1.2 常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判断、全称与特称命题的否定及真假判定，结合函数几何等知识综合设题。通过考向预测明确方向，双基自测夯实基础，核心梳理构建概念体系，题型突破分层讲解，限时训练强化应用，形成系统复习链条。 资料以递进式教学活动设计为特色，如题型突破中通过向量条件关系辨析、全称命题否定实例，培养学生逻辑推理和理性思维。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合限时训练提升解题效率，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.2　常用逻辑用语 【高考考向预测】 近三年高考常用逻辑用语考查频次稳定，多以选择题形式出现，核心聚焦充分必要条件判断，兼顾全称与特称命题的否定及真假判定，常结合函数、几何、不等式等知识综合设题；预测2027 年仍会保持常规考查力度，命题将进一步加强与主干知识的融合，侧重依托各类知识点辨析条件关系，注重逻辑推理严谨性，题型平稳无大幅难度提升，侧重基础逻辑思维的考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件. (　 　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　 　) (3)“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件. (　 　) (4)命题“∃x∈R，sin2+cos2=”是真命题. (　　) 【答案】（1）√ （2）√（3）×（4）× 2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为(　　) A.∃x∈R，x2-x+2<0 B.∀x∈R，x2-x+2≤0 C.∃x∈R，x2-x+2≤0 D.∀x∈R，x2-x+2<0 【答案】A 【解析】命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为命题“∃x∈R，x2-x+2<0”. 3.设x∈R，则“cos x=1”是“sin x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当cos x=1时，x=2kπ(k∈Z)，此时sin x=0； 当sin x=0时，x=kπ(k∈Z)， 此时cos x=1或cos x=-1， 所以“cos x=1”是“sin x=0”的充分不必要条件. 4.设p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  【答案】[0，1] 【解析】p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则 且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1. 1.谨记两个常用结论 (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 2.理清一个关系 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同. 【核心梳理●明考点】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【题型突破●明方向】 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由(a+b)·(a-b)=0， 得a2-b2=0， 即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|， 当a=(1，1)，b=(-1，1)时， |a|=|b|，但a≠b且a≠-b， 故充分性不成立； 当a=-b或a=b时， (a+b)·(a-b)=0， 故必要性成立. 所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. (2)(2025·临沂模拟)已知f(x)=tan x，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为f(x)=tan x在(-1，1)上单调递增，且是奇函数， 所以tan a+tan b>0⇔tan a>-tan b⇔tan a>tan(-b)⇔a>-b⇔a+b>0， 所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件. 【思维升华】充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【跟踪训练】1　(多选)下列叙述中正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” 【答案】ACD 【解析】对于A，a>1⇒<1，当a<0时，<1，所以<1a>1， 所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，当b=0时，若“a>c”成立，而ab2=0=cb2，充分性不成立，故B错误； 对于C，令f(x)=x2+x+a，方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，则f(0)<0， 则有a<0，所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当a>0时，由∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立可以推出Δ=b2-4ac≤0， 而由b2-4ac≤0也可以推出ax2+bx+c≥0恒成立，故D正确. 题型二　充分、必要条件的应用 例2　(1)(2025·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x2>y2 B.x|x|>y|y| C.ln x>ln y D.ex>ey 【答案】C 【解析】当x=-2，y=-1时，满足x2>y2，但x<y；当x=-1，y=-2时，满足x>y，但x2<y2. 故x2>y2是x>y的既不充分也不必要条件，A错误； 令f(x)=x|x|，则f(x)的定义域为R， ∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)， ∴f(x)是奇函数， 当x>0时，f(x)=x2，f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)在R上为增函数. 由x|x|>y|y|可得x>y，由x>y可得x|x|>y|y|， 故x|x|>y|y|是x>y的充要条件，B错误； ∵y=ln x在(0，+∞)上为增函数，ln x>ln y，∴x>y>0； 当0>x>y时，ln x，ln y无意义，ln x>ln y不成立， 故ln x>ln y是x>y的充分不必要条件，C正确； ∵y=ex在R上为增函数， ∴由ex>ey可得x>y，由x>y可得ex>ey， 故ex>ey是x>y的充要条件，D错误. (2)(2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞) C.(-5，3) D.[-5，3] 【答案】B 【解析】因为p：(x-m)(x-m-3)>0， 则x<m或x>m+3，q：x2-x-6≤0，即-2≤x≤3， 又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2，即m>3或m<-5. 故实数m的取值范围为(-∞，-5)∪(3，+∞). 【思维升华】求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【跟踪训练】2　(1)已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞，0) 【解析】因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|-1<x<0}是{x|m-1<x<-3m}的真子集， 则(不同时取等号)，解得m<0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0). (2)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞，1)　(-∞，1] 【解析】因为p：x≤1，q：x≤a， 若p是q的必要不充分条件， 则(-∞，a](-∞，1]，因此a<1， 即实数a的取值范围是(-∞，1). 若p是q的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]， 因此a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1]. 题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 例3　(多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确； 对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确； 对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误； 对于D，因为A=B时，sin A=sin B成立，而sin A=sin B时，A=B不一定成立，如A=，B=，故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D错误. 命题点2　含量词的命题的真假判断 例4　(多选)下列命题为假命题的是(　　) A.∃x∈R，ln(x2+1)<0 B.∀x>2，2x>x2 C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sin α-sin β D.∀x∈(0，π)，sin x>cos x 【答案】ABD 【解析】因为ln(x2+1)≥ln 1=0，故A是假命题； 当x=3时，23<32，故B是假命题； 当α=β=0时，sin(α-β)=sin α-sin β，故C是真命题； 当x=时，sin x=，cos x=，sin x<cos x，故D是假命题. 命题点3　含量词的命题的应用 例5　已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[0，4) 【解析】由题意得不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立. ①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意； ②当a≠0时，若不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，则解得0<a<4. 综上，实数a的取值范围是[0，4). 【思维升华】含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 【跟踪训练】3　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 【答案】B 【解析】对于命题p，取x=-1， 则有|x+1|=0<1， 故p是假命题，¬p是真命题； 对于命题q，取x=1， 则有x3=13=1=x， 故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. (2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是(　　) A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0” B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件 C.若命题“∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1，3) D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，则实数a的取值范围是[-3，0] 【答案】AD 【解析】对于A，“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”，故A正确； 对于B，log3(2x+1)>2，即log3(2x+1)>log39， 则2x+1>9，解得x>4，因为x>4⇒x>3，且x>3x>4，所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题是假命题，则命题的否定“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故C错误； 对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，即2ax2+ax-≤0对∀x∈R恒成立.当a=0时，命题成立；当a≠0时， 解得-3≤a<0，综上可得，-3≤a≤0，故D正确. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立； 若a2>36，则a>6或a<-6，故必要性不成立， 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件. 2.(2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为(　　) A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 【答案】B 3.已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1] 【答案】C 【解析】由>1可得x(x-1)<0，解得0<x<1， 记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0]. 4.(2023·北京)若xy≠0，则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵xy≠0，∴+=-2等价于x2+y2=-2xy，即x2+y2+2xy=0， 即(x+y)2=0等价于x+y=0. ∴“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 5.(2026·宁波模拟)命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≤- B.a≤0 C.a≥6 D.a≥8 【答案】D 【解析】若命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题， 则命题的否定“∀x∈[-2，1]，x2-x-a≤0”为真命题， 即a≥x2-x，x∈[-2，1]恒成立， 对于函数y=x2-x=-，x∈[-2，1]， 当x=-2时，取得最大值y=6， 所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集， 所以命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8. 6.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1， 取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立； 取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1， 取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件. 7.若“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　) A.(-∞，-2] B.(-∞，2] C.(-∞，-2) D.(-∞，2) 【答案】A 【解析】依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则命题“∀x∈(0，π)，sin 2x-ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤-2，所以k的取值范围为(-∞，-2]. 8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn=na1+d，=a1+d=n+a1-，-=， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即-==为常数，设为t， 即=t， 则Sn=nan+1-t·n(n+1)， 有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2， 两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn， 即an+1-an=2t，对n=1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 即Sn=na1+d， 则=a1+d=n+a1-， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 设数列的公差为D， 则-=D，=S1+(n-1)D， 即Sn=nS1+n(n-1)D， 当n≥2时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D， 上边两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D， 所以an=a1+2(n-1)D， 当n=1时，上式成立， 又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|<0 B.∃x∈Z，cos x=-1 C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除 D.每个平行四边形都是中心对称图形 【答案】BC 【解析】选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负， 即|x|≥0，所以A是假命题； 选项B为存在量词命题， 当x=2时，满足cos=cos π=-1， 所以B既是存在量词命题又是真命题； 选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题； 选项D是全称量词命题，所以D不符合题意. 10.(2025·揭阳模拟)下列叙述中正确的为(　　) A.命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2” B.∀x∈(0，+∞)，2x>log2x C.∀x∈R，4x2≥2x-1+3x2 D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0” 【答案】ABC 【解析】对于A，命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”，A正确； 对于B，当x>0时，函数y=2x的图象在直线y=x的上方，函数y=log2x的图象在直线y=x的下方，则2x>log2x，B正确； 对于C，因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， 所以4x2≥2x-1+3x2恒成立，C正确； 对于D，例如a=b=0，能推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0，故D错误. 11.下列说法正确的为(　　) A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件 B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞) C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4 D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为[6，+∞) 【答案】BD 【解析】对于A，由函数y=x3为增函数可知， 若a3=b3，则a=b，所以3a=3b； 由函数y=3x为增函数可知， 若3a=3b，则a=b，所以a3=b3. 故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，A错误； 对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正确； 对于C，若命题是假命题，则“∀x∈R，mx2+mx+1≥0”是真命题，故m=0或解得0≤m≤4，C错误； 对于D，由p是q的充分条件，得p⇒q，即对于0<x≤1，4x+2x-m≤0恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则m≥t2+t对于t∈(1，2]恒成立，又t2+t=-∈(2，6]，则m≥6，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是　　　　　　　　　　　　.  【答案】∃x>0，ex≥x+2 【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题， 则命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是“∃x>0，ex≥x+2”. 13.(2025·湛江模拟)已知α：x<2m-1或x>-m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】设集合A={x|x<2m-1或x>-m}，B={x|x<2或x≥4}， 若α是β的必要条件，则B⊆A， 当2m-1>-m，即m>时，此时A=R，B⊆A成立； 当2m-1≤-m，即m≤时，若B⊆A，此时该不等式组无解. 综上所述，实数m的取值范围是. 14.(2026·郑州模拟)若命题“∃x∈[-1，2]，使得2x2+mx-m-10≥0”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-4，2) 【解析】由题意知，原命题的否定“∀x∈[-1，2]，2x2+mx-m-10<0”是真命题， 令f(x)=2x2+mx-m-10， 所以 解得-4<m<2，即实数m的取值范围是(-4，2). [每小题6分，共12分] 15.(多选)(2025·石家庄模拟)下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B.∀xy>0，x+y≥2 C.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则实数m的取值范围是[1，3] 【答案】CD 【解析】对于A，x=是无理数，x2=2是有理数，A错误； 对于B，当x<0，y<0时，x+y<0<2，B错误； 对于C，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，C正确； 对于D，“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则 两个等号不同时取得，解得1≤m≤3，D正确. 16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x，y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x，y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn有正实数解 【答案】CD 【解析】当正整数n>2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解，故方程x3+y3=z3没有正整数解，A错误； x3+y3=z3没有正整数解，即+=1(z≠0)没有正有理数解，B错误，C正确； 方程xn+yn=zn，当x=y=1，z=时满足条件，故有正实数解，D正确. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.2　常用逻辑用语 【高考考向预测】 近三年高考常用逻辑用语考查频次稳定，多以选择题形式出现，核心聚焦充分必要条件判断，兼顾全称与特称命题的否定及真假判定，常结合函数、几何、不等式等知识综合设题；预测2027 年仍会保持常规考查力度，命题将进一步加强与主干知识的融合，侧重依托各类知识点辨析条件关系，注重逻辑推理严谨性，题型平稳无大幅难度提升，侧重基础逻辑思维的考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件. (　 　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　 　) (3)“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件. (　 　) (4)命题“∃x∈R，sin2+cos2=”是真命题. (　　) 2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为(　　) A.∃x∈R，x2-x+2<0 B.∀x∈R，x2-x+2≤0 C.∃x∈R，x2-x+2≤0 D.∀x∈R，x2-x+2<0 3.设x∈R，则“cos x=1”是“sin x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  1.谨记两个常用结论 (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 2.理清一个关系 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同. 【核心梳理●明考点】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【题型突破●明方向】 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2025·临沂模拟)已知f(x)=tan x，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【跟踪训练】1　(多选)下列叙述中正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0” 题型二　充分、必要条件的应用 例2　(1)(2025·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x2>y2 B.x|x|>y|y| C.ln x>ln y D.ex>ey (2)(2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞) C.(-5，3) D.[-5，3] 【跟踪训练】2　(1)已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  (2)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 例3　(多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 命题点2　含量词的命题的真假判断 例4　(多选)下列命题为假命题的是(　　) A.∃x∈R，ln(x2+1)<0 B.∀x>2，2x>x2 C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sin α-sin β D.∀x∈(0，π)，sin x>cos x 命题点3　含量词的命题的应用 例5　已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  【跟踪训练】3　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 (2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是(　　) A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0” B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件 C.若命题“∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1，3) D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，则实数a的取值范围是[-3，0] 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为(　　) A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 3.已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1] 4.(2023·北京)若xy≠0，则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2026·宁波模拟)命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≤- B.a≤0 C.a≥6 D.a≥8 6.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　) A.(-∞，-2] B.(-∞，2] C.(-∞，-2) D.(-∞，2) 8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|<0 B.∃x∈Z，cos x=-1 C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除 D.每个平行四边形都是中心对称图形 10.(2025·揭阳模拟)下列叙述中正确的为(　　) A.命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2” B.∀x∈(0，+∞)，2x>log2x C.∀x∈R，4x2≥2x-1+3x2 D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0” 11.下列说法正确的为(　　) A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件 B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞) C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4 D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为[6，+∞) 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是　　　　　　　　　　　　.  13.(2025·湛江模拟)已知α：x<2m-1或x>-m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  14.(2026·郑州模拟)若命题“∃x∈[-1，2]，使得2x2+mx-m-10≥0”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　　　.  [每小题6分，共12分] 15.(多选)(2025·石家庄模拟)下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B.∀xy>0，x+y≥2 C.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则实数m的取值范围是[1，3] 16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x，y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x，y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn有正实数解 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $