第一章 勾股定理 章节测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 这份勾股定理单元卷通过选择、填空、解答题，结合梯子滑动、台风路径等实际情境与罗士琳法则、《九章算术》等文化素材，全面覆盖定理应用与判定，适配单元复习，培养数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|勾股定理计算（1题）、直角三角形判定（2题）、网格面积（5题）|以正方形面积（3题）、梯子滑动（4题）构设情境，梯度分明| |填空题|5题|勾股数规律（11题）、梯子高度（12题）、四边形面积（13题）|融入中考真题（11、12题），体现文化传承与实际应用| |解答题|7题|四边形证明（16题）、滑块运动（17题）、台风影响（20题）|结合台阶地毯（18题）、《九章算术》探究（21题），突出综合应用与逻辑推理|

第一章 勾股定理 章节测试 一、选择题 1.在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 2.已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 3.如图，，，均为正方形，是直角三角形，的面积为，的面积为30，则的面积为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知，为直角三角形，且 ， ∴. ∵正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积． 4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算的长，利用割补法可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：，  ，  ， ． 6.如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 7.勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 8.如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则线段的长为（ ） A. 1.2 B. 1.6 C. 2 D. 2.4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等角对等边，得到，进而得出，利用等面积法求出，再证明，得到，即可得解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ． 9.如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，，从而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，，  由勾股定理得 ， 由折叠的性质可知 ， ， ， 点在的延长线上，   ， 设，则 ， ， 在中，， 由勾股定理得即， 解得， ． 10. 如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：；  情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，，  ，   需要爬行的最短路程是． 二、填空题 11.（2025扬州中考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 12.（2026连云港中考）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 13.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 14.（2026扬州中考）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形 和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿， 剪开，可拼成正方形 ．若 ， ，则的面积是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设 ， ，则 ，利用正方形的性质可得，，进而可得 ，利用完全平方公式求得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在正方形 和正方形中， ，， ， 设 ， ，则， ∵， ∴ ，即 ； ∵四边形 是正方形， ∴ ， ，又 ， ∴，即， ∴ ，则 ， ∵，即 ， 解得， ∴． 15.（2026新疆中考）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 三、解答题 16.如图，四边形中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴． 17.如图，两个小滑块A、B由一根连杆连接，A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．开始时滑块A距O点，滑块B距O点．那么滑块A向下滑动时，求滑块B向外滑动了多少？（结果精确到，其中，） 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：由题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，（）， 当滑块A向下滑6厘米时，（）， ∴（）， ∴滑块B滑动的距离为：（）． 18.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． （1）请你算一算共需购买多大面积的地毯； （2）若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】（1）共需购买68平方米的地毯 （2）购买地毯需花费8160元 【解析】 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【小问1详解】 解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． 【小问2详解】 解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 19.如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义和勾股定理即可求证明． （2）根据中线的定义，得到，，利用勾股定理求得AB． 【小问1详解】 证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3． ∴AC＝6，BC＝8． ∵． ∴． ∴△ABC是直角三角形． ∴． 【小问2详解】 解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8， ∴，． ∵AD、BE分别为边BC、AC的中线． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 20.2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． （1）判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】（1） 观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）观测点受台风影响的时间有7小时 【解析】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 21.（2025广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】（1） （2），，，其中、、都是正整数，，证明见解析 （3）280 【解析】 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． 【小问2详解】 解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 22.著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】（1）千米 （2）千米 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． 【小问2详解】 解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． 【小问3详解】 解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 章节测试 一、选择题 1.在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 2.已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3.如图，，，均为正方形，是直角三角形，的面积为，的面积为30，则的面积为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 6.如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 7.勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则线段的长为（ ） A. 1.2 B. 1.6 C. 2 D. 2.4 9.如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11.（2025扬州中考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 12.（2026连云港中考）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 13.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 14.（2026扬州中考）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形 和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿， 剪开，可拼成正方形 ．若 ， ，则的面积是_______． 15.（2026新疆中考）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 三、解答题 16.如图，四边形中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17.如图，两个小滑块A、B由一根连杆连接，A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．开始时滑块A距O点，滑块B距O点．那么滑块A向下滑动时，求滑块B向外滑动了多少？（结果精确到，其中，） 18.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． （1）请你算一算共需购买多大面积的地毯； （2）若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 19.如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长． 20.2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． （1）判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 21.（2025广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 22.著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $