第1章 勾股定理(随堂反馈)（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ,较长的直角边称为 ,斜边称 为 ②勾股定理：直角三角形两条直角边长度的 等于斜边长度的 ·如果用 a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边的长度，那么 当堂练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2,AC=3,则AB2等于 () A.1 B.3 C.4 D.5 225 289 A (第1题图) (第3题图) 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.若∠A=90°，则下列等式成立的是 ( A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.c2-a2=b2 3.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.64 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为AB边上的一点，连接CD,过点A作AE⊥CD 交CD的延长线于点E.已知AB=20,BC=15,CE=24. (1)求线段AC的长. (2)求线段AE的长. ·1· 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 当堂练习 1.某校的长方形操场如图所示，如果一名学生要从A处走到C处，至少要走( A.140m B.120m C.100m D.90m A D 60m -----日D BL A E 80m AKKKA B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.星期天，小华在公园放风筝，其示意图如图所示，小华为计算风筝的高度，测得风筝线 的长BC=15m,BD=12m.已知小华的身高AB=1.7m,则风筝离地面的高度CE为 m. 3.如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长AC为26cm,底边上的高AD 为10cm,则底边BC的长为 cm. 4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方 形，用它可以验证勾股定理.请写出验证过程.（提示：利用大正方形的面积的两种不同 求法列出等式) 5.如图，线段AB是电杆的一条固定拉线，AB=2.5m,BC=1.5m,另一条拉线A1B1在 地面上的固定点B1到杆底C的距离B1C=2.4m,拉线A1B1=2.5m.求电杆上两固 定点A和A1的距离. ·2· 2 一定是直角三角形吗 知识梳理 ①如果三角形三条边的长度a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形 ②满足a2+b2=c2的三个 ,称为勾股数. 当堂练习 1.下列各组数是勾股数的是 ( A.3,4,5 B.1.5,2,2.5 C.32,42,52 ng子日 2.一个直角三角形的三边长分别为6,8,10，对应的角分别为∠A,∠B,∠C,则直角是 ) A.∠A B.∠B C.∠C D.不能确定 3.如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，它们的面积分别是S1,S2,S3.如果 S1+S2=S3,那么△ABC的形状是 三角形， S S. (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，村庄A,C在公路l1上，村庄B在公路l2上，连接AB,BC.若BC⊥l2,且AB= 240m,AC=70m,BC=250m,则点C到直线AB的距离是m. 5.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格 的格点（网格线的交，点）上.若∠B=27°，则∠C的度数为 6.如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC,连接AC.试说 明：AC⊥CD. 3 3勾股定理的应用 当堂练习 1.如图，湖的两端有A,B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130m, CB=120m,则AB的长为 () A.30m B.40m C.50m D.60m 北 ÷东 B (第1题图) (第2题图) 2.如图，OA=18,OB=24,AB=30,点A在点北偏西50°方向，则点B在点O() A.北偏东40°方向 B.北偏东50°方向 C.南偏东40°方向D.南偏东50°方向 3.如图，地铁口C和小明家B两地恰好处在东西方向上，且相距2km(即BC=2km),学 校A在小明家B正北方向的2km处（即AB=2km,AB⊥BC),公园D与地铁口C的 距离CD为4.5km,公园D到学校A的距离AD为3.5km.求公园、学校和小明家三 地组成的∠DAB的度数. D(公园) (学校)A B (小明家)（地铁口） 4.某设计师打造的一款项目的示意图如图所示，其BC段和垂直于地面的AB段均由不 锈钢管材打造，两段总长度为26，长方形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得 CD=1m,AD=15m,求AB段的长度. 。4Rt△ADM中，AM=√AD+DM=30√6m..BM=AB+AM=(45√2+30√6)m. :105√2>45√2+30√6，∴.这辆车不能被摄像头监控到. 23.解：(1)令x=0,则y=3,∴B(0,3).令y=0,则子x十3=0，解得x=-4,A(-4 0).C是点A关于y轴对称的点，∴.C(4,0).CD⊥x轴，点D的横坐标为4.当z =4时，y=6,D(4,6).(2)A(-4,0),C(4,0),D(4,6),.AC=8,CD=6.∴.AD= WAC2+CD=10.由折叠的性质，得AC=AC=8,.CD=AD-AC=2.设PC=a, ∴.PC=a,DP=6-a.在Rt△DCP中，Cp2+CD2=Dp,即a2+22=(6-a)2,解得 a=号.P(4,号）.(3)存在.设P4,m）CP=m,DP=m-61.:S0=2Smo .CP=2PD.∴.2m-6|=m,解得m=4或m=12..P(4,4)或P(4,12).当P(4,4) y= 时，直线OP的函数表达式为y=x.联立 解得x12, 4x+3, .Q(12,12).当 y=12. y=x, P(4,12)时，直线OP的函数表达式为y=3x.联立 解得 y=3x, 4),综上所述，满足条件的点Q的坐标为(12,12)或（号，4： 随堂反馈 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①勾股弦②平方和平方a2+b=c2 当堂练习 1.D2.B3.D 4.解：(1)在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=202+152=625,所以AC=25.(2)因为 AE⊥CD,所以∠E=90°.在Rt△ACE中，AE2=AC-CE2=252-242=49,所以AE =7. 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 当堂练习 1.C2.10.73.48 4.解：因为S大E*e=2,SE第=4Sa三能十SE第=4X合b十(0一a,所以2=4 ×2ab十(6-a识.化简，得a+= 5.解：在Rt△ABC中，AC=AB2-BC=2.52-1.52=4,所以AC=2m.在 Rt△A1BC中，A1C=A1B,2-B1C=2.52-2.42=0.49,所以A1C=0.7m.所以AA =AC-A1C=1.3m.答：电杆上两固定点A和A1的距离是1.3m. 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①a2十b2=c2②正整数 当堂练习 1.A2.C3.直角4.705.63° 6.解：因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AC=AB2十BC2=12+22= 43 5.在△ACD中，AC+CD2=5+22=9,AD2=32=9,所以AC+CD2=AD2.所以 △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以AC⊥CD. 3勾股定理的应用 当堂练习 1.C2.A 3.解：连接AC.因为AB=BC=2km,∠ABC=90°，所以AC=AB+BC2=8,∠BAC =45°.所以AC2+AD2=8+3.52=20.25.因为CD2=4.52=20.5,所以AC+AD2= CD2.所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.所以∠DAB=∠BAC+∠CAD=135°. 4.解：延长FC,交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1m,CG=AD=15m.设BG=xm, 则BC=(26-1-x)m.在Rt△BGC中，因为BG+CG=BC,所以x2+152=(26-1 一x)2,解得x=8.所以BG=8m.所以AB=BG十AG=9m.答：AB段的长度为9m. 第二章实数 1认识实数 知识梳理 ①无限不循环有理数无理数②一一对应③一aa0一a 当堂练习 1.B2.B3.ππ-3.14 4.0--31,-号(20，-(-6)(3)-(-是）.14④1.52552552，-吾 5.解：AC,AD的长是无理数.理由如下：因为AB2=32+42=25=5,AC=32十12= 10,AD=32+22=13,所以AC,AD的长是无理数. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①算术平方根00②aa-a 当堂练习 1.A2.B3.381 4解：1)因为12=14，所以144的算术平方根是12，即V1=12.(2)因为（告）- 碧所以号的算术平方根是，即√票-告（③)因为0，)=040，所以0,49的算术 平方根是0.7，即√0.49=0.7. 5.解：1)原式=8，(2)原式=是.(3)原式=-14.（④原式=06.(5）原式=号(6)原 式=1.3. 第2课时平方根 知识梳理 ①平方土a正、负根号a2两个相反数0 当堂练习 1B2B3±20±1.1±号408 6.解：02=2，x=士.(2②)22=8,2=16，x=士4.(3)1-=1，或1-x=-1,z =0,或x=2 7.解：(1)因为2a-2的平方根是士3,3a十b-1的算术平方根是4，所以2a-2=9,3a +b-1=16.所以a=5.5,b=0.5.所以a-3b=5.5-3×0.5=4.所以a-3b的算术平 -44 方根为2.(2)由(1)知√a-3b=2,所以√a-3b的平方根为士√2. 第3课时立方根 当堂练习 1.252.1000-号3.-744.(1)-5(2-0.8(3)号 5.解：(1)由题意，得4a-1=33,3a+b=25,解得a=7,b=4.(2)由(1)得2a一b一1=9， 所以2a一b-1的平方根为士3，立方根为9. 第4课时估算及用计算器开方 当堂练习 1.C2.B3.(1)4.362(2)-1.811(3)5.666 4解：(1)因为3>号所以w>√县=号.所以-<-是.(2)因为6≈2.49， ≈2.571,2.40<2.571，所以5<7.()因为1<<2，所以v5-1<1.所以5， ∠3 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 知识梳理 0Va(a≥0) a g√a而 当堂练习 1.C2.C3.0(答案不唯一)4.-15.24 ,解：1)原式=66.(2)原式-√编-六(3)原式= 1 √24 =3.(4)原式- √18x号×号=瓜=4.（⑤）原式=2+2×2×5+W5=4+4v5+3=7+4v5. (6)原式=√54÷√6+√96÷√6=√+√16=3+4=7. 第2课时二次根式的性质及其加减运算 知识梳理 ①√a·6三©分母能开得尽方的因数或因式®最简被开方数相同 B 当堂练习 1.B2.B3.(1)30(2)10V5(3) 7 4.解：1)原式=26-6=.(2)原式=3反+4反=7反.(3)原式=2+号 29-+竖0原式=√停×2+v2=√+V同-(5)原式=3× 3 3 25-4x2-5+22=63-厄-+2厄=55+E. 4 第3课时二次根式的混合运算 当堂练习 1.D2.C3.1)@(2)- 5 10 4.解：(1)原式=√2-3.(2)原式=22+6.(3)原式=√5-W5+√5)×是×√2= 6 5-(W3+√15×=5-1-5=-1.(4)原式=1-5+5+1-25=2-25. 3 一 45