第5讲 周期循环问题（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义 第 5 讲 周期循环问题 适用教材 人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》 难度梯度 校内基础 → 奥数提升 → 竞赛拔高 配套资源 知识梳理、经典例题、随堂小练、拓展竞赛、易错题、趣味压轴、一题多解、分层习题、完整解答 【写在前面】 周期循环在生活中无处不在：四季更替、星期轮转、生肖往复、彩灯闪烁……它们都遵循「固定顺序不断重复」的规律。校内课堂仅涉及简单图形循环，本讲将系统拓展五大奥数模型——图形排列周期、数字数列周期、星期日期周期、双重复合周期、循环小数周期，全程以带余除法为核心工具，打通「整除—余数—周期」完整数论链条，为初中规律探究与数列计算奠定坚实基础。 本讲统一采用「找周期→定长度→算商余→判位置→做计算→回头验」六步标准模板，做到一题通一类，彻底告别盲目枚举。 【三维学习目标】 知识与技能 • 理解周期、周期长度的定义，能从复杂序列中精准识别最小循环单元； • 掌握周期核心公式：总个数 ÷ 周期 = 完整组数……余数，熟记余数判定规则； • 熟练掌握五大题型：图形定位、数列求和、星期推算、双重周期、循环小数； • 会用最小公倍数求解复合公共周期，能区分平闰年、大小月进行日期计算； • 能解决生肖推算、循环小数指定位数等竞赛级难题。 过程与方法 建立六步标准解题流程，区分单周期与双重复合周期两类模型，利用余数工具实现规律的量化计算，培养观察归纳与分步验算习惯。 情感态度与价值观 感受生活中循环现象的数学之美，消除长序列枚举恐惧，建立「规律数字化」的建模思想，体会余数工具的广泛通用性。 【重点与难点】 重点 ★ 周期判定与余数定位基础规则（余几取第几个，余 0 取末尾）； ★ 图形、数列的基础周期定位与求和计算； ★ 星期日期的单周期推算。 难点 ▲ 双重复合周期中最小公共周期的求解； ▲ 跨月、跨年日期总天数的精准计算（平闰年、大小月）； ▲ 循环小数、生肖长周期竞赛题型； ▲ 计数起点偏移与反向周期等易混淆题型。 【高频易错警示灯】 ⚠ 易错1：找错循环单元——把不完整的片段误当作周期； ⚠ 易错2：余数 = 0 时误取第一个，正确应取周期最后一个； ⚠ 易错3：日期计算忽略平闰年 2 月天数差异、大小月天数； ⚠ 易错4：双重周期直接用单周期计算，未求最小公倍数公共周期； ⚠ 易错5：周期求和时遗漏余数段的数字，只算完整组数； ⚠ 易错6：计数起点搞错（从第 2 位开始循环时总个数未修正）。 一、核心知识点梳理 （一）周期基础定义 周期现象：一组事物按照固定顺序不断重复出现。 周期长度：一组完整循环所包含的元素个数。 例如：蓝绿黄蓝绿黄……循环单元为「蓝绿黄」，周期长度 = 3。 （二）周期万能核心公式 总个数 ÷ 周期长度 = 完整组数 …… 余数 判定规则： ① 余数 ≠ 0：结果取循环单元中第「余数」个； ② 余数 = 0（整除）：结果取循环单元的最后一个。 （三）常用固定周期数据表 周期类型 周期长度与说明 星期 7 天（周一至周日循环） 十二生肖 12 个（鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪） 一年四季 4 季（春夏秋冬） 年月天数 平年 365 天 / 闰年 366 天；大月 31 天，小月 30 天，平年 2 月 28 天，闰年 2 月 29 天 （四）五大奥数周期模型 模型 1：图形排列周期（基础） 彩灯、珠子、符号循环，求第 N 个图形/颜色；拓展求前 N 个中某类物体的总个数。 求和公式：某类总数 = 完整组数 × 每组数量 + 余数段内同类数量。 模型 2：数字数列周期 重复数字串，两类考法：① 第 N 位数字是几；② 前 N 项数字总和。 求和公式：总和 = 单周期数字和 × 完整组数 + 余数段数字和。 模型 3：星期日期周期 核心：算出两段日期间隔总天数，除以 7 取余，在基准星期上顺推。 间隔天数两种口径：① 不含起始日：目标日 − 起始日；② 包含起始日：差值 + 1。 模型 4：双重复合周期（竞赛） 两组规律同时循环，公共周期 = 两个周期长度的最小公倍数（LCM），以公共周期重新分析余数。 模型 5：循环小数周期 纯循环 / 混循环小数，先找出循环节长度，小数点后第 N 位用周期余数判定。 （五）通用六步解题模板 第1步【找】：观察规律，截取最小完整循环单元 第2步【定】：数出单元内元素个数，确定周期长度 第3步【算】：总数量 ÷ 周期，算出商和余数 第4步【判】：根据余数是否为 0，定位对应元素 第5步【求】：求和 / 计数 / 推算日期，针对性计算 第6步【验】：列举前 2 个周期反向验证规律 二、经典基础例题（3 道 · 配随堂小练） 【例 1】图形周期定位 ★基础 【题目】一串装饰灯按「◆◇▲■」四个为一组重复排列，第 42 盏灯是什么形状？ 解析： 循环单元：◆◇▲■，周期长度 = 4； 42 ÷ 4 = 10（组）……2（盏），余数为 2； 周期内第 2 个形状为◇（菱形）； 答：第 42 盏灯是菱形◇。 【随堂小练】彩旗按「红、橙、黄、绿、青」5 色循环，第 38 面彩旗是什么颜色？ 【例 2】数列周期求和 ★提升 【题目】数列：3, 6, 2, 5, 3, 6, 2, 5 ……，前 38 个数的总和是多少？ 解析： 循环单元：3, 6, 2, 5，周期长度 = 4； 单周期数字和 = 3 + 6 + 2 + 5 = 16； 38 ÷ 4 = 9（组）……2（个），完整 9 组，剩余 2 个数字为 3、6； 总和 = 9 × 16 + (3 + 6) = 144 + 9 = 153。 答：前 38 个数的总和为 153。 【随堂小练】数列 2, 5, 8 循环，前 32 项的总和是多少？ 【例 3】星期基础推算 ★提升 【题目】2026 年 10 月 15 日是星期四，11 月 3 日是星期几？ 解析： 10 月有 31 天，10 月 15 日到 10 月 31 日间隔：31 − 15 = 16 天； 再加 11 月 1 日、2 日、3 日共 3 天，总间隔 = 16 + 3 = 19 天； 19 ÷ 7 = 2（周）……5（天），余数为 5； 从星期四往后推 5 天：周五→周六→周日→周一→周二。 答：11 月 3 日是星期二。 【随堂小练】2026 年 11 月 3 日是星期二，11 月 25 日是星期几？ 三、拓展拔高竞赛例题（4 道） 【拓展 1】图形计数周期 ★★拔高 【题目】装饰灯按「◆◇▲■」四个为一组重复排列，前 42 盏灯中菱形◇一共有多少盏？ 解析： 周期长度 = 4，每组中有 1 盏菱形◇； 42 ÷ 4 = 10（组）……2（盏），余下 2 盏为◆、◇，含 1 盏菱形； 总数 = 10 × 1 + 1 = 11 盏。 答：前 42 盏灯中共有 11 盏菱形◇。 【拓展 2】双重复合周期 ★★拔高 【题目】文字「甲、乙、丙」循环（周期 3），数字「1、2、3、4」循环（周期 4），按甲1、乙2、丙3、甲4、乙1、丙2……的方式配对，第 35 组是什么？ 解析： 公共周期 = LCM(3, 4) = 12； 35 ÷ 12 = 2（轮）……11（组），即公共周期中的第 11 组； 文字：11 ÷ 3 = 3 余 2 → 第 2 个为「乙」； 数字：11 ÷ 4 = 2 余 3 → 第 3 个为「3」； 验证：第 11 组 = 乙3，与逐组列举一致。 答：第 35 组为「乙3」。 【拓展 3】跨年日期周期 ★★拔高 【题目】2026 年 10 月 15 日是星期四，2028 年 10 月 15 日是星期几？ 解析： 2026.10.15 → 2027.10.15：2027 年为平年，共 365 天； 2027.10.15 → 2028.10.15：2028 年为闰年（2 月在区间内），共 366 天； 总天数 = 365 + 366 = 731 天； 731 ÷ 7 = 104（周）……3（天），余数为 3； 星期四往后推 3 天 = 星期日。 答：2028 年 10 月 15 日是星期日。 【拓展 4】循环小数周期 ★★★竞赛 【题目】5 ÷ 7 = 0.714285714285……，小数点后第 86 位数字是多少？ 解析： 循环节为「714285」，周期长度 = 6； 86 ÷ 6 = 14（组）……2（位），余数为 2； 循环节中第 2 位数字为 1。 答：小数点后第 86 位数字是 1。 四、易错题专区（3 道典型错例） 【易错题1】余数为 0 的判定错误 【题目】图形按「★☆●」3 个一组循环，第 27 个图形是什么？ ✗ 错误解法：27 ÷ 3 = 9 余 0，误以为取第一个★。 ✓ 正确解法：余数 = 0 时应取周期最后一个，即●。第 27 个图形是●。 【易错题2】日期间隔天数算错 【题目】2026 年 11 月 10 日到 11 月 25 日，间隔多少天？ ✗ 错误解法：误算为 25 − 10 + 1 = 16 天（这是包含起始日的计数口径）。 ✓ 正确解法：只算间隔天数（不含 11 月 10 日当天）：25 − 10 = 15 天。 【易错题3】周期求和遗漏余数部分 【题目】数列 1, 3, 5 循环（单周期和 = 9），前 20 项总和是多少？ ✗ 错误解法：20 ÷ 3 = 6 余 2，只算 6 × 9 = 54，漏掉余数段。 ✓ 正确解法：完整 6 组和 = 6 × 9 = 54，余数段为 1、3，和 = 4；总和 = 54 + 4 = 58。 五、趣味综合压轴（2 道） 【趣味1】生肖周期推算 【题目】2026 年为马年，十二生肖循环往复，请问 2050 年是什么生肖年？ 解： 计算年份差：2050 − 2026 = 24 年； 生肖周期 = 12，24 ÷ 12 = 2（轮）……0（年）； 余数为 0，说明 2050 年与 2026 年生肖相同； 验算：2026 马年 → 2038 马年（+12）→ 2050 马年（+12），完全吻合。 答：2050 年是马年。 【趣味2】多重图形综合计数 【题目】图形序列「○●△□●」不断循环，求前 60 个图形中实心圆●一共有多少个？ 解： 循环单元：○●△□●，周期长度 = 5，每组内有 2 个实心圆●； 60 ÷ 5 = 12（组）……0（个），恰好 12 个完整周期； 实心圆总数 = 12 × 2 = 24 个； 验算：前 5 个有 2 个●，前 60 个 = 12 组 × 2 = 24 个，结果正确。 答：前 60 个图形中共有 24 个实心圆●。 六、一题多解（图形计数综合） 题目 学校走廊按「蓝、紫、粉、白」4 盏为一组循环悬挂彩灯，前 45 盏彩灯里蓝灯一共有多少盏？ 方法一：标准余数法（课堂首选 · 最快） 周期 = 4，每组固定 1 盏蓝灯； 45 ÷ 4 = 11（组）……1（盏），剩余 1 盏为「蓝」； 完整组蓝灯 = 11 × 1 = 11 盏； 剩余 1 盏含 1 盏蓝灯； 蓝灯总数 = 11 + 1 = 12 盏。 方法二：分段枚举验算法（适合基础薄弱同学） 一组：蓝、紫、粉、白（1 蓝），11 组共 44 盏，含 11 盏蓝灯； 第 45 盏：蓝，额外新增 1 盏蓝灯； 合计 = 11 + 1 = 12 盏，与方法一答案一致。 方法三：分类讨论逻辑法（奥数拓展思路） 设总个数 n = 45，周期 = 4，每组 1 盏蓝灯； 45 ÷ 4 = 11 余 1，余数 r = 1； 分类：若 r ≥ 1，余数段包含蓝灯（因为蓝灯在周期第 1 位）；若 r = 0 则无额外蓝灯； 本题 r = 1 ≥ 1，蓝灯总数 = 组数 + 1 = 11 + 1 = 12 盏。 【方法总结】三种方法结果完全统一。标准余数法步骤最少，考试优先使用；枚举法适合验算验证；逻辑法适合深入理解周期通用规律，应对更复杂的分类讨论题。 七、基础必做习题（3 道） 习题 1：图形按「★●■」3 个一组循环，① 第 40 个图形是什么？② 前 40 个图形中★一共有多少个？ 习题 2：数列 5, 2, 7, 4 循环，前 30 项的总和是多少？ 习题 3：2026 年 11 月 8 日是星期日，12 月 5 日是星期几？ 八、拓展拔高习题（2 道） 拓展习题 1：形状按「△○□☆◇」5 种循环（周期 5），颜色按「红、黄、绿」3 色循环（周期 3），形状与颜色一一配对，第 40 组是什么形状配什么颜色？ 拓展习题 2：纯循环小数 0.384615384615……，小数点后第 77 位数字是多少？ 九、随堂小练 · 完整详细解答 随堂小练 1 【题目】彩旗按「红、橙、黄、绿、青」5 色循环，第 38 面彩旗是什么颜色？ 解： 循环单元：红、橙、黄、绿、青，周期 = 5； 38 ÷ 5 = 7（组）……3（面），余数为 3； 周期内第 3 个颜色为黄色； 验算：7 组共 35 面，第 36 红、37 橙、38 黄，结果正确。 答：第 38 面彩旗是黄色。 随堂小练 2 【题目】数列 2, 5, 8 循环，前 32 项的总和是多少？ 解： 周期 = 3，单周期数字和 = 2 + 5 + 8 = 15； 32 ÷ 3 = 10（组）……2（个），余下 2 个数字为 2、5； 总和 = 10 × 15 + (2 + 5) = 150 + 7 = 157。 答：前 32 项的总和为 157。 随堂小练 3 【题目】2026 年 11 月 3 日是星期二，11 月 25 日是星期几？ 解： 间隔天数（不含 11 月 3 日）：25 − 3 = 22 天； 22 ÷ 7 = 3（周）……1（天），余数为 1； 从星期二往后推 1 天 = 星期三。 答：11 月 25 日是星期三。 十、基础必做习题 · 完整解答 基础习题 1 【题目】图形按「★●■」3 个一组循环，① 第 40 个图形是什么？② 前 40 个图形中★一共有多少个？ 解： 周期 = 3，循环单元：★、●、■； ① 40 ÷ 3 = 13（组）……1（个），余数为 1，对应周期第 1 个 = ★； ② 每组含 1 个★，13 组共 13 个★；余下 1 个为★，额外 +1； ★ 总数 = 13 + 1 = 14 个。 答：第 40 个图形是★；前 40 个图形中共有 14 个★。 基础习题 2 【题目】数列 5, 2, 7, 4 循环，前 30 项的总和是多少？ 解： 周期 = 4，单周期数字和 = 5 + 2 + 7 + 4 = 18； 30 ÷ 4 = 7（组）……2（个），余下 2 个数字为 5、2； 总和 = 7 × 18 + (5 + 2) = 126 + 7 = 133。 答：前 30 项的总和为 133。 基础习题 3 【题目】2026 年 11 月 8 日是星期日，12 月 5 日是星期几？ 解： 11 月有 30 天，11 月 8 日到 11 月 30 日间隔：30 − 8 = 22 天； 再加 12 月 1 日至 5 日共 5 天，总间隔 = 22 + 5 = 27 天； 27 ÷ 7 = 3（周）……6（天），余数为 6； 从星期日往后推 6 天：周一→周二→周三→周四→周五→周六。 答：12 月 5 日是星期六。 十一、拓展拔高习题 · 完整解答 拓展习题 1 【题目】形状按「△○□☆◇」5 种循环（周期 5），颜色按「红、黄、绿」3 色循环（周期 3），形状与颜色一一配对，第 40 组是什么形状配什么颜色？ 解： 公共周期 = LCM(5, 3) = 15； 40 ÷ 15 = 2（轮）……10（组），即公共周期中第 10 组； 形状：10 ÷ 5 = 2 余 0 → 周期最后一个 = ◇； 颜色：10 ÷ 3 = 3 余 1 → 周期第 1 个 = 红； 验证：逐组列举第 10 组为◇红，结果一致。 答：第 40 组为「◇（红色）」。 拓展习题 2 【题目】纯循环小数 0.384615384615……，小数点后第 77 位数字是多少？ 解： 循环节为「384615」，周期 = 6； 77 ÷ 6 = 12（组）……5（位），余数为 5； 循环节中第 5 位数字为 1。 答：小数点后第 77 位数字是 1。 十二、本讲全套总结 （一）核心速查表 题型 核心操作口诀 图形第 N 个 找周期 → 求余数，余 0 取末尾 周期求和 单周期和 × 组数 + 余数段数字和 星期推算 算间隔 ÷ 7，基准日 + 余数 双重周期 求两周期最小公倍数作公共周期 循环小数 循环节作周期，余数定位数字 （二）记忆口诀 循环一组叫周期，总数除以求商余； 余几就取第几个，余零末尾别记错； 图形数列星期题，余数解题不用急； 双重周期求公倍，日期分清大小月。 （三）老师寄语 本讲紧接上一讲「余数与同余初步」，是余数专题的综合应用章节。所有周期问题全部依靠带余除法解决，属于数论综合的过渡篇章。下一讲将进入「不定方程基础」，课后请务必熟练掌握周期余数定位与日期天数计算两大核心考点，做到熟能生巧。 祝贺你完成本讲的学习，继续加油！ 学科网（北京）股份有限公司 $