精品解析：山东省潍坊中学2025-2026学年第二学期6月月度检测高一数学试题

山东省潍坊中学2025-2026学年度第二学期月度检测 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 4. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期为 D. 图象的一个对称中心是 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 当时，的值域为 11. 已知函数，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线为图象的一条对称轴 C. 若在区间上单调递增，则 D. 存在，使得在区间上恰有2025个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_____． 13. 如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求． 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 17. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间； （2）记的内角A，，的对边分别为，，．若，，求面积的最大值． 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 19. 已知，，设函数． （1）当时，证明：是常数函数； （2）已知，且，求出所有使是常数函数的集合； （3）若中的最小元素为，写出使是常数函数的一组的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊中学2025-2026学年度第二学期月度检测 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，解出方程即可 【详解】由得：，解得： 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期为 D. 图象的一个对称中心是 【答案】D 【解析】 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，利用的图象与性质，可得，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图知，图象过点， 所以，又，所以， 又点在函数的减区间内，由， 得到，所以， 令，得到，结合各个选项可知，C正确，其它选项不满足， 故选：C. 8. 团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断两向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线， 对于A，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于B，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于C，因为，即和共线，不能作为基底； 对于D，因为，即和共线，不能作为基底； 10. 函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 所以的最小正周期为，故A正确； 因为，所以的图象关于对称，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 当时，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线为图象的一条对称轴 C. 若在区间上单调递增，则 D. 存在，使得在区间上恰有2025个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式，结合诱导公式即可求解A，代入即可求解B，根据复合函数的单调性，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可求解C，考虑可得，进而验证无零点即可求解D． 【详解】对于A，由于函数的最小正周期为， 且， 故的最小正周期为，因此的最小正周期为和的最小公倍数， 故的最小正周期为，A正确； 对于B， ， 而 故直线为图象的一条对称轴，B正确； 对于C，当时，， 令， 当时，，则， 且在单调递增， 故，单调递增，则需要，故， 因此若在区间上单调递增，则，故C错误； 对于D，由C选项可知：， 令，则， 故或， 当时，则，则， 当时，此时符合的共有1013个， 当， 或， 解得或，故当时， 符合条件的有，和，共有1012个， 当，且时，此时， 令，则， 故或， 由于， 当时，， 故，故当，无零点， 综上可知：当时，在区间上恰有2025个零点，故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故答案为：. 13. 如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在中，根据题设条件求三个内角的大小及的长度，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】如图，在中，由题知，， 又旗杆与水平面垂直，所以，则， 由正弦定理知，得到， 故答案为：. 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且， 即为等腰三角形，，且， 取AC的中点M，连接BM， 则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即A点纵坐标为1，，， 因为，所以，解得， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，根据向量平行得到方程，求出答案； （2）计算出，根据向量模长得到方程，求出，由向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 ， ，故，解得； 【小问2详解】 ， ，故，解得， 所以， . 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得，再结合条件，利用正弦定理，即可求解； （2）利用余弦定理得，由向量的中线公式得，利用数量积的运算律，可得，即可求解. 【小问1详解】 因为，则，且， 由正弦定理，得到， 又，，所以，又，则. 【小问2详解】 由余弦定理，得以， 整理得到，解得或（舍）， 又为的中点，所以， 则， 所以，即的长为. 17. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间； （2）记的内角A，，的对边分别为，，．若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后根据平移得到，最后结合给正弦函数单调性计算即可； （2）依据求得，然后利用余弦定理以及不等式得到，最后使用面积公式计算. 【小问1详解】 由， 所以，则. 令，则， 所以函数的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）可知：，又，所以， 因为，所以，所以. 由， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【小问1详解】 因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以. 【小问2详解】 设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问3详解】 在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 19. 已知，，设函数． （1）当时，证明：是常数函数； （2）已知，且，求出所有使是常数函数的集合； （3）若中的最小元素为，写出使是常数函数的一组的值，并说明理由． 【答案】（1） 当时， ， 所以是常数函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入角度根据三角恒等变换化简即可； （2）设，计算得，则，分类解出即可； （3）首先讨论若函数是常数函数，则，再对分奇偶数讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，不妨令， 若是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，所以或， 同理或或， 则， 所以集合有共4个． 【小问3详解】 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 得，所以， 得，所以， 当为偶数时，可以拆分成组的和，每一组为定值时也为定值， 所以是常数函数的一组的值； 当为奇数时，可以拆分成与组的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以是常数函数的一组的值为 ， 综上所述， 当为偶数时，是常数函数的一组的值为 ， 当为奇数时，是常数函数的一组的值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $