2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标 素养要求 1．理解并掌握两条直线平行或垂直的条件． 2．会利用斜率判断两直线平行或垂直． 3．能应用两条直线的平行或垂直条件解决有关问题. 通过对两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　两直线平行的条件 [问题1]　若两条直线平行，则它们的倾斜角有什么关系？ 答：相等． [问题2]　若两条斜率存在的直线平行，则它们的斜率有什么关系？ 答：相等． [问题3]　若两条直线的斜率都不存在，则它们的位置关系如何？ 答：平行． [问题4]　若两条直线的斜率相等，则它们一定平行吗？ 答：不一定平行(两直线有可能重合)． ►知识填空 两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝__90°__ 对应关系 l1∥l2⇔__k1＝k2__ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 知识点二　两直线垂直的条件 [问题1]　若直线l1斜率为0，直线l2斜率不存在，则直线l1与l2有什么位置关系？ 答：垂直． [问题2]　如图，斜率都存在的两条直线l1与l2，若l1⊥l2，则其倾斜角有什么关系？斜率有什么关系？ 答：α2－α1＝90°，k1·k2＝－1. ►知识填空 两条直线垂直与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在，且都不为零)⇔__k1·k2＝－1__ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒__l1⊥l2__ 图示 [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则两直线平行．(　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(　　) (4)若两直线的斜率都不存在，则两直线平行．(　　) 解析：(1)×.两直线有可能重合． (2)×.可能出现两直线斜率不存在情况． (3)√.正确． (4)×.两直线斜率都不存在，也可能重合． 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为(　　) A．－3　　　　　 B．3 C．－ D． 解析：选B　kAB＝＝3. 3．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________. 解析：因为k1＝2，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，k2＝－＝－. 答案：－ 4．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝______. 答案：0 题型一　直线平行的判定 [例 1]　(1)(多选)下列各组直线中l1与l2一定平行的是(　　) A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2，3) C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2) D．l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5) (2)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________. 解析：(1)A．由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－.所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. B．由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1. 所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kFG＝＝1， 故直线l1与直线l2重合． C．由题意知，k1＝tan 60°＝， k2＝＝. 所以k1＝k2.所以直线l1与直线l2平行或重合． D．由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴．所以l1∥l2. (2)由题意知，kAB＝＝－. 当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－， kCD不存在． ∴AB和CD不平行． 当a≠2时，kCD＝＝. 由kAB＝kCD，得－＝， 即a2－2a－3＝0. ∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1， kBD＝＝－≠kAB， ∴AB与CD平行； 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝， kCD＝＝， ∴AB与CD重合． ∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行． 答案：(1)AD　(2)3 [反思感悟] 判断两条不重合直线是否平行的步骤 [提醒]　若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 求证：顺次连接A(0,1)，B(－1,0)，C(－3，－4)，D(3,2)四点所得的四边形是梯形． 证明：因为kAB＝＝1， kCD＝＝1， 所以kAB＝kCD． 又因为kBC＝＝2， kAD＝＝， 所以kBC≠kAD． 从而AB∥CD，而BC不平行于AD， 所以四边形ABCD为梯形． 题型二　两直线垂直的判定 [例 2]　判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20，3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)． 解：(1)∵k1＝＝2， k2＝＝， ∴k1k2＝1.∴l1与l2不垂直． (2)∴k1＝－10，k2＝＝， ∴k1k2＝－1.∴l1⊥l2. (3)由A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°. 则l1⊥x轴． 由k2＝＝0， 则l2∥x轴．因此l1⊥l2. [反思感悟] 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． [提醒]　若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________． 解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C， 则AC⊥BC．设C(x,0)， 则kAC＝，kBC＝. 所以·＝－1.解得x＝1或2. 所以C的坐标为(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)题型三　平行和垂直的综合应用 [例 3]　(1)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)． ①若l1∥l2，求a的值； ②若l1⊥l2，求a的值． 解：(1)选C　由题意知，kAB＝＝－， kAC＝＝. ∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形． (2)设直线l2的斜率为k2， 则k2＝＝－. ①若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－. ∵k1＝，∴＝－. 解得a＝1或a＝6. 经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2. ②若l1⊥l2. 当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意； 当k2≠0时，l1的斜率存在， 此时k1＝， 由k1k2＝－1，可得·＝－1， 解得a＝3或a＝－4. ∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. [反思感悟] 利用两条直线平行或垂直的结论处理图形问题的步骤及注意点 (1)判定图形形状的步骤： ①描点：在坐标系中描出给定的点； ②猜测：根据描出的点，猜测图形的形状； ③求斜率：根据给定点的坐标求直线的斜率； ④结论：由斜率之间的关系，判断形状． (2)注意点：判断四边形的形状时，最后的结论要彻底、具体，必要时要判断对角线的关系．如：结果是正方形时，不要答成矩形． 已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点坐标，使四边形ABCD为直角梯形．(A，B，C，D按逆时针方向排列) 解：设所求D点坐标为(x，y)．因为kAB＝3，kBC＝0， 所以AB与BC不垂直．故AB与BC都不可能为与底边垂直的腰． ①若CD是直角梯形与底边垂直的腰，则BC⊥CD，AD⊥CD． 因为kBC＝0，所以CD斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC，所以y＝3，此时AB与CD不平行． 所以D点坐标为(3,3)． ②若AD是与底边垂直的腰，则AD⊥AB，AD⊥CD． 因为kAD＝，kCD＝， 又AD⊥AB，所以·3＝－1.① 又AB∥CD，所以＝3.② 由①②，得此时AD与BC不平行． 所以D点坐标是. 综上可知，D点坐标为(3,3)或. [课堂小结] 1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率 直线 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在 相等 平行或重合 积为－1 垂直 2．在对两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$