精品解析：山东省潍坊市某校2025-2026学年高一下学期第一次段考数学试题

高一下学期第一次段考数学试题 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 下列四个式子中可以化简为的是（ ） ①；②；③；④ A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 2. cos960°=（　　） A. B. C. D. 3. 下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，点是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（    ） A. 5 B. 9 C. D. 二、多选题（每题6分，共3题） 9. 已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，，分别表示，的面积，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 中， C. 若，则 D. 三、填空题（每题5分，共3题） 12. 函数的最小值为________. 13. 已知向量与，且，其中．则______． 14. 在中，，则______． 四、解答题（共5题） 15. 设向量. （1）求； （2）若，，求的值； 16. （1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 17. 函数的最大值为，最小值为． （1）求实数的值； （2）求该函数的单调递增区间； （3）若，求该函数的递增区间． 18. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中． （1）求和，，的值； （2）求的值． 19. 如图所示，在中，，，与相交于点． （1）用，表示 （2）求，的值 （3）过点作直线分别交线段于点，记，，当在线段上移动时，求的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期第一次段考数学试题 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 下列四个式子中可以化简为的是（ ） ①；②；③；④ A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则逐个判断即可. 【详解】依题意，，①正确； 假定，则，即，因此， 无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确. 故选：A 2. cos960°=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】由题意，可得cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=． 故选C． 【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3. 下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断. 【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线， A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误； B.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误； C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误； D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确. 故选：D 4. 点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式即可求解. 【详解】设点到坐标原点的距离为，则， 由三角函数的定义可得：， 由诱导公式可得： 故选：A. 5. 在中，，点是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 . 6. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限. 【详解】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角. 故选：B 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中条件，利用诱导公式，直接化简所求式子，即可得出结果. 【详解】∵，∴. 故选：C. 8. 如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（    ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 二、多选题（每题6分，共3题） 9. 已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 10. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，，分别表示，的面积，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断、、、的结论． 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，若，则点为三角形的重心， 即，故B正确； 对于C：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D：若，，则，此时不存在使得成立，故D错误； 故选：BC． 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 中， C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据角所在象限即可判断三角函数符号；对B，三角函数诱导公式即可判断；对C，举反例即可；对D，根据同角三角函数的关系即可判断. 【详解】对A，因为，所以，，， ，故A正确； 对B，在中，，故B正确； 对C，举例，满足，但不满足，故C错误； 对D，因为，所以左边 右边，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共3题） 12. 函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法，转换成二次函数求最值即可. 【详解】令，则， 原函数转化为二次函数： ， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此函数在上单调递增， 当时，取得最小值，代入得： ， 即当时，取得最小值. 13. 已知向量与，且，其中．则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列式，再结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 由， 所以. 14. 在中，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】易知角是钝角，联立可解得和的值，最后根据计算即可得解. 【详解】已知，将等式两边平方，得到， 化简得，解得 在中，，，又，. ，，则角是钝角， 而，则， 当时，联立， 解得，，则； 当时，联立， 解得，，则. 综上所述，或. 四、解答题（共5题） 15. 设向量. （1）求； （2）若，，求的值； 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据列方程组，化简求得，进而求得. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， 所以，解得：，所以. 16. （1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）；（2）圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】（1）设出扇形所在圆的半径，结合弧长及扇形面积公式列出方程求解. （2）设出扇形所在圆的半径，求出扇形面积关于该半径的函数，再结合二次函数求出最值即可. 【详解】（1）设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，依题意，，即， 又，则，即，解得或， 当时，，则，不符合题意， 当时，，则，符合题意， 所以所求扇形圆心角的弧度数为. （2）设扇形的半径为，则弧长为， 由，得，则， 因此扇形的面积为 当时，，，S取到最大值，此时扇形的面积取得最大值， 所以当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是. 17. 函数的最大值为，最小值为． （1）求实数的值； （2）求该函数的单调递增区间； （3）若，求该函数的递增区间． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据函数的最大值可得，再由最小值可得； （2）因为，所以正弦函数的单调递减区间就是所求函数的单调递增区间，从而可得结果； （3）由函数的单调递增区间与已知区间求交集可得函数在已知区间上的单调递增区间. 【小问1详解】 函数的最大值为，最小值为，由题可知最大值为，最小值为， 则，即，，则，结合，得. 【小问2详解】 由（1）可知，，当时， 函数单调递增，的单调递增区间为. 【小问3详解】 ， 所以该函数的递增区间是和. 18. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中． （1）求和，，的值； （2）求的值． 【答案】（1），，，；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意求得的值，结合三角函数的定义，即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，所以，解得， 因为，所以， 根据三角函数的定义，可得则，，． （2）由三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式， 可得：． 19. 如图所示，在中，，，与相交于点． （1）用，表示 （2）求，的值 （3）过点作直线分别交线段于点，记，，当在线段上移动时，求的最小值 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用，表示，结合平面向量基本定理可得； （2）由（1）求出即可； （3）利用表示，再利用三点共线，可得，结合基本不等式可求. 【小问1详解】 设， 因为，， 所以，, 则， 则，， 则由平面向量基本定理可知，，得， 故； 【小问2详解】 由（1）知， 故，； 【小问3详解】 因为点分别位于线段上，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 则， 等号成立时， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $