四川2026-2027学年高二上学期开学考试数学模拟提升卷（2）

**基本信息** 该卷覆盖向量运算、概率统计、复数命题、立体几何等高二核心知识，以3D打印模型体积计算、天文学星等亮度换算等真实情境为载体，通过分层设问考察数学思维与应用能力，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|向量共线、抽样概率、复数真假命题、二面角比较|第7题结合天文学星等公式，考察数学语言表达现实规律| |多选|3题|数据特征、向量性质、不等式应用|第9题通过演讲评分数据，考察数学眼光分析数据波动| |填空|3题|复数运算、解三角形、几何体体积|第14题以3D打印模型为背景，体现数学思维解决实际问题| |解答|5题|立体几何证明、三角函数最值、概率综合|第19题羽毛球比赛概率模型，考察逻辑推理与数学建模|

四川高二（上）数学开学考试模拟卷 提升卷（2） 一、单项选择题 1．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若为实数， ，则=（ ） A． B． C．1 D．2 2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） A． B． C． D． 3．在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A． B． C． D． 4．设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为（ ） A．， B．， C．， D．， 5．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．120 D．140 6.已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26．7，天狼星的星等是−1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010．1 B．10．1 C．lg10．1 D．10–10．1 8．如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ） A．<< B．<< C．<< D．<< 二、多项选择题 9.演讲比赛中,12位评委对小李的演讲打出了如下的分数: 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分,两个最低分,则剩下8个分数的(　　) A.极差为0.3 B.众数为9.0和9.1 C.平均数为9.025 D.第70百分位数为9.05 10.下列说法正确的是(　　) A.任意两个向量a和b,有|a+b|≤|a|+|b| B.|(a·a)a|=|a|3 C.任意两个向量a和b,有|a-b|≤|a|-|b| D.若向量a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b 11.已知a>0,b>0,且a+2b=2,则(　　) A.ab的最大值为 B.a+的最小值为4 C.a2+4b2的最小值为2 D.的最大值为4 三、填空题 12．若=（为实数，为虚数单位），则=____________． 13.在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ． 14．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　． 四、解答题 15.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连接，如图2． （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的四边形的面积． 16.设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值． 17.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点． （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离． 18.在中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． （1）求； （2）若，，求和的长． 19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为． （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率． 高二（上）数学开学考试模拟卷 提升卷（2） （答案） 一、单项选择题 1．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若为实数， ，则=（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】，由∥，得，解得 2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故，故选D． 3．在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为，因此B选项这一组的标准差最大，故选B． 4．设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】设（），则，得，∴，正确；，则，即或，不能确定，不正确；若，则，此时，正确．选B． 5．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．120 D．140 【答案】D 【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22．5小时的频率为(0．16+0．08+0．04)×2．5=0．7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数为200×0．7=140．故选D． 6.已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，． ，因此．故选D． 7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26．7，天狼星的星等是−1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010．1 B．10．1 C．lg10．1 D．10–10．1 【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足，令， ，故选A． 8．如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ） A．<< B．<< C．<< D．<< 【答案】B 【解析】设为三角形中心，底面如图2，过作，，，由题意可知，，， 图1 图2 由图2所示，以为原点建立直角坐标系，不妨设，则，，，，∵，，∴，，则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，根据点到直线的距离公式，知，，，∴，， ∵，，为锐角，∴．选B 二、多项选择题 9.演讲比赛中,12位评委对小李的演讲打出了如下的分数: 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分,两个最低分,则剩下8个分数的(　　) A.极差为0.3 B.众数为9.0和9.1 C.平均数为9.025 D.第70百分位数为9.05 解析：易知去掉最高分和最低分后剩下的8个分数分别为8.9,8.9,9.0,9.0,9.0,9.1,9.1,9.2,显然极差为9.2-8.9=0.3,众数为9.0,平均数为 =9.025,i=8×70%=5.6,则第70百分位数为数据中的第6个数,即9.1.显然A,C正确,B,D错误. 10.下列说法正确的是(　　) A.任意两个向量a和b,有|a+b|≤|a|+|b| B.|(a·a)a|=|a|3 C.任意两个向量a和b,有|a-b|≤|a|-|b| D.若向量a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b 解析：对于A,由向量加法的三角形法则知,|a+b|≤|a|+|b|,A正确;对于B,由向量的数量积公式知,|(a·a)a|=|a2||a|=|a|3,B正确;对于C,由向量减法的运算性质得|a-b|≥|a|-|b|,C错误;对于D,向量不能比大小,D错误.故选AB. 11.已知a>0,b>0,且a+2b=2,则(　　) A.ab的最大值为 B.a+的最小值为4 C.a2+4b2的最小值为2 D.的最大值为4 解析：对于A选项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以ab≤()2=,故A正确;对于B选项,根据基本不等式可得a+2=4,当且仅当a=2时等号成立,此时b=0,故B错误;对于C选项,根据基本不等式可得a2+4b2=2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D选项,根据基本不等式可得4,当且仅当a=2b=1时等号成立,所以的最小值为4,故D错误,故选AC. 三、填空题 12．若=（为实数，为虚数单位），则=____________． 【答案】3 【解析】∵，∴．又∵都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得∴． 13.在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ． 【答案】 【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知， 故，，故，故． 在中，；在中，由正弦定理得， 即． 14．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　． 【答案】118．8 【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，， 该模型体积为： ，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：． 四、解答题 15.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连接，如图2． （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的四边形的面积． 【解析】（1）证明：由已知可得，，即有， 则，确定一个平面，从而，，，四点共面； 由四边形为矩形，可得， 由为直角三角形，可得， 又，可得平面， 平面，可得平面平面； （2）连接，， 由平面，可得， 在中，，，可得， 可得， 在中，，，， 可得，即有， 则平行四边形的面积为． 16.设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值． 【解析】(1)＝sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝＝cos 2ωx－sin 2ωx＝． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为， 又ω＞0，所以．因此ω＝1． (2)由(1)知＝． 当π ≤x≤时，≤．所以， 因此－1≤≤． 故在区间上的最大值和最小值分别为，－1． 17.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点． （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离． 【解析】（Ⅰ）证明：连结交于点，连结． ∵底面为矩形， ∴点为的中点，又为的中点， ∴ ∵平面，平面， ∴平面 （Ⅱ）∵底面为矩形，平面， ∴===，PA⊥BC，BC⊥AB， ∴AB=，BC⊥面PAB， 过A在平面PAB内作AHPB交PB于H，∴BC⊥AH， ∵PB∩BC=B， ∴AH⊥面PBC， 在直角三角形PAB中，=，∴ ∴A到平面PBC的距离为． 18.在中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． （1）求； （2）若，，求和的长． 【解析】（1）如图，过作于， ， 平分 在中，， 在中，，； ．分 （2）由（1）知，． 过作于，作于， 平分， ， ， ， 令，则， ， ， 由余弦定理可得：， ， ， 的长为，的长为1． 19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为． （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率． 【解析】（1）记事件甲连胜四场，则． （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为 ， ∴，需要进行第五场比赛的概率为． （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：，，，，，，，，∴甲赢的概率为． 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，∴丙赢的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $