第1章 勾股定理 综合评价（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章综合评价 （时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 年 的四个选项中，只有一项是符合要求的) 题号 1 2 4 5 6 个 8 9 10 答案 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A.6,8,10 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12 2.在△ABC中，∠C=90°，AC=9,AB=15,则BC的长是( ) A.10 B.12 C.16 D.20 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.若AB=BC=17,AD= 8,则CD的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 2m B 1.5m (第3题图) (第4题图) 4.如图所示的是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，童师傅有3块 薄木板，尺寸如下：①号木板长3m,宽2.7m;②号木板长 2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通 过的木板是 ) A.②号 B.③号 C.②号和③号D.都不能通过 5.已知一个三角形三边的长度之比为5：12：13，它的周长为 60,则它的面积是 ( A.120 B.144 C.196 D.60 6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以AB为 一边作Rt△ABC,要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的 点是 ) A.C B.C2 C.C3 D.C 批 C (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.八(1)班为美食节准备的一种火锅杯从正面看的形状如图所 示.它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状 均为圆台.上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距 离为22.4cm.已知配套吸管的长度为27.6cm,且吸管从吸管 口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为5cm(不计吸 管粗细)，则杯子的下底面直径为 ( ) A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 8.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离 地面 ) A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺 9.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小 正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为b.若a十b=14,小正方形的面积为4，则大 正方形的面积为 ( A.180 B.196 C.96 D.100 13 (第9题图) (第10题图) (第12题图) 10.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于2AC的 长为半径作弧（孤所在圆的半径都相等），两弧相交于M,N 两点，直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD. 若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 A.9 B.8 C.7 D.6 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.写出一组你喜欢的勾股数： 12.由两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示，其中 阴影部分的面积是 13.一个人字梯的侧面示意图如图所示，其中梯子撑开后最高点 A距地面的高度AD为1.2m,两侧梯子AB,AC的长度为 1.3m,则此时梯子底端B,C之间的距离为 m. (第13题图) (第14题图) （第15题图) 14.如图，在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,AD平分 ∠CAB,DE⊥AB,垂足为E,则△BDE的周长为 15.如图，在一个长方形草坪ABCD上放着一个长方体木块.已 知AD=6m,AB=4m,该木块的较长边与AD平行，横截面 是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处 需要走的最短路程是 m. 2 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算 步骤或推理过程) 16.(10分)(1)如图，以Rt△ABC的直角边BC为一边作长方形 BCDE,求阴影部分的面积； 13 cm 8 cm 17cm (2)如图，在△ABC中，点D在BC上，AC=15,CD=8,AD= 17,AB=25,求BD的长， 17.(9分)一款推车的侧面示意图如图所示，已知∠ACB=90°，支 架AC=6dm,DE=5dm,BE=12dm,且D是AC的中点， 求两轮的圆心A,B之间的距离. 一3一 18.(9分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾 股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB'C'D'的位置，连接AC,AC,CC',设AB=a,BC= b,AC=c,请利用四边形BCCD'的面积验证勾股定理：a2十 b2=c2. D B 19.(9分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°， AB=20m,BC=15m,CD=7m,土地价格为1000元/m,请 你计算出学校征收这块土地需要多少元. D 20.(9分)某科技公司展示了首款人形通用机器人H,乐乐的爸 爸是机器人研发工程师，其中一次机器人H1的跑步测试方 案如下：如图，在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着DB方向 滑下，同时机器人H1从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在 点B处与乐乐相遇，并且机器人H1的跑步速度与乐乐的下 滑速度相同.已知滑梯的高度CD=3m,滑梯底部与机器人 H1的出发点之间的距离AC=9m.问：机器人H1跑步多少 米后与乐乐相遇？ 4 21.(9分)如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,D,E分别为边 AB,BC上的点，连接CD,DE,AE,且满足AE垂直平分CD. (1)判断△ADE的形状，并说明理由； (2)求BE的长. 22.(10分)【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起 一架长25m的云梯AB,如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云 梯底端距墙脚的距离BC=7m,∠ACB=90°. 【独立思考】 (1)求这架云梯顶端距地面的距离AC. 【深入探究】 (2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置 上（云梯长度不改变），AA'=4m,求梯子的底端下滑的距 离BB'. 【问题解决】 (3)在演练中，高24的墙头有求救声，消防员需调整云梯去 救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，若云梯底端离 墙的距离不小于云梯长度的号，则云梯和消防员相对安 全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的 墙头去救援被困人员？ -5 23.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC= 6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动， 设点P移动的时间为ts (1)当点P移动到BC的中点时，t的值是 (2)当t<4时，若BP=AP,求BP的长； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 6—7.48.C9.30 10.解：∠E=∠F.理由如下：∠BAD+∠ADM=180°，∴AB∥CM..∠BAD= ∠ADC.又·∠1=∠2，∴∠BAD-∠1=∠ADC-∠2，即∠EAD=∠FDA.∴.AE∥ DF.∠E=∠F. 11.解：(1)：CD⊥AB,FG⊥AB,∴∠CDB=∠GFB=90°.∴.CD∥FG..∠1+∠DCB =180°.∴.∠DCB=180°-∠1=40°.(2)DE∥BC.理由如下：∠1与∠2互补，.∠1 +∠2=180°.由(1)知∠1+∠DCB=180°，∴.∠2=∠DCB.∴.DE∥BC. 12.(1)证明：：AB∥DE,∴.∠B=∠DGC.:BC∥EF,∴∠DGC=∠E..∠B=∠E. (2)解：∠B+∠E=180°.证明如下：AB∥DE,∴.∠1+∠E=180°.：BC∥EF,∠B =∠1.'.∠B+∠E=180°.(3)解：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那 么这两个角相等或互补. 重点强化专题平行线中的推理填空问题【培养推理能力·热点】 1,角平分线的定义AE∥BC两直线平行，同旁内角互补∠A=∠3同位角相 等，两直线平行 2.∠3两直线平行，内错角相等等量代换180°∠6内错角相等，两直线平行 3.邻补角的定义同角的补角相等内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角 相等等量代换DE同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等 4.对顶角相等BDCE同位角相等，两直线平行C两直线平行，同旁内角互补 DFAC同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等 模型构建专题平行线中的拐点问题【热点】 1.(解法一)解：EM∥AB,∠B=15°，.∠B+∠BEM=180..∠BEM=180°-∠B =165°.：∠BED=90°，∠DEM=360°-∠BEM-∠BED=105°.'EM∥AB,AB∥ CD,.EM∥CD.∠DEM+∠D=180°..∠D=180°-∠DEM=75. (解法二)解：EN∥AB,.∠BEN=∠B=15°..∠DEN=∠BED-∠BEN=75. EN∥AB,AB∥CD,.EN∥CD.∴∠D=∠DEN=75. 【变式题1】360°【变式题2】144° 【变式题3】解：(1)过点P向左作PE∥AB,则∠APE=∠A=50°.：PE∥AB,AB∥ CD,∴.PE∥CD..∠EPD+∠D=180°.：∠D=150°，.∠EPD=180°-∠D=30°. ∴.∠APD=∠APE+∠EPD=80°.(2)∠A十∠D-∠APD=180°.理由如下：过点P 向右作PE∥AB,则∠A+∠APE=180°.PE∥AB,AB∥CD,∴PE∥CD.∴∠DPE =∠D.∴∠APE=∠DPE-∠APD=∠D-∠APD.∴.∠A+∠D-∠APD=180. (3)∠APD=∠D-∠A.理由如下：过点P向右作PF∥AB.PF∥AB,AB∥CD, ∴.PF∥AB∥CD.∠D=∠DPF,∠A=∠APF.:∠APD=∠DPF-∠APF, ∠APD=∠D-∠A. 2.解：(1)过点C向右作CF∥BE,∴.∠BCF+∠CBE=180°.：∠CBE=130, .∠BCF=50°.：∠BCD=110°，.∠DCF=∠BCD-∠BCF=60°.：BE∥MN, .CF∥MN..∠CDM=∠DCF=60°.(2)AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180. ,∠BCD=110°，∠ABC=70°.∠CBE=130°，.∠ABE=∠CBE-∠ABC=60°. 3.540°4.40°5.C 6.(解法一)解：，AG∥CD,∴.∠AGE=∠CDE=60°.，AF∥DE,∴.∠BAF=∠AGE =60°. (解法二)解：BM∥AF,CN∥DE,∴∠BAF=∠ABM,∠DCN=∠CDE=60°.：AF ∥DE,∴.BM∥CN.∴.∠MBC=∠NCB.AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD.∠ABC- ∠MBC=∠BCD-∠NCB,即∠ABM=∠DCN.∴.∠BAF=∠CDE=6O°. 第七章章末复习 思维导图 相等相等互补相等相等互补平行 31 考点整合 1.C2.一1（答案不唯一） 3.解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 (2)已知：如图，CD⊥AB于点M,EF⊥AB于点N.求证：CD∥EF.证明：，CD⊥AB 于M,EF⊥AB于N,∴.∠CMN=∠ENB=90°，.CD∥EF. A MN 4.B5.A6.B7.A8.B9.①③④10.99° 11.(1)证明：AB⊥AC,∠BAC=90°.∴.∠BAD=∠BAC+∠1=130°.∴.∠BAD+ ∠B=180°，∴.AD∥BC.(2)解：AD∥BC,∴.∠ACB=∠1.在△ADC和△CBA中， (AD=CB, ∠1=∠ACB,∴△ADC≌△CBA(SAS).∠D=∠B=50. LAC=CA, 12.解：(1)OE与MD平行.理由如下：：OD⊥DM,.∠ODM=90°.：OE⊥OF, ∴∠EOF=90°.∴.∠ODM=∠EOF..OE∥MD.(2),∠MNB=58°，∴.∠MNO= 180°-∠MNB=180°-58°=122°.AB∥CD,.∠MDC=∠MNO=122°.，OD⊥ DM,∴.∠ODM=90°.∴.∠ODC=∠MDC-∠ODM=122°-90°=32°. 综合评价 第一章综合评价 1.A2.B3.A4.B5.A6.D7.C8.D9.D10.D 11.12,16,20(答案不唯一)12.5013.114.2015.10 16.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB2=172-82=225,所以BC =15cm.所以S阴影=15×3=45(cm2).(2)在△ACD中，AC+CD2=152+82=289, AD2=17=289,所以AC+CD2=AD.所以△ACD是直角三角形，且∠C=90°.在 Rt△ABC中，BC=AB2-AC=252-152=400,所以BC=20.所以BD=BC-CD=12. 17.解：因为D是AC的中点，所以CD=合AC=3dm.因为∠ACB=90,所以∠DCE =180°-∠ACB=90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2=DE2一CD2=52-32= 16,所以CE=4dm.所以BC=BE-CE=8dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2= AC+BC=62+82=100,所以AB=10dm.答：两轮的圆心A,B之间的距离为10dm 18.解：易得Rt△CD'A≌Rt△ABC,所以AC=AC=c,CD'=AB=a,AD=CB=b, ∠CAD'=∠ACB.因为∠ACB+∠CAB=90°，所以∠CAD'+∠CAB=90°.所以 ∠CAC=90.所以SneD=2 SACUA+SAcw=2X号ab+号2=（a+b》(6十a）, 所以a2十b2=c2. 19.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=202+152=625.在 Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2=AC-CD=625-72=576,所以AD=24m.所以 SS-ABBCCD AD-234 m4X10004000 (元).答：学校征收这块土地需要234000元. 20.解：设机器人H跑步xm后与乐乐相遇，则AB=xm,BC=(9一x)m.由题意，得 DB=AB=xm.在Rt△BCD中，∠C=90°，所以BD2=BC2+CD2,即x2=(9-x)2+ 32,解得x=5.答：机器人H1跑步5m后与乐乐相遇。 21.解：(1)△ADE是直角三角形.理由如下：因为AC+BC=62+82=100,AB2=102 -32 =100,所以AC+BC=AB,所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.因为AE垂 直平分CD,所以AC=AD,CE=DE.因为AE=AE,所以△ACE≌△ADE(SSS).所以 ∠ADE=∠ACB=90°.所以△ADE是直角三角形.(2)由(1)知AD=AC=6,CE= DE,∠ADE=90°，所以BD=AB-AD=4,DE=CE=BC-BE=8-BE,∠BDE= 90°.在Rt△BDE中，BD2+DE=BE,即42+(8-BE)2=BE.所以BE=5. 22.解：(1)在Rt△ABC中，AC=AB2-BC=252-72=576,所以AC=24m.答：这架 云梯顶端距地面的距离AC为24m.(2)由题意，得A'B'=AB=25m,A'C=AC-AA' =20m.在Rt△A'B'C中，B'C2=A'B2-A'C2=252-202=225,所以B'C=15m.所 以BB=B'C一BC=8m.答：梯子的底端下滑的距离BB是8m.(3)能.理由如下：由 题意，得相对安全的距离不小于25×号=5(m.因为252-24=49=72,7>5，所以云 梯的顶端能到达24m高的墙头去救援被困人员. 23.解：(1)2(2)在Rt△ABC中，因为AB=10cm,AC=6cm,所以BC=AB2-AC =64.所以BC=8cm.所以当<4时，点P在线段BC上.如图①，连接AP.因为AP= BP=2tcm,BC=8cm,所以PC=BC-BP=(8-2t)cm,在Rt△ACP中，由勾股定理， 得PC+AC=AP,即(8-22+6=(22，解得=零所以BP=2X要-(cm. 84 (3)分两种情况讨论：①当∠APB=90°时，点P和点C重合，t=8÷2=4(s);②当 ∠BAP=90°时，点P在线段BC的延长线上，如图②.因为BP=2tcm,BC=8cm,所 以PC=BP-BC=(2t-8)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC+PC=62 +(2t-8).在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2=BP2-AB2=(2t)2-102.所以62+ (2L一8)2=(20：-10，解得1=草，综上所述，当△ABP为直角三角形时，u的值为4或空。 图① 图② 第二章综合评价 1.D2.C3.D4.A5.C6.B7.C8.C9.C10.B 11.5(答案不唯一)12.1b13.-214.-a615.999 16解：18，-日0，-0.i2,1.414-河，-78，号1.414(2)原式=3E- 6√5-3√2=-6√5. 17.解：(1)因为一个正数的两个平方根分别是a十2和2a-5,所以a+2+2a-5=0,解 得a=1.因为b-3的立方根为-3，所以b-3=(-3)3=-27,解得b=-24.(2)因为 4a-b=4×1-(-24)=28,所以4a-b的算术平方根为2√7. 18.解：(2+√2)a-(1-√2)b=2a十√2a-b+√2b=(2a-b)+√2(a+b).因为a,b为有 理数，(2a一b)十√2(a十b)为有理数，所以√2(a十b)为有理数.所以a十b=0.所以a= 一6.所以分=一1，所以云的立方根为-1. 19.解：(1)><<(2)因为a+1>0,b-1<0,a-b<0,所以原式=a+1+2(1一 b)+(b-a)=a+1+2-2b+b-a=3-b. 20.解：(1)因为a,b互为相反数，c,d互为倒数，所以a十b=0,cd=1.因为e的平方根 fatbt 为士8，所以e=64.因为f的绝对值是4，所以f=士4.所以P=16.所以力=√于 √F-cd+e=0+√16-1+64=7.(2)2√7-2 21.解：(1)x+y=√5-√2+V5+√2=2V5,x-y=√5-√2-(W5+√2)=-2√2，xy= -33—