第13讲 指对函数综合与复合函数（核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本高中数学讲义聚焦指对函数综合与复合函数核心知识点，系统梳理指数函数（定义、定义域、值域、单调性、定点性质及运算公式）、对数函数（反函数定义、定义域、值域、单调性、定点及对数公式）及复合函数（定义、定义域原则、单调性“同增异减”法则、高频结构），构建从基础函数到综合应用的学习支架。 资料以“核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业”为框架，通过易错点（如忽略对数定义域、复合单调性误用）辨析培养数学思维的严谨性，典例及变式（如定义域求解、单调区间判断）训练提升推理能力与问题解决能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第13讲 指对函数综合与复合函数 （核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】指对函数定义域求解 【题型四】指对幂数比较大小 【题型二】复合函数单调区间求解 【题型五】指对函数定点与参数求值 【题型三】指对复合函数值域求解 【题型六】含参指对函数恒成立问题 【知识点01】指数函数核心知识点 1. 定义 一般地，函数叫做指数函数，定义域为，值域为。 2. 图像与单调性 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减。 3. 定点性质 指数函数恒过定点，即时，。 4. 基础运算公式 【知识点02】对数函数核心知识点 1. 定义 指数函数的反函数叫做对数函数，定义域为，值域为。 2. 图像与单调性 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减。 3. 定点性质 对数函数恒过定点，即时，。 4. 核心对数公式 积对数： 商对数： 幂对数： 换底公式： 恒等式： 【知识点03】复合函数核心法则 1. 复合函数定义 形如的函数为复合函数，其中为内层函数，为外层函数。 2. 定义域求解原则 逐层向内约束：外层函数定义域约束内层函数值域，内层函数自身定义域双重限制。 3. 复合函数单调性（同增异减） 内层、外层单调性相同，复合函数单调递增； 内层、外层单调性相反，复合函数单调递减。 4. 指对复合高频结构 、，是高考最核心的指对复合函数模型。 易错点1：忽略对数函数定义域限制 误区：求解单调性、值域时，忘记约束，导致区间出错。 正解：对数复合问题，优先求真数大于0的定义域，再分析单调性与最值。 易错点2：复合单调性乱用“同增异减” 误区：不先求定义域，直接套用同增异减，单调区间包含无意义区间。 正解：先定域、再判单调，所有单调区间必须在函数有效定义域内。 易错点3：指数、对数参数范围混淆 误区：默认底数，忽略的递减情况，分类讨论遗漏。 正解：含底数参数的指对函数，必须分和两类讨论。 易错点4：对数运算公式误用 常见错误：、。 正解：对数只满足积、商、幂运算，不满足和差运算。 易错点5：复合函数值域求解顺序颠倒 误区：直接由外层函数值域作答，忽略内层函数的值域约束。 正解：复合函数值域求解：先求内层值域，再代入外层求最终值域。 【题型一】指对函数定义域求解 【典例1-1】（25-26高一上·山东聊城·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【变式1-2】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【变式1-3】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】复合函数单调区间求解 【典例2-1】（2025高一上·全国·专题练习）求函数的单调区间． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间． 【变式2-3】求下列函数的单调区间： (1)； (2)y＝2|x－1|. 【题型三】指对复合函数值域求解 【典例3-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数，则值域为 ________ 【变式3-2】（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数，当时，求该函数的值域. 【变式3-3】求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)． 【题型四】指对幂数比较大小 【典例4-1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】比较下列各组数的大小． (1)、与； (2)与 . 【变式4-3】比较，，的大小： (1)已知，，，； (2)已知，，． 【题型五】指对函数定点与参数求值 【典例5-1】（25-26高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）且的图象恒过定点_________． 【变式5-2】（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）下列函数中恒过定点的有（    ） A．（为常数） B．（且） C．（且） D．（为非零常数） 【变式5-3】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知函数（且）的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)解不等式． 【题型六】含参指对函数恒成立问题（培优） 【典例6-1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）设函数，若恒成立，则的值为（   ） A． B．4 C．2 D．1 【变式6-1】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 1. 两大核心函数性质 指数函数：定义域、值域，过；对数函数：定义域、值域，过。单调性由底数与1的大小关系决定。 2. 复合函数解题四步法（满分模板） 第一步：锁定定义域（对数真数大于0）；第二步：拆分内外层函数；第三步：分别判断内外单调性；第四步：同增异减判定整体单调区间。 3. 值域求解核心顺序 先内层后外层，先求内层函数在定义域内的取值范围，再代入外层指对函数计算最终值域。 4. 比大小速判技巧 依托中间量分段判定：指数函数常大于0，对数函数可正可负，快速区分大小关系。 5. 高频避坑准则 所有对数问题定义域优先，含参指对函数必须分类讨论底数范围，杜绝公式混用、区间漏限问题。 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、多选题 4．（25-26高一上·四川广安·期末）下列函数中，值域为的有（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则的单调区间有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 7．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______. 四、解答题 8．已知，，． (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 9．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 10．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 指对函数综合与复合函数 （核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】指对函数定义域求解 【题型四】指对幂数比较大小 【题型二】复合函数单调区间求解 【题型五】指对函数定点与参数求值 【题型三】指对复合函数值域求解 【题型六】含参指对函数恒成立问题 【知识点01】指数函数核心知识点 1. 定义 一般地，函数叫做指数函数，定义域为，值域为。 2. 图像与单调性 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减。 3. 定点性质 指数函数恒过定点，即时，。 4. 基础运算公式 【知识点02】对数函数核心知识点 1. 定义 指数函数的反函数叫做对数函数，定义域为，值域为。 2. 图像与单调性 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减。 3. 定点性质 对数函数恒过定点，即时，。 4. 核心对数公式 积对数： 商对数： 幂对数： 换底公式： 恒等式： 【知识点03】复合函数核心法则 1. 复合函数定义 形如的函数为复合函数，其中为内层函数，为外层函数。 2. 定义域求解原则 逐层向内约束：外层函数定义域约束内层函数值域，内层函数自身定义域双重限制。 3. 复合函数单调性（同增异减） 内层、外层单调性相同，复合函数单调递增； 内层、外层单调性相反，复合函数单调递减。 4. 指对复合高频结构 、，是高考最核心的指对复合函数模型。 易错点1：忽略对数函数定义域限制 误区：求解单调性、值域时，忘记约束，导致区间出错。 正解：对数复合问题，优先求真数大于0的定义域，再分析单调性与最值。 易错点2：复合单调性乱用“同增异减” 误区：不先求定义域，直接套用同增异减，单调区间包含无意义区间。 正解：先定域、再判单调，所有单调区间必须在函数有效定义域内。 易错点3：指数、对数参数范围混淆 误区：默认底数，忽略的递减情况，分类讨论遗漏。 正解：含底数参数的指对函数，必须分和两类讨论。 易错点4：对数运算公式误用 常见错误：、。 正解：对数只满足积、商、幂运算，不满足和差运算。 易错点5：复合函数值域求解顺序颠倒 误区：直接由外层函数值域作答，忽略内层函数的值域约束。 正解：复合函数值域求解：先求内层值域，再代入外层求最终值域。 【题型一】指对函数定义域求解 【典例1-1】（25-26高一上·山东聊城·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为， 故选：D. 【变式1-1】求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据指数函数定义域即可得到答案； （2）根据分母不等于0即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以其定义域为. （2）由题得，则其定义域为. 【变式1-2】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R；(2)；(3)；(4)答案见解析 【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域. 【详解】（1）函数在R上有意义，故函数的定义域为R. （2）函数有意义的条件是，即， 故函数的定义域为． （3）函数有意义的条件是， 又是R上增函数，于是，即， 故函数的定义域为． （4）函数有意义的条件是，即， 当时，是R上减函数， 于是，即； 当时，是R上增函数， 于是，即. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 【变式1-3】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质、分式的性质进行求解即可. 【详解】（1）由对数的定义可知： ，所以该函数的定义域为：； （2）由对数的定义可知： 且，所以该函数的定义域为：； （3）由对数的定义和二次根式的性质可知： ， 所以该函数的定义域为： （4）由对数的定义、二次根式的性质、分式的性质可知： 且，所以该函数的定义域为：. 【题型二】复合函数单调区间求解 【典例2-1】（2025高一上·全国·专题练习）求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】根据复合函数的单调性求解，但要注意定义域； 【详解】设，得或， 由于在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递减， 因而函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】令，则，先求出的单调性和指数函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】函数的定义域是R． 令，则． 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又函数在R上是增函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间是，单调递增区间为． 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数法可求得函数的单调递增区间和递减区间. 【详解】解：要使得有意义，则，即，解得， 所以，函数的定义域为， 令，则内层函数在上的增区间为，减区间为， 而外层函数在其定义域上为减函数， 所以，函数的单调递减区间是，单调递增区间为． 【变式2-3】求下列函数的单调区间： (1)； (2)y＝2|x－1|. 【答案】(1)在上是增函数，在上是减函数 (2)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数 【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数、二次函数的单调性得出所求函数的单调区间； （2）讨论和两种情况，结合复合函数的单调性得出所求函数的单调区间； 【详解】（1）设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数， ∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数． （2）当时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，∴y＝2x－1为增函数； 当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，∴y＝21－x为减函数． 故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 【题型三】指对复合函数值域求解 【典例3-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 【变式3-1】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数，则值域为 ________ 【答案】 【分析】结合复合函数及对数函数的性质求解即可. 【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 【变式3-2】（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性，二次函数的性质，即可进行求解. 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 【变式3-3】求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)定义域为；值域为 【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可； （2）根据指数函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，即． 因为函数在上是增函数，所以． 故函数的定义域为， 因为，所以，所以， 所以，即函数的值域为； （2）定义域为， 因为， 所以， 又，所以函数的值域为． 【题型四】指对幂数比较大小 【典例4-1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由， 所以. 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性判断函数值得大小即可得结论. 【详解】对于A，因为，所以，又函数在上递增，所以，故A不正确； 对于B，因为，所以，则， 所以，故B正确； 对于C，因为，则函数在上递增，所以， 又，所以，故C正确； 对于D，因为，则函数在上递增，所以， 又函数在上递增，所以，则，故D正确. 故选：BCD. 【变式4-2】比较下列各组数的大小． (1)、与； (2)与 . 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用指数函数和对数函数的单调性，分别限定出三个数的范围即可比较出它们的大小； （2）对的取值范围进行分类讨论，再进行比较大小. 【详解】（1）因为函数在上是增函数， 且，所以， 因为函数在R上是增函数， 且，所以， 因为函数在R上是减函数， 且，所以. 综上可知， （2）①当时，， 利用指数函数单调性，且由得，； ②当时，，故； ③当时，，由得，. 所以综上可得当时，； 当时，； 当时， 【变式4-3】比较，，的大小： (1)已知，，，； (2)已知，，． 【答案】(1)； (2)a＞b＞c. 【分析】(1)根据，求出的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b； (2)，，，由换底公式比较大小即可. 【详解】（1）∵， ，即， ， ，∴0＜， ∴， ∴c＜0＜a＜b， ； （2）， ， ， 又， ， ， ， 即a＞b＞c﹒ 【题型五】指对函数定点与参数求值 【典例5-1】（25-26高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象过定点即可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点, 令，可得， 即函数的图象恒过定点， 故选：D 【变式5-1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）且的图象恒过定点_________． 【答案】 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）下列函数中恒过定点的有（    ） A．（为常数） B．（且） C．（且） D．（为非零常数） 【答案】ACD 【分析】将点逐一代入四个选项的函数中验证即可. 【详解】对于A，，所以（为常数）恒过定点，A选项正确， 对于B，，所以（且）不过，故B选项错误， 对于C，，所以（且）恒过定点，C选项正确， 对于D，因为，所以，当时，，故恒过定点，D选项正确. 故选：ACD 【变式5-3】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知函数（且）的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）由对数函数的单调性结合定义域，去掉即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以 ，解得 ； （2）因为，所以是定义域上的增函数， 由可得，解得， 即不等式的解集为. 【题型六】含参指对函数恒成立问题（培优） 【典例6-1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）设函数，若恒成立，则的值为（   ） A． B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由恒成立，按照的符号进行分类讨论，得到，可得答案. 【详解】的定义域为，恒成立可得恒成立， 当时，即时，恒成立，则； 当时，恒成立； 当时，即时，恒成立，则， 综上分析，， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）应用指数运算法则计算求解； （2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解：，. （2）解：对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以，同理可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 1. 两大核心函数性质 指数函数：定义域、值域，过；对数函数：定义域、值域，过。单调性由底数与1的大小关系决定。 2. 复合函数解题四步法（满分模板） 第一步：锁定定义域（对数真数大于0）；第二步：拆分内外层函数；第三步：分别判断内外单调性；第四步：同增异减判定整体单调区间。 3. 值域求解核心顺序 先内层后外层，先求内层函数在定义域内的取值范围，再代入外层指对函数计算最终值域。 4. 比大小速判技巧 依托中间量分段判定：指数函数常大于0，对数函数可正可负，快速区分大小关系。 5. 高频避坑准则 所有对数问题定义域优先，含参指对函数必须分类讨论底数范围，杜绝公式混用、区间漏限问题。 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先根据指数对数转化减少未知量得出，再根据函数的单调性得出不等关系即可求出最值. 【详解】令，，，， ， 单调递减，且， 当时，，，t的最大值为4. 故选：B. 二、多选题 4．（25-26高一上·四川广安·期末）下列函数中，值域为的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由二次函数，对数函数，幂函数，指数函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，由二次函数的性质可得函数的值域为，故A正确； 对于B，由对数函数的性质可得函数的值域为，故B错误； 对于C，由幂函数的性质可得函数的值域为，故C正确； 对于D，由指数函数的性质可得函数的值域为，故D错误. 故选：AC. 5．（多选）已知函数，则的单调区间有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】化简的解析式，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案. 【详解】 ， 所以在区间、上单调递增； 在区间上单调递减. 由于，， 所以在区间上单调递减. 故选：ACD 三、填空题 6．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 7．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______. 【答案】或 【分析】利用对数函数单调性、指数函数值域性质，通过与中间值、1比较，确定三个数的大小顺序。 【详解】因为，，对数函数在上单调递增， 将与两边同时平方可得， ， ，故，因此，即， 因为，指数函数在上单调递增，，故 ，而 ，因此 ，即，所以。 四、解答题 8．已知，，． (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数函数的单调性，和中间值1比较大小，即可判断； （2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，和中间值比较大小，即可判断. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以，即， 所以； （2），且，所以， ，所以， 所以 9．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域. （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解. 【详解】（1）令，由，得， ， 当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即， 所以函数的值域为. （2）依题意，， 令，则，且，于是 ， 而，当且仅当，即时取等号，， 即当时，，由恒成立， 得，解得， 所以实数的取值范围. 10．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $