　　.  答案　2　- 解析　当l1⊥l2时， k1k2=-=-1，得b=2. 当l1∥l2时，k1=k2， Δ=9-4×2×(-b)=0， 得b=-. 9.(10分)(1)直线l1经过点A(3，2)，B(3，-1)，直线l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；(4分) (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，若l1⊥l2，求a的值.(6分) 解　(1)直线l1的斜率不存在， 直线l2的斜率为0， 所以l1⊥l2. (2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在， 直线l1的斜率可能不存在. 当直线l1的斜率不存在时，3=a-2， 即a=5，此时k2=0， 则l1⊥l2，满足题意. 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式， 得k1== k2==. 由l1⊥l2，知k1k2=-1， 即·=-1， 解得a=0. 综上所述，a的值为0或5. 10.(10分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标；(5分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(5分) 解　(1)设点D坐标为(a，b)， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以kAB=kCD，kAD=kBC， 所以解得 所以D(-1，6). (2)因为kAC==1， kBD==-1， 所以kAC·kBD=-1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 11.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A.(-3，1) B.(4，1) C.(-2，1) D.(2，-1) 答案　A 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标. 12.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为(　　) A.1 B.0 C.3，-1 D.-3 答案　D 解析　设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，斜率为k，则tan=2⇒=2， 解得tan α=故k= 根据垂直关系可得另一条边的斜率为-=-3， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3. 13.(5分)已知直线l1，l2的斜率分别为==直线l1，l2互相垂直，且a，b>0，则+的最小值为　　　　.  答案　3+2 解析　由题得·=·=-1， 所以a+b=1， 又a>0，b>0， 所以+=(a+b) =3++≥3+2 =3+2 当且仅当= 即a=2- b=-1时等号成立. 所以+的最小值为3+2. 14.(5分)如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　　m.  答案　 解析　以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)， 设M(x，0)，0<x<5. 由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在， 由于AC与DM互相垂直， 所以kAC·kDM=-1， 即·=-1， 解得x= 所以BM的长为 m. 15.(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=　　　　.  答案　4+ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°+30°=60°， ∴直线l1的斜率 k1=tan 60°=. 由l1∥l2知， 直线l2的斜率k2=k1=. ∴直线AB的斜率存在， 且kAB=-=-. ∴==- 解得m=4+. 16.(12分)已知M(1，-1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(6分) (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.(6分) 解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN=3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN=-1， 即×3=-1. ① 由已知得kPN=-2， 由PN∥MQ，可得kPN=kMQ， 即=-2. ② 联立①②求解得x=0，y=1，即Q(0，1). (2)设Q(x，0)， ∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP. 又∵kNQ=kNP=-2， ∴=2，即x=1，∴Q(1，0). 又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $